最大公約數(shù)

. 歐幾里德算法和擴(kuò)展歐幾里德算法

歐幾里德算法

歐幾里德算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法漱牵,用于計算兩個整數(shù)a,b的最大公約數(shù)酣胀。其計算原理依賴于下面的定理:

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

證明:a可以表示成a = kb + r,則r = a mod b

假設(shè)d是a,b的一個公約數(shù)灵临,則有

d|a, d|b趴荸,而r = a - kb宦焦,因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公約數(shù)

假設(shè)d 是(b,a mod b)的公約數(shù)顿涣,則

d | b , d |r 涛碑,但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公約數(shù)

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數(shù)是一樣的孵淘,其最大公約數(shù)也必然相等,得證

歐幾里德算法就是根據(jù)這個原理來做的瘫证,其算法用C++語言描述為:

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#includeusing namespace std;

//int gcd(int a, int b)

//{ if (b == 0) {

// return a; }

// gcd(b, a%b);}

int gcd(int m, int n)

{while (n != 0){

int r = m%n;

m = n;

n = r;

gcd(m, n);

}

return m;}

int main()

{int m,n;

cin >> m;

cin >> n;

cout<<gcd(m,n);

system("pause");

return 0;}

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