在忙亂之中終于是恢復了我們周五的可積性的Seminar了闯参，開始了就好惊奇，之后就會按照慣性有序地進行下去吧烙样，準備的還是有些匆忙了啦贴汪，總結了一下上學期的內容脐往，也對這學期進行了一些展望。

先想聊一下自己的感受扳埂。從本科的時候開始钙勃，一直到現(xiàn)在，我也沒想到能把這種形式一直延續(xù)下來聂喇，也算是一種傳承吧辖源，好的東西不應該只用來懷念，而是一直帶在身上希太，這才算過去的經歷在自己身上的烙印克饶，而不只是浮名。從大一暑假的群論討論班開始10年過去了吧誊辉，很感激自己的熱情還在矾湃。熱情才是討論班維持下去的動力，有了熱情堕澄，學習生活也會更有樂趣一些邀跃。就會發(fā)現(xiàn)，即使討論班只有1蛙紫，2個人拍屑，即使得似乎得不到任何好處，即使有很多問題沒有搞清楚坑傅，但是僅僅是準備的過程僵驰，還有給自己講的過程就會很開心。

這次討論班雖然有一個可積性的主題，但是內容還是覆蓋地很廣泛地蒜茴，每次的seminar之間的聯(lián)系就可能沒有那么的強星爪，比較容易lost，特別是下面聽的人粉私。也曾有人給我潑冷水說顽腾，這討論班沒什么用，學的東西很快就忘記了诺核。這雖是冷水也有部分的事實崔泵。所以為了從seminar中獲得最大的收益，心中就要一直記著我們討論班的目的猪瞬，這樣就可以每次聽的時候去看內容是否和自己目的契合憎瘸，還有怎樣把新的知識和已經學過的內容聯(lián)系起來。這個聯(lián)系可能不那么明顯陈瘦，就需要自己更多地思考整理幌甘，而不僅僅是吃別人消化過的。

上學期一共舉行了14次seminar痊项，我是講了13次锅风，對我來說每一次也都是全新的內容，不僅僅是看講義的內容還看了很多相關的一些文獻鞍泉，差不多一周一次皱埠，也不一定說每次都講的很清楚，但是至少我自己都理出來一個脈絡咖驮。最少的時候只有我和學弟2個人边器，有在黑板上做了很細致的計算推導的時候，也有只是說handwaving 講一些邏輯和大概思路而沒有數(shù)學推導的時候托修。

Why AdS/CFT忘巧？為什么我們要在這個context下學可積性？主要有兩個原因：1是 gravity with AdS factor and CFT 都是當前理論物理里面核心內容睦刃，不過做什么方向砚嘴，都要對這個內容有一定程度的理解，是所謂的“theoretical minimum”的一部分涩拙；2是因為AdS/CFT提供了一個前所未有的絕佳的研究科技系統(tǒng)的平臺际长，很多新的技巧還有對可積性的深入的理解都來自于對這個理論的研究。

從perturbative N=4 SYM 開始兴泥，對象是一些composite operators工育，我們要算他們的conformal dimension∮羟幔可積性是perturbation 理論下逐級建立起來的翅娶。或者說high spin conserved charge的存在也是可以逐級建立起來好唯，這些charges的存在對于下一級的微擾展開進行限制竭沫。另外一個直觀的角度是，微擾的每一階問題都可以轉換成一個可積的spin chain的問題骑篙，在那里spectrum可以用Bethe ansatz求解蜕提。Bethe ansatz是我們其中一個學習重點。它的核心思想就是靶端，不用quantum number來表示一個態(tài)谎势，而是使用 Bethe root，Bethe root的具體取值由Bethe equation 決定杨名。一個簡單例子的諧振子脏榆，我們知道諧振子的波函數(shù)除掉universal的 exponential 的部分剩下的是Hermition多項式，而多項式是由他的根完全確定下來的（up to a factor)台谍，所以每一個quantum state 都是一組root 來表示的须喂，這些根的位置也就是波函數(shù)的零點的位置，也就是quasi momentum的pole的位置趁蕊，這里我們借用一個resurgence的思想坞生，pole之間相互關聯(lián)的，這個關聯(lián)就類似Bethe equation掷伙。
在AdS/CFT的對應下是己，composite operator 的conformal dimension是對應到 energy of string states。
所以弦論的spectrum就是我們再引力這邊要求的量任柜。在AdS5背景下的弦論是我們另一個學習重點卒废，通過把理論寫成一個WZWmodel，可以把對稱性manifest宙地，然后可積性可以很容易的證明升熊。可積性是體現(xiàn)在绸栅，我們可以用spectral curve 來描述 一個弦論的解级野。另外一個好處是，可以很容易的使用light-cone quantization粹胯，然后求worldsheet上面S-matrix的蓖柔。
要求string theory的譜，一般是先求classical solution然后再求quantum correction风纠。這里當然可以不使用可積性的方法况鸣。一些簡單的string solution 比如BMN string或者rigid string 都已經求出，我們只需在這些解的基礎上求quantum correction竹观。通常的辦法是用effective action的辦法镐捧，在classical solution的附近做微擾展開潜索。integrate out 這些fluctuation 就得到了對classical solution的quantum number的1-loop修正。
使用可積性的辦法就是對spectral curve 做semi-classical quantization懂酱，同樣的可以得到1-loop的correction竹习。剛才提到可以用spectral curve 來表示一個classical solution。具體的來說列牺，這里spectral curve有8個sheets對應了8個quasi momentum整陌。上面的cut包含了刻畫classical solution的信息。我們可以認識這些branch cut是pole的condensation瞎领，也就是說當quantum number 很小的時候泌辫，sheet上面只有一些poles，在semi-classical regime九默，quantum number>>1, pole 匯聚成 cut震放，這樣我們才有了真正意義上的Riemann surface。從這圖像來看驼修，一些小的激發(fā)是對應了pole澜搅，這樣考慮quantum correction 就相當于在Riemann 面是加一些pole。加完之后邪锌，有兩個后果勉躺，一是pole會被cut影響，最后分布在一些平衡位置上觅丰，另外一方面pole也“backreaction”到cut饵溅，改變cut。通過這兩個信息妇萄，我們可以得知quasimomentum應該具有的analytical structure兔魂，然后再impose virasoro constraint和level matching conditon還有無窮遠處的漸進行為就可以唯一把quasi momentum 確定下來滑废，從而得到量子修正刽射。