設(shè)圓內(nèi)接凸四邊形的四條邊依次為 a,b,c,d （其中a與c是一組對邊，b與d是另一組對邊）,兩條對角線長為e,f,則 ac+bd=ef.
如圖，凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓威蕉，求證：
AB×CD+BC×AD=AC×BD
證明：
如圖，將三角形CAB復(fù)制后，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)侧巨，直到射線AC重合射線AD，旋轉(zhuǎn)到位置以后鞭达，按比例縮放整個(gè)三角形司忱，到C對應(yīng)的點(diǎn)重合在D上。該三角形在D處的角恰好等于角ADB畴蹭，因此坦仍，點(diǎn)B對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)落在直線BD上，設(shè)為G點(diǎn)叨襟。
（如果不是圓內(nèi)接四邊形繁扎，則不能重合。托勒密不等式的證法也可如此糊闽。）
三角形DAG和三角形CAB相似,因此有：
即為：
由于上述的相似梳玫，同時(shí)可以得到：
上面的比例，也可以寫作
三角形DAC和三角形GAB在A處的角相等右犹，夾A的邊對應(yīng)成比例提澎，因此，這兩個(gè)三角形相似念链。因此
改寫成乘法盼忌，則：
此式與前面的乘法等式相加，有
即為
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補(bǔ)充說明：
（如非圓內(nèi)接四邊形掂墓，則等式右邊的兩個(gè)線段DG與GB無法直接合并谦纱，但可用三角形不等式合并DG+GB>BD。由此君编，產(chǎn)生托勒密不等式跨嘉。）
完整的托勒密不等式是：
（當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形為圓內(nèi)接四邊形時(shí)，可以取等號）
為什么托勒密定理和直線上四點(diǎn)的歐拉定理看上去如此相似呢吃嘿？
因?yàn)橥欣彰芏ɡ泶_實(shí)可以轉(zhuǎn)到直線上來證明偿荷。采用一種獨(dú)特的方法。
證明過程如下
引理1
如圖唠椭，在圓O上取一點(diǎn)X跳纳，以X為圓心，作一個(gè)圓贪嫂，與圓O相交寺庄，設(shè)相交弦為PQ。連接X與圓O上任意兩點(diǎn)A，B斗塘，這兩直線交直線PQ于A'和B'赢织。則A，A'馍盟，B'于置，B這四點(diǎn)共圓。
證明：
連接XP贞岭，XQ八毯，在三角形A'PX中，外角B'A'X等于內(nèi)角P與角PXA'的和瞄桨。而角P與角Q相等话速，因此這個(gè)和等于角Q與角PXA的和。角Q與角PXA是相鄰的兩段弧PX和PA所對的圓周角芯侥，因此泊交，這個(gè)和等于弧APX所對的圓周角，即角B柱查。
所以廓俭，角B'A'X等于角B。角B與角AA'B'互補(bǔ)唉工。
故研乒，A'B'BA四點(diǎn)共圓。
引理2：如上情形酵紫。設(shè)A'ABB'四點(diǎn)共的圓與圓X相交于點(diǎn)C，則XC是四點(diǎn)共的圓的切線错维。
證明：
取PQ的中點(diǎn)D'奖地，設(shè)XD'交圓O于點(diǎn)D。同上可證明AA'D'D四點(diǎn)共圓赋焕。
則XA'×XA=XD'×XD
而XD'×XD = XD'(XD'+D'D)
設(shè)圓x的半徑為r参歹，上述證明表示，X對四點(diǎn)共圓的冪始終為r的平方隆判。無論A在圓周何處犬庇，這四點(diǎn)在變動(dòng)，圓在變動(dòng)侨嘀，但X對這些動(dòng)圓的臭挽，圓冪始終不變。
所以在引理2圖中咬腕，XC的平方等于圓冪欢峰。因此，XC是四點(diǎn)所共圓的切線。(原本第三卷第37命題)
引理3：
證明：
三角形XAB相似于三角形XB'A'則
即
而
即
代入前式纽帖，有
下面證明托勒密定理：
以點(diǎn)D為圓心宠漩，作一個(gè)半徑較小的圓，與四邊形的外接圓相交懊直。設(shè)線段AD,BC,CD與兩圓的相交弦交點(diǎn)分別為A',B',C'扒吁。
因?yàn)樗倪呅问峭顾倪呅危渚€DB一定在射線DA和DC之間室囊。所以B'一定在角ADC的內(nèi)部雕崩，故必定在A',C'之間。因?yàn)椴ǘ恚珹'和C'是角ADC邊界上的點(diǎn)晨逝，假設(shè)B'不在A'C'之間，那么B'就會(huì)在角ADC的外部懦铺。這與前述矛盾捉貌。因此，B'在A'和C'之間冬念。
因此趁窃，有A'B'+B'C'=A'C'
由引理所計(jì)算的公式，有：
代入上述等式急前，得
等式兩邊乘以DA×DB×DC醒陆，除以r，得到
即為
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