我們對(duì)某想法的初次接觸會(huì)形成我們對(duì)其的直覺，我們的直覺反過來會(huì)影響我們從該主題中獲得的樂趣牲蜀。
這是什么意思呢笆制？
假設(shè)我們要定義’貓’：
- 原始人的定義：有爪子、牙齒涣达、1條尾巴在辆、4條腿的毛茸茸的動(dòng)物，開心的時(shí)候呼呼的叫度苔，生氣的時(shí)候嘶嘶的叫 ...
- 進(jìn)一步的定義：屬于哺乳動(dòng)物匆篓，有如下特征 ...
-
現(xiàn)代的定義：貓是有如下DNA序列的動(dòng)物：CATCATCATCAT …
cat-analogy
毫無疑問，現(xiàn)代定義很精確寇窑，但它是最好的么鸦概？你會(huì)這樣教學(xué)習(xí)這個(gè)‘貓’字的小朋友么？它能給予’貓’更好的詮釋么甩骏？不一定〈笆校現(xiàn)代定義先慷，在我們了解了貓是什么之后很有用，但不應(yīng)該是我們一開始認(rèn)識(shí)‘貓’的時(shí)候需要了解的東西谨设。
不幸的是熟掂，對(duì)于數(shù)學(xué)的理解似乎遵循了DNA的學(xué)習(xí)模式：我們學(xué)
習(xí)了現(xiàn)代的、精確的定義扎拣，而不是知其所以然赴肚。我們學(xué)習(xí)了很多艱深的數(shù)學(xué)公式（就像DNA），但卻很少理解公式背后的含義是什么二蓝。
讓我們從另一個(gè)角度看這個(gè)問題誉券。想象一個(gè)圓：圓心是要研究的核心，圓周是對(duì)核心的描述刊愚。我們從一點(diǎn)出發(fā)沿著圓周走踊跟，不斷收集事實(shí)去建立我們對(duì)于核心的理解。貓有相同的物理性狀 推論出 貓有相同的祖先 推論出 一個(gè)種群可以由DNA構(gòu)成唯一確定鸥诽。阿哈商玫！現(xiàn)在知道現(xiàn)代定義是如何從原始人定義進(jìn)化來的了！
對(duì)事物的各個(gè)認(rèn)知起點(diǎn)并不是等價(jià)的牡借，正確的理解角度讓數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單拳昌，首先提出樸素定義的‘?dāng)?shù)學(xué)原始人’的觀點(diǎn)往往更有啟發(fā)性。讓我們學(xué)習(xí)如何建立自己的數(shù)學(xué)直覺吧钠龙！
什么是圓
你是如何定義圓的呢炬藤？似乎有無數(shù)的定義，比如：
- 最對(duì)稱的2維圖形
- 周長最小時(shí)面積最大的圖形
- 跟某定點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成的圖形
- 滿足等式x2 + y2 = r2的點(diǎn) (x,y)的集合
- 對(duì)于任意t碴里，滿足等式r * cos(t), r * sin(t)的所有的點(diǎn)
-
位置向量總是與切線垂直的一種圖形
circle-definitions
列表還可以往下寫沈矿，但重要的一點(diǎn)是，所有這些事實(shí)都描述了同一個(gè)思想咬腋，就像在說1羹膳、one(英語)、uno(西班牙語)根竿、eins(德語)溜徙、滿足2x + 3 = 5的解x、臉上鼻子的數(shù)量等等犀填，所有這些都只是‘1’的不同的名字蠢壹。
這些對(duì)于圓的描述很重要，它們是我們對(duì)于圓的直覺九巡。由于我們是在進(jìn)入課堂之前現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)世界看到圓图贸，我們了解圓是怎么樣的一種形狀芋簿。無論我們見到多完美的等式（2x + 3 = 5）礁凡，我們都深深的知道圓是怎樣’圓’的叠赐。如果我們把等式的圖像畫圖來涯肩，卻看到的是方形的或者不對(duì)稱的，我們肯定知道錯(cuò)了沟优。
我們從’原始人的定義’開始認(rèn)識(shí)圓涕滋，這讓我們對(duì)圓有了一個(gè)恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這個(gè)’圓圓的形狀’上的每一點(diǎn)離中心都有相同的距離挠阁，最后用勾股定理x2 + y2 = r2來展示相同的事實(shí)宾肺。我們從對(duì)圓的直覺出發(fā)，一路走到了圓的正式定義侵俗！
然而其他情況可能就沒這么簡(jiǎn)單了锨用。我們能本能地發(fā)現(xiàn)自然常數(shù)e的增長么？虛數(shù)i是人為創(chuàng)造隘谣、沒有意義的概念么增拥？
培養(yǎng)洞察力的方法
不像我們能輕易明白圓和貓是什么樣子，我們必須提醒自己自然常數(shù)e和虛數(shù)i的深層內(nèi)涵寻歧，而它們的實(shí)際意義恰恰本應(yīng)該建立在我們自然形成的理解上掌栅。
理解他們的拼圖少了一大塊讓我有些抓狂：數(shù)學(xué)本是對(duì)實(shí)際的抽象，方程僅僅是一個(gè)表達(dá)方式码泛，一旦核心概念明確猾封，列出等式是水到渠成的事情。
以下是對(duì)我有用的方法：
- 第一步：找到一個(gè)數(shù)學(xué)概念的核心主題弟晚。這可能很難，但可以從它的歷史發(fā)展去嘗試了解其來龍去脈逾苫。這個(gè)數(shù)學(xué)思想首次被應(yīng)用到哪里卿城？發(fā)現(xiàn)者當(dāng)時(shí)正在做什么而產(chǎn)生了該想法？這些想法和應(yīng)用領(lǐng)域在過去和現(xiàn)在可能會(huì)不盡相同铅搓。
- 第二步：使用發(fā)現(xiàn)的核心主題去描述一個(gè)事實(shí)瑟押。如果幸運(yùn)的話，你就能把數(shù)學(xué)等式轉(zhuǎn)化為大白話星掰，比如對(duì)于圓的正式定義x2 + y2 = r2多望，我們可以表述為“距中心相同距離的點(diǎn)組成的圖形”。
- 第三步：通過該核心主題探索更多的相關(guān)事實(shí)氢烘。一旦你有一個(gè)數(shù)學(xué)定義的白話描述有效果怀偷，嘗試把它應(yīng)用到其他事實(shí)上去。有時(shí)候這會(huì)有用播玖，但也有可能不會(huì)椎工，不過最終你會(huì)驚訝于自己的發(fā)現(xiàn)。
一個(gè)真實(shí)案例：理解自然常數(shù)e
理解自然常數(shù)e一直是個(gè)很大的挑戰(zhàn)，它出現(xiàn)在所有科學(xué)領(lǐng)域维蒙，并且有很多的定義掰吕，但是這些定義很少能讓我們通過自然的方式去理解。那讓我們圍繞這個(gè)主題培養(yǎng)自己的洞察吧颅痊！下面的部分會(huì)有幾個(gè)等式來描述想法殖熟。即使等式再不好理解，總會(huì)在其背后有一個(gè)白話解釋斑响。
這里有一些關(guān)于自然常數(shù)e的常見定義菱属。
首先第一步是找到核心主題×道Γ看一下e的歷史（來自Wikipedia）照皆，似乎它跟利息有著某種關(guān)系。e是在實(shí)際的商業(yè)計(jì)算中被發(fā)現(xiàn)的（不是抽象的數(shù)學(xué)猜想７型！）膜毁，因此利息是一個(gè)可以用來討論e的主題。
看一下上圖中左上方的第一個(gè)定義愤钾，對(duì)我而言瘟滨，最大的問題就是它跟復(fù)利計(jì)算到底哪里長得像了！能颁？實(shí)際上杂瘸，當(dāng)把它看成1單位的資產(chǎn)和對(duì)應(yīng)的全部利息組合再投資時(shí)，它就是利息公式伙菊，只是是在無數(shù)次本息重復(fù)投資的情況下败玉。所以我們得到了：
- 定義1:自然常數(shù)e，就是在最小可能增量下的本息增長情況镜硕。
這篇文章（理解e）對(duì)e的這種解釋有所描述运翼。
再看右上角的第二個(gè)定義：一個(gè)各項(xiàng)越來越小的無窮項(xiàng)序列。這是什么呢兴枯？
在用利息這個(gè)主題思考了e的含義之后血淌，我們明白第一種定義告訴了我們復(fù)利的組成。現(xiàn)在财剖，對(duì)于第二個(gè)定義的洞察也許還沒來悠夯，而且這種洞察往往是在頭腦風(fēng)暴后靈光一現(xiàn)，那就是當(dāng)我們說利息的時(shí)候躺坟，“1 + 1 + 1/2 + 1/6 + …”表示的是什么沦补？
嗯 ... 第一項(xiàng)(1 = 1/0!，還記得0! = 1吧咪橙！)是我們的初始金額策彤，第二項(xiàng)（1 = 1/1!）是初始金額所得的利息栓袖，第三項(xiàng)(0.5 = 1/2!)是利息掙的錢(2階利息)，第四項(xiàng)（0.1666 = 1/3!）是你利息的利息掙的錢店诗，也就是3階利息裹刮！
錢生錢，再生錢庞瘸，一直進(jìn)行下去捧弃，這個(gè)無窮序列把每一項(xiàng)的貢獻(xiàn)都單獨(dú)分開，這就是通過‘聚焦增長’來理解e的內(nèi)涵擦囊。
- 定義2:自然常數(shù)e违霞，就是每一份利息的貢獻(xiàn)之和.
現(xiàn)在看看右下角的第三個(gè)，也是最短的一個(gè)關(guān)于e的定義瞬场。先不要把它想成微分方程买鸽，而是試著理解它所表達(dá)的含義。
‘某個(gè)量的增長率等于其當(dāng)前值’就是這個(gè)微分式所表達(dá)的內(nèi)容贯被。也就是說眼五，在當(dāng)前的量的基礎(chǔ)上有100%的增長率，并且一直增長意味著要一直計(jì)算利息彤灶，這只是用連續(xù)的方式描述復(fù)利看幼！
- 定義3:自然常數(shù)e，是一個(gè)總以當(dāng)前值100%增長的方程幌陕。
漂亮诵姜！e就是在當(dāng)前量的基礎(chǔ)上總是100%增長的那個(gè)數(shù)字，注意這個(gè)增長率不是1%或者200%哦搏熄！
最后一個(gè)左下角的定義看起來很棘手棚唆。我是這么想的，與其說增長了多少心例，不如說要增長到某個(gè)值要花多長時(shí)間宵凌。
如果你現(xiàn)在有1塊錢且增長率100%，在單位時(shí)間內(nèi)會(huì)從1變成2契邀；如果你有2塊錢并且增長率100%摆寄，在單位時(shí)間內(nèi)會(huì)從2變成4失暴，也就是說單位時(shí)間內(nèi)增長了2個(gè)單位坯门！那如果從2到3會(huì)花1/2個(gè)單位時(shí)間，從3到4會(huì)花1/3個(gè)單位時(shí)間逗扒，等等古戴。
從1到A花的時(shí)間，可以看成是從1到2矩肩，2到3现恼，3到4，… … 持續(xù)下去一直到A-1到A花的時(shí)間之和，定義里的自然對(duì)數(shù)ln叉袍，可以理解為增長時(shí)間計(jì)算的簡(jiǎn)寫始锚，ln(a)就是從1到a增長所需的時(shí)間。
我們說喳逛，e是從1增長到A時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的增長量的和瞧捌。或者說润文，e是1個(gè)單位時(shí)間后的增長量姐呐。
- 定義4:記從1連續(xù)增長到A所花時(shí)間為ln(A)，自然常數(shù)e就是1個(gè)單位時(shí)間后的增長率之和典蝌。
以上就是從4個(gè)不同的方式描述神秘的數(shù)字e曙砂。一旦我們有了核心認(rèn)知，那些瘋狂的等式所代表的含義就會(huì)一目了然骏掀，也說明了把數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)化為白話是可行的鸠澈，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身就是對(duì)日常想法的抽象！
問題在哪兒
在數(shù)學(xué)課上砖织，我們往往是從最復(fù)雜的概念學(xué)起款侵。難怪我們會(huì)感到困惑不解啊，因?yàn)槲覀兪潜徽故矩埖腄NA序列來學(xué)習(xí)貓是張什么樣子的侧纯。
我通過這種方法學(xué)到了很多經(jīng)驗(yàn)新锈，它們構(gòu)成了我對(duì)數(shù)學(xué)的理解：
尋找洞見然后應(yīng)用。第一直覺很重要眶熬，從可行的一點(diǎn)出發(fā)然后’沿著圓圈’去發(fā)現(xiàn)更多理解妹笆。
培養(yǎng)毅力。想破腦袋像一個(gè)問題的確是沒有樂趣娜氏，但如果一個(gè)不行試試從其他角度去理解拳缠。總會(huì)有另一本書贸弥，另一篇文章窟坐，另一個(gè)人可以通過另一個(gè)方式讓我們某個(gè)數(shù)學(xué)主題的。
圖形化绵疲。我們都會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是公式的冰冷世界哲鸳，但其實(shí)也可以通過圖形來表達(dá)。任何可以提高對(duì)數(shù)學(xué)理解的方法都值得嘗試盔憨。要知道徙菠，虛數(shù)在被發(fā)現(xiàn)后的幾十年后一直讓人無法理解，直到幾何表示出現(xiàn)帶來新的曙光郁岩。只盯著等式看是無法幫我們理解其含義的婿奔。
如果只強(qiáng)調(diào)定義而不關(guān)注理解缺狠，這是數(shù)學(xué)對(duì)我們而言很難的原因所在。要記得萍摊，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)定義是最前沿的思想挤茄，而不一定是最好的理解數(shù)學(xué)的起點(diǎn)。嘗試把數(shù)學(xué)概念翻譯成大白話吧冰木，也不用擔(dān)心你的翻譯是否滑稽驮樊。
數(shù)學(xué)使人快樂！
