線性代數(shù)之——矩陣乘法和逆矩陣

1. 矩陣乘法

如果矩陣 $B$ 的列為 $b_1, b_2, b_3$ ，那么 $EB$ 的列就是 $Eb_1, Eb_2, Eb_3$ 窃这。

$\boldsymbol{EB = E[b_1 \quad b_2 \quad b_3] = [Eb_1 \quad Eb_2 \quad Eb_3]}$

$E\space(B 的第\space j \space列) =EB \space的第 \space j \space列$

置換矩陣（permutation matrix）

在消元的過(guò)程中，如果遇到了某一行主元的位置為 0，而其下面一行對(duì)應(yīng)的位置不為 0溪烤，我們就可以通過(guò)行交換來(lái)繼續(xù)進(jìn)行消元。

如下的矩陣 $P_{23}$ 可以實(shí)現(xiàn)將向量或者矩陣的第 2 庇勃、 3 行進(jìn)行交換檬嘀。

$P_{23} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \boldsymbol 3\\ \boldsymbol 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \boldsymbol 5\\\boldsymbol 3\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&4&1 \\ \boldsymbol0&\boldsymbol0&\boldsymbol3\\0&6&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4&1 \\0&6&5 \\\boldsymbol0&\boldsymbol0&\boldsymbol3\end{bmatrix}$

置換矩陣 $P_{ij}$ 就是將單位矩陣的第 $i$ 行和第 $j$ 行進(jìn)行互換，當(dāng)交換矩陣乘以另一個(gè)矩陣時(shí)责嚷，它的作用就是交換那個(gè)矩陣的第 $i$ 行和第 $j$ 行鸳兽。

增廣矩陣（augmented matrix）

在消元的過(guò)程中，方程兩邊的系數(shù) $A$ 和 $b$ 都要進(jìn)行同樣的變換罕拂，這樣揍异，我們可以把 $b$ 作為矩陣 $A$ 的額外的一列全陨，然后，就可以用消元矩陣 $E$ 乘以這個(gè)增廣的矩陣一次性完成左右兩邊的變換蒿秦。

$E[A \space \boldsymbol b] = [EA \space E \boldsymbol b]$

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&4&-2&\boldsymbol 2 \\ 4&9&-3&\boldsymbol 8 \\-2&-3&7&\boldsymbol {10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4&-2&\boldsymbol 2 \\ 0&1&1&\boldsymbol 4 \\-2&-3&7&\boldsymbol {10} \end{bmatrix}$

矩陣乘法的四種理解

如果矩陣 $A$ 有 $n$ 列烤镐， $B$ 有 $n$ 行，那么我們可以進(jìn)行矩陣乘法 $AB$ 棍鳖。

假設(shè)矩陣 $A$ 有 $m$ 行 $n$ 列炮叶，矩陣 $B$ 有 $n$ 行 $p$ 列，那么 $AB$ 是 $m$ 行 $p$ 列的渡处。

$(m×n)(n×p)=(m×p) \quad \begin{bmatrix} \boldsymbol{m \space 行} \\{n \space 列} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n \space 行 \\\boldsymbol{p \space 列} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{m \space 行} \\\boldsymbol{p \space 列}\end{bmatrix}$

矩陣乘法的第一種理解方式就是一個(gè)一個(gè)求取矩陣 $AB$ 位于 $(i, j)$ 處的元素

$(AB)_{ij} = A \space 的第 \space i \space 行與\space B \space的第\space j \space 列的內(nèi)積 = \sum a_{ik}b_{kj}$

第二種理解镜悉，矩陣 $AB$ 的列是 $A$ 的列的線性組合

${AB = A[b_1 \quad b_2 \cdots b_p] = [Ab_1 \quad Ab_2 \cdots Ab_p]}$

第三種理解，矩陣 $AB$ 的行是 $B$ 的行的線性組合

$AB = \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\a_m\end{bmatrix}B = \begin{bmatrix}a_1 B \\ a_2B \\ \vdots \\a_m B\end{bmatrix}$

第四種理解医瘫，矩陣 $AB$ 是所有 $A$ 的列與 $B$ 的行的乘積的和

$AB = [a_1 \quad a_2 \cdots a_n] \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_n\end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

其中侣肄，一列乘以一行稱(chēng)為外積（outer product），(n×1)(1×n)=(n, n)醇份，結(jié)果為一個(gè) n×n 的矩陣稼锅。
$\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix}[1 \quad 6] + \begin{bmatrix}7 \\ 8 \\ 9\end{bmatrix}[0 \quad 0] = \begin{bmatrix}2&12 \\ 3&18 \\ 4&24\end{bmatrix}$

矩陣乘法的性質(zhì)

結(jié)合律： $\boldsymbol{A(BC) = (AB)C}$
交換律： $\boldsymbol{(A+B)C = AC+BC}$
交換律： $\boldsymbol{A(B+C) = AB+AC}$

$A^p = \underbrace{AA\cdots A}_{\text{p 個(gè)}}$
$A^pA^q = A^{(p+q)}$
$(A^p)^q = A^{pq}$
$A^0=I$

分塊矩陣

矩陣還可以被劃分為小塊，其中每個(gè)小塊都是一個(gè)更小的矩陣僚纷。

如果對(duì)矩陣 $A$ 的列的劃分和對(duì)矩陣 $B$ 的行的劃分正好匹配矩距，那么每個(gè)塊之間就可以進(jìn)行矩陣乘法。

一種特殊的劃分就是矩陣 $A$ 的每個(gè)小塊都是 $A$ 的一列怖竭，矩陣 $B$ 的每個(gè)小塊都是 $B$ 的一行锥债，這種情況就是我們上面說(shuō)的矩陣相乘的第四種理解。

同樣地痊臭，在消元的時(shí)候哮肚，我們也可以按塊對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行消元。

2. 矩陣的逆

假設(shè) $A$ 是一個(gè)方陣广匙，如果存在一個(gè)矩陣 $A^{-1}$ 允趟，使得

$A^{-1}A = I \quad 并且 \quad AA^{-1} = I$

那么，矩陣 $A$ 就是可逆的鸦致， $A^{-1}$ 稱(chēng)為 $A$ 的逆矩陣潮剪。

逆矩陣的逆就是進(jìn)行和原矩陣相反的操作。消元矩陣 $E_{21}$ 的作用是第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的 2 倍蹋凝。

$E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

其逆矩陣 $E_{21}^{-1}$ 的作用則是第二個(gè)方程加上第一個(gè)方程的 2 倍鲁纠。

$E_{21}^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

當(dāng)且僅當(dāng)在消元過(guò)程中產(chǎn)生 $n$ 個(gè)主元的時(shí)候（允許行交換）总棵，矩陣 $A$ 的逆才存在鳍寂。
矩陣 $A$ 不可能有兩個(gè)不同的逆矩陣，左逆等于右逆情龄。假設(shè) $BA=I$ 迄汛， $AC=I$ 捍壤，那么一定有 $B=C$ 。
$B(AC) = (BA)C \to BI = IC \to B=C$
如果矩陣 $A$ 是可逆的鞍爱，那么 $Ax=b$ 有唯一解 $x=A^{-1}b$ 鹃觉。
如果存在一個(gè)非零向量 $x$ 使得 $Ax= \boldsymbol 0$ ，那么 $A$ 不可逆睹逃，因?yàn)闆](méi)有矩陣可以將零向量變成一個(gè)非零向量盗扇。

$若 \space A^{-1} \space 存在，則\space x = A^{-1} \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$

一個(gè) 2×2 的矩陣是可逆的沉填，當(dāng)且僅當(dāng) $ad-bc$ 非零疗隶。

一個(gè)對(duì)角化矩陣如果其對(duì)角線上元素非零，那么其有逆矩陣翼闹。

如果矩陣 $A$ 和矩陣 $B$ 都是可逆的斑鼻，那么它們的乘積 $AB$ 也是可逆的。

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
$(AB)^{-1}AB = B^{-1}A^{-1}AB = B^{-1}IB = I$

同樣地猎荠，針對(duì)三個(gè)或更多矩陣的乘積坚弱，有

$(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

3. 高斯－若爾當(dāng)消元法（Gauss-Jordan Elimination）求矩陣的逆

我們可以通過(guò)消元法來(lái)求解矩陣 $A$ 的逆矩陣。思路是這樣的关摇，假設(shè) $A$ 是一個(gè) 3×3 的矩陣荒叶，那么我們可以建立三個(gè)方程來(lái)分別求出 $A^{-1}$ 的三列。

$AA^{-1} = A[x_1 \quad x_2 \quad x_3] = [e_1 \quad e_2 \quad e_3]=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

$\begin{alignedat}{2} Ax_1 = e_1 \\ Ax_2 = e_2\\ Ax_3 = e_3 \end{alignedat}$

而高斯－若爾當(dāng)消元法則是一次性求解出這些方程拒垃，之前我們求解一個(gè)方程的時(shí)候停撞，將 $b$ 作為 $A$ 的一列組成增廣矩陣，而現(xiàn)在我們則是把 $e_1悼瓮、e_2戈毒、e_3$ 三列一起放入 $A$ 中形成一個(gè)增廣矩陣，然后進(jìn)行消元横堡。

到這里埋市，我們已經(jīng)得到了一個(gè)下三角矩陣 $U$ ，高斯就會(huì)停在這里然后用回帶法求出方程的解命贴，但若爾當(dāng)將會(huì)繼續(xù)進(jìn)行消元道宅，直到得到簡(jiǎn)化階梯形式（reduced echelon form）。

最后胸蛛，我們將每行都除以主元得到新的主元都為 1污茵，此時(shí)，增廣矩陣的前一半矩陣就是 $I$ 葬项，而后一半矩陣就是 $A^{-1}$ 泞当。

我們用分塊矩陣就可以很容易地理解高斯－若爾當(dāng)消元法，消元的過(guò)程就相當(dāng)于乘以了一個(gè) $A^{-1}$ 將 $A$ 變成了 $I$ 民珍，將 $I$ 變成了 $A^{-1}$ 襟士。

$A^{-1}[A \quad I] = [I \quad A^{-1}]$

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最后編輯于：2019.11.16 13:05:08

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