原文鏈接 https://betterexplained.com/articles/developing-your-intuition-for-math/
對概念的第一印象塑造了我們對概念的直覺辙谜。 而且罐脊，直覺會影響我們對一個學(xué)科的喜愛程度。什么意思呢萍桌？比如上炎，我們想給"貓"下個定義：
山頂洞人版 一個毛茸茸的動物藕施，有爪子裳食、牙齒、一條尾巴和四條腿尘盼。高興的時候發(fā)出咕嚕咕嚕的聲音卿捎，生氣的時候嘶嘶的叫...
進化論版 某種哺乳類動物的后代午阵，有著某些特征...
現(xiàn)代版 那些可以稱之為定義底桂？貓是一種動物惧眠，它們的DNA有著如下特征: ACATACATACATACAT…
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毫無疑問，現(xiàn)代版本的定義是最準確的暮顺。但是它是最好的嗎捶码？你是這么給小孩子教授"貓"這個單詞的惫恼？這個定義真的能更好揭示動物身上貓的特性嗎令宿？不見得∠铺裕現(xiàn)代的定義是有用的革娄，但是是在我們理解了貓是什么之后拦惋。我們不應(yīng)該從現(xiàn)代的定義入手厕妖。
不幸的是言秸，理解數(shù)學(xué)就像理解DNA一樣举畸。我們被教授了現(xiàn)代的抄沮，嚴謹?shù)亩x叛买，但是卻沒有告訴我們這些概念什么怎么來的率挣。留給我們的是一堆神秘的方程式难礼，但是背后的原理是什么，我們卻知之甚少撩鹿。
讓我們從不同的角度來探索一個概念悦屏。假想有一個圓：圓心是你正在學(xué)習(xí)的概念节沦，圓的四周是對它的描述键思。我們從一個角落開始學(xué)習(xí)，僅僅依靠一個定理或者觀點甫贯，然后努力思索不斷加強我們的理解吼鳞。我們從貓有著共同的身體特征推導(dǎo)出貓有共同的祖先，繼而推導(dǎo)出一個物種可以通過特定的DNA進行區(qū)分叫搁。啊哈赔桌！我們現(xiàn)在可以知道貓的定義是如何從山頂洞人的定義演化到現(xiàn)在的定義了。
但是并不是所有的起點都是一樣的渴逻。正確的視角使得我們學(xué)起來事半功倍 ——數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)定理的先驅(qū)們通常都具有啟發(fā)式的觀點疾党。下面讓我一起學(xué)習(xí)如何構(gòu)建我們的直覺吧。
** 圓是什么 **
讓我們來看一個數(shù)學(xué)示例：如何給圓下個定義？
看上去似乎有無數(shù)多個定義卧波。下面舉幾個例子：
<li> 最對稱的二維圖形
<li> 用最少的周長圍出最大面積的圖形
<li>平面中到定點距離相等點的集合
<li> 滿足方程x^2 +y^2 = r^2點的集合
<li> 對所有的t，滿足參數(shù)方程rSin(t),rCos(t)的點集合
<li> 切線始終與位置向量垂直的圖形
這個清單還可以繼續(xù)補充下去锈颗，但是有一個關(guān)鍵點：他們描述都描述了同一個概念遥昧。就像是說1（阿拉伯?dāng)?shù)字1），one（英文1）,uno（西班牙語1）常摧，eins（德語1），方程2x + 3 = 5的解，或者鼻子的個數(shù)享甸。這些都表示數(shù)字1瓷翻，只是同一個概念的不同的名字罷了彼哼。
但是這些初始的描述很重要——他們數(shù)造了我們的直覺。因為先在現(xiàn)實世界中見到了圓而后我們才在課堂中學(xué)習(xí)它，我們明白他們是“圓”的构灸。無論我們覺得方程式（x^2 +y^2 = r^2 ）多么的令人驚艷曹阔，我們根深蒂固的知道圓圈是圓的。如果我們根據(jù)方程式進行作圖，得到的圖形是方的，或者不對稱茂装，那肯定是出錯了彼妻。
做為小孩子揩魂，我們學(xué)習(xí)山頂洞人版的圓的定義（就是很圓的東西），給了我們很直觀的直覺。我們發(fā)現(xiàn)在圓的東西上，所有點到中心的距離都是相等的。x^2 + y^2 = r^2是用解析的方法描述了同樣的事實，使用了畢達哥拉斯的距離表示方法。我們從一個點出發(fā)根據(jù)我們的直覺形耗，不斷的學(xué)習(xí)然后推導(dǎo)出正式的定義倦踢。
其它的概念就未必如此幸運了。我們能夠憑直覺了解到e表示增長率嗎哼蛆，或者它只是一個抽象的定義叠洗？我們能了解i（虛數(shù)概念）表示旋轉(zhuǎn)嗎腾节，還是它只是一個人造的，沒用的概念拷姿？
培養(yǎng)直覺的策略
時至今日我仍然需要時不時的提醒自己e與i的深層含義——這就像需要提醒自己就圈圈是圓的或者貓是什么樣子一樣荒唐棒妨！我們應(yīng)該從最自然的想法開始學(xué)習(xí)他們。
忽略了重點使我抓狂：數(shù)學(xué)是關(guān)于概念的——方程式只是一種解釋概念的方式而已偷厦。一定清楚了概念的要點弥咪，方程式很快就是建立起來扳躬。下面是一些對我有用的方法：
步驟1: 找出數(shù)學(xué)概念的主題。這個可能會很難啰挪，但是可以試著從它的歷史著手丁逝。這個概念第一次出現(xiàn)在哪里？發(fā)現(xiàn)者做了哪些工作呢驹针？概念之前的用途可能會和如今的解釋和用途有所不同。
步驟2：通過一個主題來解釋一個性質(zhì)或定理撤防。用一個主題來類比正式的定義。如果幸運的話，你可以把數(shù)學(xué)方程式（x^2 + y^2 = r^2）翻譯成通俗易懂的語言碧库。（“距離中心距離相等的點的集合”）
步驟3：使用相同的主題來挖掘相關(guān)連的性質(zhì)。一定你發(fā)現(xiàn)了一個行之有效的類比或者解釋搂鲫，試試看是否它可以應(yīng)用到其它的性質(zhì)中赊舶。有時可以舔痪，有時不可以渐排。這時候你需要重新審視了帘靡，但是你的發(fā)現(xiàn)會讓你大吃一驚。
小試牛刀
一個實例：理解e
理解數(shù)字e是一項艱巨的任務(wù)和泌。e出現(xiàn)在各種科學(xué)中王凑，而且擁有多種定義，但是沒有一個以一種自然的方式來定義。讓我們圍繞著這個概念做一些深入的探究。下面的幾個小節(jié)會出現(xiàn)一些簡單描述這個概念的方程式尸疆】疬郑縱然方程式看起來有些莫名其妙鸠删，但是其背后有隱藏著簡單樸實的描述。
下面是一些e的定義：
第一步就是要尋找一個主題碉怔。查看一下e的歷史烘贴，它好像和增長率或者利率相關(guān)。e是在做商業(yè)計算時發(fā)現(xiàn)的（而不是抽象的數(shù)學(xué)猜想）撮胧，所以“利息”（增長率）就是個合適的主題桨踪。
我們來看一下第一個定義，圖中左上角的那個芹啥。對我而言锻离，最關(guān)鍵的跳躍是铺峭，認識到這個定義和復(fù)利計算公式有多像。事實上汽纠，這就你按照盡可能快的方式卫键，在單位時間內(nèi)以100%復(fù)利增長的條件下利率計算公式。
定義1：e定義為以最小的增量之下虱朵，以100%的復(fù)利增長所能達到的極限值莉炉。
這篇講述e的文章(https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/) 對上述定義做了詳細的解釋。讓我們看一下第二個定義：一個無窮序列卧秘，后面每一項越來越小呢袱，這會是什么呢？
使用“利率”主題來深刻的探討了這個定義翅敌。我們發(fā)現(xiàn)e的第二個定義是復(fù)利的組成部分⌒吒＃現(xiàn)在看起來還不是那么直觀 -- 我們思考一下在討論增長率時，“1+1+1/2+1/6 …”代表了什么之后就可以柳暗花明了蚯涮。
第一項（1=1/0!,記住0的階乘等于1）是你的本金治专，初始資本。第二項（1=1/1!）是你直接賺的的利息 -- 本金1的100%遭顶。第三項(0.5 = 1/2!) 是你利息賺得的利息（“第二級利息”）张峰。接下來的一項(.1666 = 1/3!)是你的第三級利息--也就是你利息的利息所賺得的利息。
錢可生錢棒旗，生出來的錢還可以繼續(xù)生錢喘批，無窮無盡連綿不絕（子可生孫，孫又生子铣揉；子子孫孫饶深，無窮匱也）-- 這些無窮無盡的序列獨立作出了貢獻。還有很多東西可以說逛拱，但是還是讓我們圍繞增長率來理解這個概念吧敌厘。
定義2：e就是各項利息之和。
接下來我們來看e的第三個定義也是最短的一個朽合。它是什么意思呢俱两？不要去想著導(dǎo)數(shù)（這會把你的大腦切換到方程式模式）而是去想想它是什么。找找對方程式的感覺曹步。讓它成為你的朋友宪彩。
這是用微積分的方式表示“增長率等于現(xiàn)在的數(shù)量”。嗯讲婚，增長率等于現(xiàn)在的數(shù)值意味著100%的增長率毯焕，沒錯吧。而它是一直增長就意味著需要一直計算利率 -- 這是用另一種方式來描述連續(xù)復(fù)合增長率。
定義3：e就是一個按照100%增長率在增長的函數(shù)纳猫。
很好——e就是一直完全按照自身的大衅畔獭（100%）在增長的數(shù)，而不是1%或200%芜辕。
我們來看最后一個定義 -- 最棘手的一個尚骄。我的解釋是，相反我們不談?wù)撛鲩L了多少量侵续，現(xiàn)在來談一談增長到一定量需要花費多少時間倔丈。
若果數(shù)值1按照100%的增長率，從1增長到2將花費1個單位的時間状蜗。但是如果從2開始并且以100%增長率增長需五，這意味著每個單位時間可以增長兩倍。所以只要1/2單位時間就可以從2增長到3.從3增長到4值需要1/3單位時間就這樣增長下去轧坎。從1增長到A的總時間是從1增到2宏邮，2到3，3到4 ...... 直到增長到A為止花費的時間缸血。利用第一個定義很自然就可以從“增長所耗的時間”的計算中定義“自然對數(shù)（ln）”蜜氨。
ln(a)就是從1增長到a所需要花費的時間。我們可以將e稱之為花費一單位時長可以增加多少捎泻。換言之飒炎，e就是一單位時長后所增長的部分！
定義4： 將從1連續(xù)增長到a所花費的時間為ln(a)笆豁。e就是經(jīng)過1單位時間后所增加的量郎汪。
這就是描述神秘的e的四種方式。一定掌握了核心概念（e就是關(guān)于100%連續(xù)增長的）再復(fù)雜的方程式也可以搞得一清二楚 -- 可以將微積分翻譯成樸實的語言闯狱。數(shù)學(xué)就是關(guān)于概念的煞赢。
其中的寓意
在數(shù)學(xué)課上，我們通常從最新的復(fù)雜的概念開始學(xué)起扩氢。我們感到困惑并不意外：老師們給學(xué)生展示DNA結(jié)構(gòu)而期望學(xué)生能夠看到一只貓。
我從這個方法學(xué)到了不少經(jīng)驗教訓(xùn)爷辱，這直接造就了我如何理解以及解釋數(shù)學(xué)：
<li> 探索其中的要義并應(yīng)用它們录豺。最初的直覺可以幫我們洞察很多事情做到一步到位。從一個有意義的定義開始饭弓，然后圍繞著它不斷的發(fā)現(xiàn)別的定義双饥。
<li> 皮實一點。死記硬背概念并沒什么卵用弟断。如果不能茅塞頓開咏花，試著換個角度。總有別的書籍昏翰，別的文章或者另外一些人可以幫助你理解苍匆。
<li> 可視化也很好。數(shù)學(xué)給人的感覺是嚴格的棚菊、解析的 -- 但是可視化的解釋也很好啊浸踩。虛數(shù)一直讓人覺得很費解，直到他們的幾何解釋曝于人前统求，距發(fā)現(xiàn)虛數(shù)都好幾十年了检碗。整天盯著方程式看，數(shù)學(xué)家們也看不出個所以然來码邻。
當(dāng)我們過分強調(diào)定義本身而忽視對它的理解時折剃，數(shù)學(xué)會變得很難學(xué)。記住像屋，現(xiàn)在的定義是最先進的想法怕犁，并不是思想的源頭。不要害怕從一個可笑的角度去接觸概念 开睡，找出方程式背后最通俗易懂的語言因苹。快樂的享受數(shù)學(xué)吧篇恒。
