LED顯示器的光譜

從顏色屬性到光譜

在過往所學(xué)的渲染中，物體總有一個(gè)顏色屬性，表示物體發(fā)出或者反射的是什么光惯豆，比如應(yīng)用最廣泛的馮氏著色模型逗噩。但是，現(xiàn)實(shí)世界中吓肋，物體表面的物理性質(zhì)不是這樣的凳怨，這就要涉及到一個(gè)概念：光譜。

光譜是物體表面發(fā)出或者反射的所有波長的電磁波的圖譜是鬼。真實(shí)的物理情況是肤舞，當(dāng)一束白光找到物體表面時(shí)，物體會(huì)反射對(duì)各個(gè)波長的光都反射均蜜，只是不同的波長反射力度不一樣李剖。比如下面這個(gè)是檸檬的表面光譜：

光譜是連續(xù)的，意味著它有無限的維度囤耳。計(jì)算機(jī)無法表示無限的光譜篙顺，所以要有一個(gè)功能把無限的維度降低到有限維度偶芍。PBRT使用Spectrum類來實(shí)現(xiàn)這功能。它的主要功能是慰安，對(duì)輸入的光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣腋寨，用波長和系數(shù)來表示特定波長的反射量，模擬連續(xù)的光譜化焕。在PBRT中萄窜，Spectrum類可能是SampledSpectrum，或者RGBSpectrum撒桨。這兩個(gè)類有一個(gè)共同的基類CoefficientSpectrum查刻，用來提供算術(shù)運(yùn)算。 SampledSpectrum類和RGBSpectrum類的最重要的函數(shù)是FromSampled凤类，用來從外部接收數(shù)據(jù)穗泵，計(jì)算系數(shù)。

輻射學(xué)

接著進(jìn)入輻射學(xué)的內(nèi)容谜疤。這是比光譜更底層的基礎(chǔ)物理知識(shí)佃延。光也是一種電磁波，而所有的物體都會(huì)一直進(jìn)行電磁輻射夷磕，就是向外不斷發(fā)出不同波長的電磁波履肃。比如電影中經(jīng)常看到的用紅外望遠(yuǎn)鏡可以在晚上還看到人坐桩。電磁輻射尺棋，伴隨著發(fā)出能量，發(fā)出的總能量和發(fā)射面積以及持續(xù)時(shí)間有密切的關(guān)系绵跷。輻射學(xué)就是研究這些關(guān)系膘螟，然后運(yùn)用一些物理定律，計(jì)算表面上某個(gè)點(diǎn)能接收到的能量碾局，從而顯示顏色荆残。最重要的性質(zhì)有兩個(gè)，一個(gè)是線性性質(zhì)净当，就是兩種光疊加上去總亮度就是相加脊阴。另一個(gè)是能量守恒。接收到的光照能量值要大于等于反射出的能量值蚯瞧，因?yàn)榭赡軙?huì)有一部分被吸收嘿期。

接著，我們進(jìn)入輻射學(xué)基本物理量的學(xué)習(xí)埋合。

輻射能量Q

輻射能量Q备徐，表示一定時(shí)間內(nèi)，表面的一定區(qū)域所接收（或者發(fā)出甚颂，或者透過）的所有能量總和蜜猾。

我們的物理量如果不加下標(biāo)秀菱，表示的就是接收、發(fā)出蹭睡、或者透過衍菱。要區(qū)分的話，會(huì)專門用下標(biāo)表示肩豁，比如表示接收的能量值脊串。下面再介紹物理量的時(shí)候就省略括號(hào)中的內(nèi)容了。

輻射通量

輻射通量（radiant flux清钥，）琼锋，表示單位時(shí)間內(nèi)，表面的特定區(qū)域接收到的能量和祟昭。計(jì)算的公式是：

輻射照度E

輻射照度（irradiance, E)缕坎，表示某個(gè)點(diǎn)（微面元）接受來自各個(gè)方向的輻射通量大小。計(jì)算公式是：篡悟。注意谜叹，這里的單位面積其實(shí)是微面元的概念，就是某一個(gè)點(diǎn)附近很小很小的一塊區(qū)域搬葬，其實(shí)就跟點(diǎn)差不多荷腊，可以理解成比點(diǎn)稍微大一點(diǎn)的一個(gè)圓或者正方形。但是在表示這個(gè)微面元的時(shí)候踩萎，就是用點(diǎn)的位置來表示。知道E之后可以反推的大小很钓，利用下面這個(gè)積分公式：

輻射強(qiáng)度I

輻射強(qiáng)度（radiant intensity, I）香府，表示某塊區(qū)域，接受來自某個(gè)方向的輻射通量大小码倦。I和E的區(qū)別是企孩，E是對(duì)面積進(jìn)行微分，I是對(duì)方向進(jìn)行微分袁稽。其計(jì)算公式是：勿璃，其中，就是立體角推汽。

立體角

立體角的概念是這樣的补疑，在空間中有一個(gè)閉合曲線構(gòu)成的曲面，然后空間中還有一點(diǎn)P歹撒。畫閉合曲線和點(diǎn)P的直線莲组，在以點(diǎn)P為中心的單位球上，曲面映射到單位球上的面積就是曲面關(guān)于點(diǎn)P的立體角（或者叫球面度）暖夭，立體角的計(jì)算公式是：锹杈，其中S是投影面積撵孤，R是球半徑。當(dāng)我們使用單位球的時(shí)候竭望，立體角就是面積邪码。為了方便表述，給立體角一個(gè)單位sr咬清，單位名稱是球面度闭专。

立體角

輻射亮度L

輻射亮度（radiance, L），表示來自某個(gè)方向（立體角）的輻射通量枫振，照射到表面上的一個(gè)點(diǎn)（微面元）投影到該方向垂直平面上的輻射通量大小喻圃。如下圖所示：

輻射亮度L

按照輻射亮度的定義斧拍，這必然是一個(gè)二重微分，對(duì)方向和面積的雙重微分杖小。這個(gè)的值是從哪來的肆汹？表示表面法線和方向的夾角，換個(gè)角度思考就是微面元dA投射到與垂直方向的表面的面積予权。L是一個(gè)非常重要的概念昂勉，有了L之后，我們可以很方便地計(jì)算出I和E扫腺。公式如下：


完美岗照。

關(guān)于L的計(jì)算實(shí)例

還記得嗎？立體角是單位球的面積账忘，我們直接對(duì)半球的面積積分就好了志膀。方法是這樣：

首先，在球坐標(biāo)系中表示一個(gè)點(diǎn)是鳖擒，r是球半徑溉浙，是與z軸正方向的夾角，是與x軸正方向的夾角蒋荚。的范圍是放航，的范圍是。所以圆裕，當(dāng)要求半球的輻射照度E時(shí)广鳍，對(duì)的積分區(qū)域是荆几，而的積分區(qū)域是。

對(duì)立體角微元來說赊时，因?yàn)榱Ⅲw角本身就是面積吨铸，所以我們只要表示一個(gè)微面元就可以了，我們采用長方形的表示方式祖秒，這樣可以鋪滿整個(gè)半球诞吱，并且其面積計(jì)算公式簡(jiǎn)單。在微面元的情況下竭缝，有一點(diǎn)彎曲的長方形曲面和沒有彎曲的長方形的面積是一樣的房维，所以，微面元的面積可以表示成：抬纸，正如上面的圖所顯示的那樣咙俩。

和是角度的微元增量，為什么還有呢湿故？因?yàn)楫?dāng)增加了一定值后阿趁，它所對(duì)應(yīng)的弧長增加值是角度乘以半徑。而點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的半徑是圖中的坛猪。于是脖阵，半球的輻射照度E是：

上述的公式就是半球輻射照度，弄懂了之后感覺非常簡(jiǎn)單墅茉。

反射模型

BRDF

BRDF全稱bidirectional reflectance distribution function命黔，中文翻譯成雙向反射分布函數(shù)。描述的是表面上某一點(diǎn)（微面元）就斤，接收到入射光線與該點(diǎn)反射光線之間的相互關(guān)系悍募。

為了區(qū)分反射和入射，與入射相關(guān)的物理量會(huì)加小標(biāo)i战转，與反射相關(guān)的物理量會(huì)加小標(biāo)o搜立。用表示入射亮度以躯，用表示反射亮度槐秧。還是從這個(gè)公式開始推理：

兩邊取微分可以得到，表示某個(gè)方向的照度值忧设。而根據(jù)能量守恒定律我們知道刁标，反射的亮度不可能超過入射亮度。根據(jù)線性性質(zhì)還可以知道它和入射亮度之間還有比例關(guān)系址晕，入射亮度越大膀懈，反射亮度越大，即：谨垃。于是启搂，我們可以列出這樣一個(gè)式子：

即：反射亮度與入射亮度有一定比例關(guān)系硼控。

將這個(gè)式子代入到之前的式子中得到

于是的值就是：

這是PBR計(jì)算的基本公式之一。

BSSRDF

BSSRDF胳赌，全稱是bidirectional scattering surface reflectance distribution function牢撼，中文翻譯成雙向散射表面反射分布函數(shù)。它是比BRDF模型更貼近現(xiàn)實(shí)的計(jì)算模型現(xiàn)實(shí)中疑苫，我們的表面總是會(huì)有一定的深度熏版，當(dāng)光從一面進(jìn)入的時(shí)候，在里面不斷反射捍掺，然后從另一個(gè)地方出來撼短，才是更真實(shí)的物理模型。

BSSRDF模型

由于散射的存在挺勿，某一個(gè)點(diǎn)的反射亮度是和整個(gè)表面所接收到的通量掛鉤的曲横。整個(gè)表面接收的的通量就是，于是满钟，表面上一點(diǎn)的反射亮度與通量的關(guān)系是：
展開可得的完整計(jì)算公式：

要說復(fù)雜也復(fù)雜胜榔，說簡(jiǎn)單也簡(jiǎn)單，理解了就好湃番。

總結(jié)

歡迎評(píng)論夭织！

參考資料：
Physically Based Rendering
pbrt源碼，版本3
Introduction to Radiometry and Photometry