? ? ? 在學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)中惜姐，往往把分?jǐn)?shù)看成是一個整體或者集合的部分匹舞。在引入符號之前扁远，學(xué)生們早期接觸的分?jǐn)?shù)通常是與那些包括切割和分配在內(nèi)的有關(guān)活動，以及與那些以圖片和單詞形式的表征相關(guān)聯(lián)蛹磺。物體的幾何排列，例如掛衣板上的鉤子同仆，有助于學(xué)生們把集體中的各個部分和集合中的一個部分聯(lián)系起來萤捆，并有助于他們開始用語言來表達(dá)整體和部分之間的關(guān)系，這種語言表達(dá)有助于他們理解兩個不同數(shù)字之間的比俗批，同時也給出了相同分?jǐn)?shù)的不同表征形式俗或，如?就等同于兩個?。
? ? ? 對學(xué)生們來說岁忘，培養(yǎng)靈活使用符號的能力以及弄清已知乘法運(yùn)算之間的關(guān)系是非常重要的辛慰。能否成功運(yùn)用分?jǐn)?shù)進(jìn)行計算，取決于學(xué)生們是否理解了分?jǐn)?shù)既代表一個數(shù)字干像，也代表一個比率帅腌，而這個比率反應(yīng)了得出這個數(shù)字的過程。符號?表示介于?和1之間的一個數(shù)字麻汰，作為一個整體的?速客，也是3除以4所得到的結(jié)果。后面這些等值分?jǐn)?shù)形式可以使學(xué)生們理解6/8五鲫，15/20和75/100都表示同一個數(shù)溺职。后一種表征形式則表明讓學(xué)生們認(rèn)識到3/4，等同于0.75和75%是至關(guān)重要的位喂。研究表明辅愿，無須強(qiáng)調(diào)拆分整體的方法，而是在數(shù)軸上找到與分?jǐn)?shù)相等的數(shù)字忆某，這種方法也有助于學(xué)生們在分?jǐn)?shù)点待、小數(shù)以及百分?jǐn)?shù)之間建立等值關(guān)系。
? ? ? 在數(shù)軸上先計算分子是1的分?jǐn)?shù)弃舒，會顛倒學(xué)生們對分?jǐn)?shù)相對大小的標(biāo)準(zhǔn)化理解癞埠，也會提供給學(xué)生們這樣一個認(rèn)知模式状原，在這個模式中，數(shù)軸上分?jǐn)?shù)間的距離（例如1/3和1/4間的距離）并不是學(xué)生們所期待的那種單位1的距離苗踪。
? ? ? 改變分子但分母保持不變颠区，將會使學(xué)生們學(xué)會在數(shù)軸上確定不同分?jǐn)?shù)的位置，并且把分?jǐn)?shù)的順序和整數(shù)的計數(shù)順序聯(lián)系起來通铲。首先計算毕莱，和2之間的數(shù)字，然后再把這些數(shù)字作為“假分?jǐn)?shù)”和“帶分?jǐn)?shù)”介紹給學(xué)生颅夺。在同一張圖表上朋截，呈現(xiàn)不同類型的分?jǐn)?shù)可以說明等值的概念。（上圖b）此時吧黄，熟悉乘法事實(shí)是相當(dāng)重要的部服，只有這樣，學(xué)生們才能辨認(rèn)出分?jǐn)?shù)的不同形式拗慨。延長數(shù)軸也會給他們提供把不同的表征形式和乘法事實(shí)相聯(lián)系的機(jī)會廓八。這里，數(shù)字的比率能夠以不同的形式呈現(xiàn)赵抢。學(xué)生們很容易把某些分?jǐn)?shù)和小數(shù)以及百分?jǐn)?shù)的表征形式聯(lián)系起來剧蹂，如1/2，1/4烦却，3/4国夜，1/5，1/10短绸。這些分?jǐn)?shù)為學(xué)生們提供推演其他等值形式的“基準(zhǔn)”霎槐。在使用符號計算的過程中澳骤，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生們使用盡可能多的解釋晋渺，并且把不同表征形式聯(lián)系起來违柏。
如果意識不到這一點(diǎn)。計算規(guī)程就會限制學(xué)生們對數(shù)學(xué)的解釋证逻。而且這些計算規(guī)程在課程上似乎是根深蒂固的乐埠。教師需要花大量的時間和精力讓學(xué)生們接觸與分?jǐn)?shù)表征形式相聯(lián)系的概念。研究表明囚企，15歲的學(xué)生很難分辨出1/2和2/3之間的分?jǐn)?shù)丈咐。哈特所做的研究也表明，只有21%的學(xué)生能夠正確回答這一問題龙宏。
? ? ? 教育學(xué)者邁克.奧斯尤具體說明了在學(xué)習(xí)情境中棵逊。社會規(guī)則是如何限制學(xué)生對數(shù)學(xué)的各種可能性的理解。他指出如果你問教師和學(xué)生表征的是什么分?jǐn)?shù)银酗，大部分人回答的是五分之三或五分之二或者兩者皆是辆影，但是這張圖表也可以用多種其他形式來“閱讀”徒像，包括他代表了1 2/3，2 1/2蛙讥，1 1/2或2/3锯蛀。他指出：
? ? ? 人們普遍把它讀成了五分之三的原因，不是因為這張圖表本身次慢，也不是因為學(xué)生感知圖表內(nèi)分?jǐn)?shù)的能力有限旁涤，而是因為人們已經(jīng)建立了這樣一種規(guī)則:從教科書的編寫者到教師，家長迫像，所有人都把這張表讀成3/5劈愚，這里社會規(guī)則成了理解圖表的核心。
? ?
