#這是一篇公開的日記#
12月9日就是數(shù)學系的課程Math 6580『希爾伯特空間導論』（Intro to Hilbert Spaces）的期末考試了，所以我計劃今后常在教授的office hour提問。
下午2點多我趕到了教授的辦公室统阿，雖然他曾經(jīng)所穿的南開大學的T恤讓我確定他來自中國，但按照慣例我們還是使用英文交流濒旦。一陣簡單的寒暄之后仪芒，我說我現(xiàn)在已經(jīng)開始復習了蛮粮，現(xiàn)在在看第一章穆咐，遇到了幾個問題想向他請教颤诀。他得知我的來意后，說很樂意幫我解決這些問題对湃。
注：本課程用的教材是Nicholas Young編著的《An Introduction to Hilbert Space》崖叫，本文中的字體是印刷體的截圖都來自于此書。
我的第一個問題是：
1拍柒、下面這個定義中的乘號是什么意思归露？
教授聽完問題斤儿，說：『你知道大寫的R、C?是什么意思嗎恐锦？』
這難不倒我往果，我說：『R是所有實數(shù)的集合，C是所有復數(shù)的集合一铅∩轮』
教授說很好，然后在草紙上寫下了大寫的R和C潘飘，又一口氣寫下了R×R肮之，C×C的定義：
我點了點頭說：『哦，原來就是表示 有序的對 啊卜录，那為什么要用乘號呢戈擒？』
教授答：『這就是個約定的記號。你知道小寫的L的平方是什么意思嗎艰毒？』
我：『平方可加的數(shù)列筐高。』
教授：『具體呢丑瞧？』
我：『數(shù)列的各項的絕對值的平方的和是小于無窮大的（即收斂的）柑土。』
然后教授又寫下了圖二中的最后一部分绊汹。
我在這個問題上?并沒有糾纏太久稽屏，在我的理解里，乘號是用來表示有序對西乖，是個約定俗成的記號狐榔。
我的第二個問題是：
2坛增、為什么下面這個證明要設置一個k，而不利用柯西不等式直接得出結論荒叼？
教授：『在這個問題中我們需要證明什么？』
我：『我們需要證明這個內積的定義是有意義的被廓』祷蓿』
教授：『具體呢？』
我：『要證明那個求和的式子是收斂的嫁乘±バ觯』
教授：『哪個求和的式子是收斂的？寫下來蜓斧〔智』
我于是寫下了下面這個不等式：
教授：『沒錯，可你的問題是什么挎春？』
我：『我的問題是——為什么在圖二中的求和的式子中看疙，求和的上方是k而不是無窮大？如果是無窮大直奋，那我們可以直接根據(jù)柯西不等式得出它收斂能庆。而且，這個證明里也確實用到了柯西不等式脚线，既然如此……』
教授：『在這里搁胆，我們的前提是：只知道對于有限長的數(shù)列的柯西不等式。至于是否存在更寬泛的柯西不等式邮绿，或者說渠旁，對于無限長的數(shù)列，是否也有類似的不等式船逮，我們并不知道顾腊。我們甚至不知道，這個求和的式子能不能當成內積挖胃，如果在這里就使用對于無限長的數(shù)列的柯西不等式投慈，那就?是循環(huán)論證」诮荆』
我：『所以我們需要先設置一個k伪煤，然后利用對于有限長度數(shù)列的柯西不等式，以及這些數(shù)列是平方可加的凛辣，來證明抱既，不管這個k取多大，這個求和的式子都是收斂的扁誓》辣茫』
教授：『對蚀之，證明這個求和的式子是收斂的，而此收斂是與k無關的捷泞∽闵荆』
我：『明白了，謝謝锁右∈埽』
接下來這個問題，花的時間比前兩個問題加起來還多的多：
3咏瑟、怎么證明拂到，矩陣的內積?可以?如下圖這樣定義？
教授問：『你知道解決這種問題的思路嗎码泞？』
我回答：『證明這個定義滿足內積所需要滿足的四個條件兄旬。』
教授：『哪四個余寥？』
我趕緊在紙上寫下了那四個條件：
教授：『很好领铐，那你就先從第一個條件開始驗證∷蜗希』
我：『可是我只知道怎么驗證向量是否滿足這些條件绪撵，不知道對于矩陣應該怎么做，我猜是得先把矩陣?表示出來肥缔？』
教授：『先不說這個，你知道什么是向量空間嗎汹来？』
我：『知道续膳。』
教授：『什么是向量空間收班？』
我：『向量空間是在加法和數(shù)乘下封閉的空間……』
教授：『不不不坟岔，我是在問你，什么是向量空間摔桦，而不是問你向量空間有哪些特性社付。』
我想了想：『向量空間是向量的集合邻耕∨缚В』
教授：『那這個問題里的?空間（向量空間）?是什么意思？』
我：『m×n的矩陣的集合兄世，哦啼辣，對了，它們的元素是復數(shù)御滩，所以應該是復矩陣鸥拧〉吃叮』
教授：『把它寫下來「幌遥』
我在紙上寫下了：
The collection of the m×n complex matrices.
教授：『應該是all而不是the沟娱。』
于是我?把『the』劃掉腕柜，改成了：
The collection of all m×n complex matrices.
教授：『很好济似，那你能想一個符號來表示這個空間嗎？』
教授的口音有些重媳握，我把符號（symbol）聽成了例子(sample)碱屁。
我有些困惑的說：『你是要我給一個例子嗎？』
教授：『不是蛾找，要你給一個?符號娩脾。』
聽明白后打毛，我在紙上寫下了：
教授：『很好柿赊，你現(xiàn)在寫：這個（符號）是一個向量空間』猛鳎』
加上上文的那句話碰声，我在紙上寫下了下圖中的文字：
教授：『回到你的問題，你知道怎么表示矩陣嗎熬甫？』
我心想胰挑，終于回到我的問題了。
我：『知道椿肩≌八蹋』
教授：『寫下來，把A郑象、B都寫下來贡这。』
我不假思索的寫了下來：
教授：『你知道B*是什么意思嗎盖矫？』
我：『B的復共軛轉置』髂蹋』
教授：『你知道矩陣的跡（trace）是什么嗎辈双？』
我：『就是主對角線上的元素的和」窭』
教授：『很好辐马，那你現(xiàn)在求trace（B*A），然后驗證第一個條件∠惨』
我心想按部就班的寫應該不難冗疮，結果寫著寫著發(fā)現(xiàn)，我連復共軛轉置都寫不清楚檩帐。于是教授給我支招——先寫復共軛术幔，再寫復共軛轉置。然而我發(fā)現(xiàn)湃密，雖然我確定知道轉置是怎么一回事诅挑，但我還是?不能熟練以『字母和下標』的形式表達出來，不得不像下圖這樣卡在了這個基礎的線性代數(shù)問題上泛源。
教授看出了我的問題所在拔妥，說：『你的問題在于你對這種表達方式不熟練，你在這種情況下达箍，很容易被它嚇住没龙，無法繼續(xù)。這時缎玫，你應該多寫幾個元素硬纤，而不只是寫四個角上的元素≡吣ィ』
我：『所以你的意思是讓我寫的再具體一點筝家？』
教授：『沒錯×诨裕』
果然溪王，在多寫了一些元素后，我發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律值骇，終于順利的寫出了矩陣的復共軛轉置莹菱。
然而，在嘗試寫trace（B* A）時雷客，還是遇到了類似困難芒珠，教授給出了幾乎是同樣的解決方案：多寫幾個元素桥狡，然后按部就班的來搅裙。
教授：『導致這個問題的原因還是跟剛才的類似——因為你對矩陣的跡不熟練。矩陣的跡是矩陣的主對角線上的所有元素的和裹芝。所以部逮，你先寫矩陣的對角線。你先告訴我矩陣的對角線是什么嫂易？』
我：『 B* A得到的矩陣的對角線兄朋，應該是B* 的第一行乘以A的第一列，得到對角線上的第一個元素怜械；然后B*的第二行乘以A的第二列颅和，得到對角線上的第二個元素……』
教授：『沒錯傅事，你就這樣一個一個的寫下去就行了∠坷』
我便照他說的做了：
教授：『很好蹭越，你寫到這里發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？』
我已經(jīng)被矩陣弄暈了教届，看了足足一分鐘响鹃，什么也沒有發(fā)現(xiàn)。
教授：『在這個求和的式子里案训，每一項的乘積中买置，b和a的下標是一樣的，這意味著兩個矩陣的內積强霎，其實就是：一個矩陣中的元素忿项，與另一個矩陣?相同位置上的元素的共軛的積，然后對所有這樣的積求和脆栋【肼簦』
我瞬間明白過來了：『這個定義很優(yōu)雅！』
教授：『這個跟向量的內積類似椿争∨绿牛』
我：『對啊秦踪！我怎么沒想到啊……只是褐捻，教授，這種方式似乎有些笨拙（cumbersome）椅邓，有沒有巧妙一點的方法柠逞？』
教授：『這是標準的證明方法【澳伲』
我意識到自己的小聰明病又犯了板壮，想到剛才卡在線性代數(shù)基礎問題上的尷尬一幕，就乖乖的閉嘴了合住。其實那個問題到此并沒有得到證明绰精，但它最難的地方就是在于怎么把這個矩陣的內積具體的表達出來，而且透葛，教授已經(jīng)為我不停地講解了將近40分鐘笨使，他的office hour的時間已經(jīng)結束了十幾分鐘，所以我就沒有繼續(xù)問下去了僚害。
我：『教授硫椰，非常感謝，我覺得我已經(jīng)可以證明這個問題了“胁荩』
教授：『很好蹄胰，你還有其他問題嗎？』
我：『沒有了奕翔，謝謝烤送。』
教授：『我剛才好像看你的草紙上還寫了其他的問題糠悯“锛幔』
我：『那是書上的練習1.7，是基于剛才的那個問題的互艾，所以我相信我能解決试和。』
教授：『非常好纫普，繼續(xù)像這樣學習阅悍。』
我：『非常感謝你昨稼，教授节视。』
教授：『不客氣假栓⊙靶校』
道別后，回想了下匾荆，教授一直在試圖幫助我拆分拌蜘、具體化問題，很像動態(tài)規(guī)劃的思想牙丽。這種方法能很快定位到問題的困難之處简卧，然后他再進行針對性的講解，使我得到最高效的幫助烤芦。
一本書不能做到完全self-contained（現(xiàn)實不能举娩，不知道理論上可不可能），總是需要些書本外的先驗知識构罗，而不同學生的知識漏洞可能不一樣铜涉，我認為office hour的最大作用就是能夠針對不同的學生的需求的教學，補足這些不同的不足绰播。
