期望與方差之二：數(shù)據(jù)線性變換后的期望值

上一篇文章介紹了期望的計算公式：

$\mu = E(X) = \sum_{i=1}^n x_{i}p(x_{i})?$

其中罕容， $x_{i}$ 為每一個數(shù)據(jù)元素數(shù)值，而 $p(x_{i})$ 是這個值的出現(xiàn)概率稿饰。期望值锦秒，即一個數(shù)組的總體平均值，描述這組數(shù)據(jù)的中心趨勢喉镰。在實際應用中旅择，我們不單要知道一組原始數(shù)據(jù)的期望值，而且要知道這組數(shù)據(jù)線性變換后的期望值侣姆。

那什么是線性變換呢生真？簡單地說，就是一個數(shù)值x捺宗，可以乘任意系數(shù)k柱蟀，在加上一個任意常數(shù)c后的數(shù)值y。說得專業(yè)一點蚜厉，y是x的一個線性函數(shù)或線性映射长已。

$y = kx + c$

什么時候需要用到這樣的變換呢？比如一件家具的生產出來后昼牛，成本價為x术瓮。經過流通環(huán)節(jié)，到達銷售終端時匾嘱，價格可能變成成本價的k倍斤斧，并加上c元。這就是一個線性變換霎烙。

現(xiàn)在我們的問題是，如果一家工廠生產了n種家具蕊连，每一件的成本價為 $x_{1},? x_{2}.... x_{n}$ 悬垃。那么，經過同樣的流通后甘苍，也就是同樣的線性變換后尝蠕，最終售價的平均值，是否能用成本價的均值來推斷呢载庭，或者說看彼，我們能否說

$E(Y) = E(kx + c) = kE(x) + c$

直覺上廊佩，這是可以的。很多書本或文章節(jié)選靖榕，都會直接給出這個式子标锄，但是基本不作詳細證明，直接來一句“顯而易見”了事茁计。我感覺這是不足夠的料皇。曾經看過某個數(shù)學家說過這么一句話，我深以為然星压。

One can't apply a theorem confidently without knowing its validity.

于是践剂，我打算對下面關于期望的三個變換作推導。

三個變換推論分別是：

1. $E(kX) = kE(X)$

2. $E(X + c) = E(X) + c$

3. $E(kX + c) = kE(X) + c$

第一種變換的證明：

$E(kX) =\sum_{i=1}^n kx_{i}p(x_{i} ) = \frac{kx_{1}+ kx_{2}+...kx_{ n}}{n}$

$=k \frac{x_{1} + x_{2} + .... + x_{n} }{n} = k\mu = kE( X)$

證畢

第二種變換的證明：

$E(X + c) = \sum_{i=1}^n (x_{i} + c) p(x_{i} ) = \frac{(x_{1}+c) + (x_{2}+c) + ....(x_{n}+c) }{n}$

$=\frac{(x_{1} + x_{2} + ...x_{ n} )+ nc }{n} = \frac{x_{1} + x_{2} + ...x_{ n}}{n} +? \frac{nc}{n}$

$= E(X) + c$

證畢

第三種變換的證明：

有了前兩個推論證明娜膘，第三個變換已經顯而易見逊脯。

$E(kX + c) = E(kX) + c = kE(X) + c$

證畢

最后提一句，關于期望和方差的各種推導竣贪，我還是喜歡回到最原始的各個數(shù)字相加后取平均的寫法军洼，因為我發(fā)現(xiàn)很多關于這個話題的證明，都直接使用連加符號（Sigma notation）贾富，初學者通常不適應歉眷。因此，這系列的文章的證明過程或許會“丑”一點颤枪。

?著作權歸作者所有,轉載或內容合作請聯(lián)系作者