2.3.4 高斯分布的最大似然估計

給定一個數(shù)據(jù)集 $X=(x_1,x_2,...x_N)^T$ 已球，其中觀測 $\{x_n\}$ 嘉定是獨立從多元高斯分布中抽取的漾肮，那我們可以用最大似然來估計分布的參數(shù) $\mu$ 和 $\Sigma$
高斯分布公式
$N(x|\mu,\Sigma) = \frac{1}{(2\pi)^\frac{D}{2}}\frac{1}{|\Sigma|^\frac{1}{2}}\exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}\}$
對數(shù)似然函數(shù)為
$\ln p(X|\mu,\Sigma) = -\frac{ND}{2}\ln(2\pi)-\frac{N}{2}\ln|\Sigma|-\frac{1}{2}\sum^{N}_{n=1}(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1}(x_n-\mu)$

似然函數(shù)對數(shù)據(jù)集的依賴體現(xiàn)在 $x_n$ 和 $x_nx_n^T$ 路星，對 $\mu$ 進行求導(dǎo)席镀，應(yīng)用二次型求導(dǎo)公式
$\frac{\delta}{\delta X}X^TAX = 2AX$
我們有
$\frac{\delta}{\delta \mu}\ln p(X|\mu,\Sigma) =\sum^N_{n=1}\Sigma^{-1}(x_n-\mu)$
令導(dǎo)數(shù)為零榴捡，求出均值
$\mu_{ML}=\frac{1}{N}\sum^{N}_{n=1}x_n$
也就是數(shù)據(jù)點的觀測集合均值

可以看出 $\mu_{ML}$ 的求解與 $\Sigma_{ML}$ 無關(guān)杈女，因此我們可以使用 $\mu_{ML}$ 來求解 $\Sigma_{ML}$
$\Sigma_{ML}=\frac{1}{N}\sum^{N}_{n=1}(x_n-\mu_{ML})(x_n-\mu_{ML})^T$
結(jié)果為
$E[\mu_{ML}]=\mu\\ E[\Sigma_{ML}]=\frac{N-1}{N}\Sigma$

對于書中有這么一段話：

我們看到對于均值的最大似然估計的期望等于實際的均值。然而吊圾，對于協(xié)方差的最大似然估計的期望小于真正的值达椰，因此是有偏的。我們可以定義一個不同的估計值 $\Sigma$ 來修正這個誤差

根據(jù)https://www.matongxue.com/madocs/607.html給出的解答项乒，可以得到關(guān)于協(xié)方差的公式
$\Sigma = \frac{1}{N-1}\sum^{N}_{n=1}(x_n-\mu_{ML})(x_n-\mu_{ML})^T$
另外關(guān)于無偏估計量 https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/82715415

最后編輯于：2019.02.21 20:26:16

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