總結(jié)了一些常見的概率與統(tǒng)計類的數(shù)據(jù)分析面試題，不定期更新......

隨機(jī)變量的含義

一個隨機(jī)事件的所有可能的值X谐檀，且每個可能值X都有確定的概率P声畏，X就是P(X)的隨機(jī)變量。比如擲骰子中出現(xiàn)的點數(shù)

隨機(jī)變量和隨機(jī)試驗間有什么關(guān)系

• 隨機(jī)試驗：相同條件下對某隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的大量重復(fù)觀測的試驗唇聘，如擲硬幣100次統(tǒng)計正面朝上的次數(shù)
• 隨機(jī)變量是用來描述隨機(jī)試驗結(jié)果的。

劃分連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的依據(jù)

• 離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X能被一一列舉出來柱搜，如一批產(chǎn)品中次品的數(shù)量迟郎，某地區(qū)人口的出生數(shù)等。
• 連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X不能被一一列舉出來聪蘸，如一批電子元器件的壽命宪肖，身高、體重等健爬。

所以劃分二者的依據(jù)是隨機(jī)變量是否可數(shù)

變量獨立和不相關(guān)的區(qū)別

若X和Y不相關(guān)控乾，通常認(rèn)為X和Y之間是沒有線性關(guān)系，但不排除沒有其他關(guān)系

若X和Y獨立娜遵，是沒有關(guān)系蜕衡，互不干擾

因此，“不相關(guān)”是一個比“獨立”要弱的概念

常見分布的分布函數(shù)/概率密度函數(shù)设拟，以及分布的特性慨仿。

分別從離散型和連續(xù)型兩方面說：

離散型隨機(jī)變量的分布

• 二項分布
  進(jìn)行一系列獨立試驗 -> 每一次試驗都存在成功和失敗的可能，且成功的概率相同 -> 試驗次數(shù)有限纳胧。

二項分布記做X~B(n,p)镰吆，X表示n次試驗中的成功次數(shù),我們要求的是成功的次數(shù)

如發(fā)放100張優(yōu)惠券，其中x張優(yōu)惠券被使用的概率就是一個二項分布跑慕。

• 伯努利分布
  0-1分布万皿，每次試驗的結(jié)果只有2種，是n=1的二項分布的特殊情況

如擲硬幣核行，只有正面朝上或反面朝上兩種情況

• 幾何分布
  獨立試驗->拿到一種卡片的概率相同->為了集齊卡片要進(jìn)行多少次試驗

• 泊松分布
  單獨事件在給定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)牢硅、獨立地發(fā)生（給定區(qū)間可以是時間或空間） -> 已知該區(qū)間內(nèi)的事件平均發(fā)生次數(shù)，且為有限數(shù)值芝雪。

如某加油站减余，平均每小時來加油的車輛為10輛，泊松分布求的這個加油站每小時前來加油的車輛次數(shù)的概率

關(guān)于離散型隨機(jī)變量分布可參考：

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

• 正態(tài)分布
  又叫高斯分布绵脯，正態(tài)分布通過參數(shù)平均值和方差確定

  
  

• 均勻分布
  也叫矩形分布佳励，概率密度函數(shù)的結(jié)果是一個固定的數(shù)值

  
  

均勻分布在自然情況下極為罕見休里，它的概率密度函數(shù)為：

image

• 指數(shù)分布
  指數(shù)分布是描述泊松過程中的事件之間的時間的概率分布薯鳍，即事件以恒定平均速率連續(xù)且獨立地發(fā)生的過程圾旨。如旅客進(jìn)機(jī)場的時間間隔，還有許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布是整。

其概率密度函數(shù)為：

image

指數(shù)分布具有無記憶的關(guān)鍵性質(zhì)瞧剖。這表示如果一個隨機(jī)變量呈指數(shù)分布拭嫁，當(dāng)s,t>0時有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即抓于，如果T是某一元件的壽命做粤，已知元件使用了t小時，它總共使用至少s+t小時的條件概率捉撮，與從開始使用時算起它使用至少s小時的概率相等怕品。

關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，可參考：

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的區(qū)別

• 協(xié)方差

只表示相關(guān)的方向

衡量兩個變量的總體誤差巾遭，方差是協(xié)方差的特殊情況肉康，即當(dāng)兩個變量是相同的情況。

如果兩個變量的變化趨勢一致灼舍，也就是說如果其中一個大于自身的期望值吼和，另外一個也大于自身的期望值，那么兩個變量之間的協(xié)方差就是正值（你變大骑素，我也變大炫乓，協(xié)方差就是正的）。 如果兩個變量的變化趨勢相反献丑，即其中一個大于自身的期望值末捣，另外一個卻小于自身的期望值，那么兩個變量之間的協(xié)方差就是負(fù)值阳距。

也就是說塔粒，協(xié)方差為正结借，表示兩個變量同變化筐摘，為負(fù)，不同變化

并且協(xié)方差的絕對值不反映線性相關(guān)的程度（其絕對值與變量的取值范圍有關(guān)系）

但是嘞協(xié)方差為0的兩個隨機(jī)變量是不相關(guān)的

• 相關(guān)系數(shù)

不僅表示線性相關(guān)的方向船老，還能衡量其相關(guān)程度

研究變量之間線性相關(guān)程度的量咖熟，取值范圍是[-1,1]。

相關(guān)系數(shù)也可以看成協(xié)方差：一種剔除了兩個變量量綱影響柳畔、標(biāo)準(zhǔn)化后的特殊協(xié)方差馍管。

中位數(shù)是否等于期望

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中位數(shù)等于期望
右偏（正偏）態(tài)時，中位數(shù)小于期望
左偏（負(fù)偏）態(tài)時薪韩，中位數(shù)大于期望

正態(tài)分布的基本特征是什么

正態(tài)分布又叫高斯分布确沸，是一個鐘形曲線捌锭，曲線對稱，中央部分的概率密度最大罗捎，越往兩邊观谦，概率密度越小。μ決定了曲線的中央位置桨菜，σ決定了曲線的分散性豁状，σ越大，曲線越平緩倒得，σ越小泻红，曲線越陡峭。

很多實際問題都是符合正態(tài)分布的霞掺，如身高谊路、體重等。正態(tài)分布在質(zhì)量管理中也應(yīng)用的非常廣泛菩彬，“3σ原則”就是在正態(tài)分布的原理上建立的凶异。
3σ原則是：

• 數(shù)值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率為0.6826
• 數(shù)值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率為0.9544
• 數(shù)值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率為0.9974
  因此可以認(rèn)為,Y 的取值幾乎全部集中在（μ—3σ,μ+3σ)]區(qū)間內(nèi),超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%，這是一個小概率事件挤巡，通常在一次試驗中是不會發(fā)生的剩彬，一旦發(fā)生就可以認(rèn)為質(zhì)量出現(xiàn)了異常。

image

列舉常用的大數(shù)定律及其區(qū)別

在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中矿卑，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律喉恋，這個規(guī)律就是大數(shù)定律。通俗地說母廷，這個定理就是轻黑，在試驗不變的條件下，重復(fù)試驗多次琴昆，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率氓鄙。偶然中包含著某種必然。

在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗中业舍，觀測投擲了n次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)抖拦。不同的n次試驗，出現(xiàn)正面的頻率可能不同舷暮，但當(dāng)試驗的次數(shù)n越來越大時态罪，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于1/2。這就是大數(shù)定律下面。

隨機(jī)變量X隨著試驗次數(shù)的增加复颈，X的均值會越發(fā)趨近于E(X)

中心極限定理

假設(shè)一組隨機(jī)變量相互獨立且同分布，當(dāng)n足夠大時沥割，均值的分布接近于正態(tài)分布

中心極限定理作用：
（1）在沒有辦法得到總體全部數(shù)據(jù)的情況下耗啦，我們可以用樣本來估計總體凿菩。
（2）根據(jù)總體的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，判斷某個樣本是否屬于總體帜讲。

假設(shè)檢驗的基本思想

小概率反證法蓄髓。即為了檢驗一個假設(shè)是否成立，我們先假設(shè)它成立舒帮，在原假設(shè)成立的前提下会喝，如果出現(xiàn)了不合理的事件，則說明樣本與總體的差異是顯著的玩郊，就拒絕原假設(shè)肢执，如果沒有出現(xiàn)不合理的事件，就不拒絕原假設(shè)译红。

這里所述的不合理的事件指的就是小概率事件预茄，通常情況下我們認(rèn)為一個小概率事件基本上不會發(fā)生，如果發(fā)生了侦厚，說明它就不是一個小概率事件了耻陕，所以要拒絕原假設(shè)。

假設(shè)檢驗中的兩類錯誤

第I類錯誤：棄真刨沦，原假設(shè)為真诗宣，卻被我們拒絕了。
第II類錯誤：取偽想诅，原假設(shè)為假召庞，卻沒被拒絕。
[圖片上傳失敗...(image-f8f498-1605564475501)]

如何平衡這兩類錯誤来破？

我們要盡可能地將犯兩類錯誤的概率降到最低篮灼。但是，在樣本容量固定的前提下徘禁，減少犯第I類錯誤的概率诅诱，必然會增加犯第II類錯誤的概率，一般來說送朱，我們總是先控制犯第I類錯誤的概率娘荡，使它不大于顯著性水平。而犯第II類錯誤的概率依賴于樣本容量的大小骤菠，因此對樣本容量的選擇上它改，也要有所考量。

解釋P值顯著性水平

• P值：當(dāng)原假設(shè)為真時商乎，樣本觀察結(jié)果或更極端的結(jié)果出現(xiàn)的概率就是P值

區(qū)分顯著性水平和置信區(qū)間

• 顯著性水平：希望在樣本結(jié)果的不可能程度達(dá)到多大時，就拒絕原假設(shè)祭阀，也就是小概率事件發(fā)生的概率鹉戚。則是假設(shè)真值是多少鲜戒，然后檢驗這個假設(shè)是否可能為真。
• 置信區(qū)間抹凳，目的是根據(jù)樣本構(gòu)造一個區(qū)間遏餐，然后希望這個區(qū)間可以把真值包含進(jìn)去，但是并不知道這個真值是多少赢底？

條件概率

P(A|B)=P(AB)/P(B)失都，條件概率P(A|B) 指在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A和B同時發(fā)生的概率幸冻，P(B)是事件B發(fā)生的概率粹庞，其演化式可以得到：P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)

全概率公式

假設(shè)事件B有兩種發(fā)生方式，與事件A一起發(fā)生洽损；不與事件A一起發(fā)生庞溜，那么可以用下面的公式得到事件B發(fā)生的概率：

又由條件概率可以推導(dǎo)出：

全概率公式

這就是全概率公式，由條件概率計算一個特定事件的概率碑定。

貝葉斯公式

假如已知的條件概率是P(B|A)流码，那么貝葉斯公式則提供了一種計算逆條件概率的方法，也就是要求P(A|B)的概率延刘。
首先條件概率：

剛剛也推導(dǎo)了

貝葉斯公式

發(fā)現(xiàn)一個有趣的案例
一日某超市發(fā)生盜竊案，嫌疑人甲發(fā)生盜竊的可能性為10%碘赖，嫌疑人乙發(fā)生盜竊的可能性為90%商虐，目擊者稱盜竊者是甲，目擊者證言可信度為80%崖疤，那么現(xiàn)在請估算出目擊者證言的準(zhǔn)確度秘车。
嫌疑人甲盜竊的概率為P(A)=10%
嫌疑人乙盜竊的概率為P(B)=P(A)=90% 目擊者證言可信度的概率為P(C) 在甲盜竊的前提下目擊者稱盜竊者是甲的概率為P(C|A)=80% 在甲盜竊的前提下目擊者稱盜竊者不是甲的概率為P(C|A)=20%
現(xiàn)在要求的是P(A|C)也就是目擊者證言可信度準(zhǔn)確的前提下甲盜竊的概率。

我們要求的是一個條件概率P(A|C)劫哼，已知的一個條件概率P(C|A)剛好是要求的條件概率的逆概率叮趴，這里就要用到貝葉斯公式了。
P(A|C)=P(A)P(C|A)/(P(A)P(C|A)+P(A)P(C|A))
=10%80% / 10%80%+ 90%*20%
=30.77%