曼德勃羅集合
????宇宙是對于我們來說既熟悉又神秘平绩，熟悉的原因是我們置身其中臼勉，神秘的原因也是因?yàn)槲覀冎蒙砥渲校瑳]有人知道宇宙外面有什么晤斩，也不知道宇宙到底是不是大爆炸引起的焕檬，如果是，那么大爆炸之前是什么澳泵？
宇宙智能到了近代發(fā)展出了一個(gè)杰出的分支实愚，這個(gè)分支就是數(shù)字宇宙，數(shù)字宇宙其實(shí)就是把整個(gè)宇宙想象成一個(gè)巨大的計(jì)算機(jī)烹俗，然后把宇宙中所有的物質(zhì)全部數(shù)字化爆侣，最后通過數(shù)學(xué)計(jì)算的方法管理和運(yùn)行這個(gè)宇宙。
?數(shù)字宇宙思路很好幢妄，結(jié)果也非惩醚觯可喜，所以我們經(jīng)常在天文學(xué)的世界里見到很多偉大的數(shù)學(xué)家蕉鸳。
?數(shù)字宇宙發(fā)展到了現(xiàn)在乎赴，尤其是電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更讓其發(fā)展如虎添翼。其實(shí)整個(gè)計(jì)算機(jī)尤其是圖靈機(jī)潮尝，就是利用一個(gè)有限的循環(huán)來計(jì)算整個(gè)無限的宇宙榕吼。
?這些科學(xué)家們把復(fù)雜的宇宙抽絲剝繭，力爭變得簡化勉失，然后用各種各樣的規(guī)律羹蚣、定理、公式展現(xiàn)給大家乱凿。
數(shù)學(xué)上就有這么公式：Z=Z2+C顽素，這個(gè)公式就是著名的曼德勃羅集合（圖1-1-10），雖然從整體上看我們感覺很復(fù)雜徒蟆，但是當(dāng)你仔細(xì)研究的時(shí)候你就會(huì)發(fā)現(xiàn)他的原理很簡單胁出，因?yàn)檎麖埓髨D都是由同一張圖片不斷的迭代出來的。
????這就好比你有兩面（至少兩面）相互照的鏡子段审，然后你在兩面鏡子中間放一個(gè)小球全蝶，然后你就會(huì)發(fā)現(xiàn)小球的鏡像在兩面鏡子里不斷的鏡像，不知道什么時(shí)候就出現(xiàn)了無數(shù)個(gè)小球寺枉。萬花筒就是一個(gè)很好的例子抑淫。
其中C是一個(gè)常數(shù)，Z=Z2+C是一個(gè)不斷迭代的過程姥闪。其實(shí)曼德勃羅集合最重要的思想就是通過不斷迭代可以產(chǎn)生足夠復(fù)雜的圖形丈冬，甚至是宇宙。
因此甘畅，曼德勃羅集合被認(rèn)為是上帝的指紋埂蕊。
現(xiàn)在利用迭代思想往弓，曼德勃羅集合已經(jīng)有很多的變種，公式也變得更為復(fù)雜蓄氧，有很多科學(xué)家已經(jīng)利用計(jì)算機(jī)高速計(jì)算的能力開始迭代其數(shù)字宇宙了函似，甚至有的已經(jīng)誕生了生命。
比如圖1-1-11就是另一幅曼德勃羅集合喉童。
????目前撇寞，我們身邊的物體確實(shí)符合類似的規(guī)律，比如你用顯微鏡去看雪花的時(shí)候堂氯，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)蔑担，雪花中還有雪花。甚至有用觀察星系的方法觀察原子咽白，或者用原子的方法來計(jì)算星系啤握，這也是曼德勃羅集被稱為上帝指紋的主要原因。
由此見證了：復(fù)雜的事情是可以由簡單的事情不斷迭代構(gòu)成的晶框。
二進(jìn)制與電子計(jì)算機(jī)? ? ? ??
研究數(shù)字宇宙的秘密武器就是電子計(jì)算機(jī)排抬。20世紀(jì)60年代，約翰·馮·諾依曼就曾經(jīng)研發(fā)了一臺(tái)名為ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer）——即電子數(shù)字積分計(jì)算機(jī)來模擬核爆授段、天氣預(yù)報(bào)以及宇宙的運(yùn)行蹲蒲，圖1-1-12即是電子數(shù)字積分計(jì)算機(jī)（ENIAC）。
????在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前侵贵，人們很難用有限的集合來表示無限的集合届搁，就算同樣是無限集合，人們往往也會(huì)認(rèn)為實(shí)數(shù)比偶數(shù)多窍育，畢竟實(shí)數(shù)是包含偶數(shù)的咖祭。
但是當(dāng)?shù)葎莸母拍畛霈F(xiàn)后，人們發(fā)現(xiàn)同樣兩個(gè)數(shù)字集可以通一一映射的方法使其相等蔫骂。
以至于看似只有0和1的兩位數(shù)集合也可以通過不斷的組合來表示無限的數(shù)據(jù)集。二進(jìn)制的發(fā)展對電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明可算是居功甚偉牺汤。沒有二進(jìn)制可以說就沒有我們現(xiàn)在的電子計(jì)算機(jī)辽旋。
二進(jìn)制是計(jì)算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制。二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)檐迟。它的基數(shù)為2补胚，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”追迟，是由18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茨（圖1-1-13）發(fā)現(xiàn)的溶其。當(dāng)前的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)使用的基本上是二進(jìn)制系統(tǒng)，數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中主要是以補(bǔ)碼的形式存儲(chǔ)的敦间。其實(shí)計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制就是一個(gè)個(gè)非常微小的開關(guān)瓶逃，用“開”來表示1束铭，“關(guān)”來表示0。
?二進(jìn)制應(yīng)用非常廣泛厢绝，任何一個(gè)文明都或多或少都使用了二進(jìn)制的思想契沫，比如中國的易經(jīng)和八卦，所以有些人認(rèn)為萊布尼茨其實(shí)是發(fā)現(xiàn)了二進(jìn)制昔汉，而不是發(fā)明了二進(jìn)制懈万。
數(shù)學(xué)需要抽象
?前面說到曼德勃羅集是一個(gè)不斷迭代的過程，但是不論他怎么迭代它都有一個(gè)核心的公式靶病，那么這個(gè)公式是怎么來会通？
其實(shí)從物理學(xué)來看這些公式都是不存在的，而是人們的一種抽象娄周，一種假設(shè)涕侈，或許人類只是發(fā)明了自然數(shù)，其他的是在這些自然數(shù)的基礎(chǔ)上衍生出來昆咽，而這些自然數(shù)也是我們認(rèn)為的一種假設(shè)而已驾凶。比如1就是1,2就是2個(gè)1，等等掷酗。
當(dāng)我們有了實(shí)數(shù)開始调违，就有了基本運(yùn)算，基本運(yùn)算有一套基本運(yùn)算的規(guī)則和方法泻轰。然后我們開始用字母表示數(shù)技肩，開始解方程，解方程有解方程的規(guī)則和方法浮声。然后我們對方程的各種情況開始研究虚婿，出現(xiàn)了函數(shù)，研究函數(shù)有研究函數(shù)的法則和方法泳挥。然后我們又把函數(shù)從簡單的數(shù)值關(guān)系擴(kuò)展到集合上然痊，出現(xiàn)了泛函，泛函又有新的規(guī)則和方法屉符。注意這每一步的發(fā)展都會(huì)出現(xiàn)新的定義來囊括更一般性的東西剧浸，也會(huì)出現(xiàn)和從前不同的方法。也就是說矗钟，數(shù)學(xué)家每在一定范疇內(nèi)掌握了一定數(shù)量的規(guī)律之后唆香，就開始尋找一個(gè)在更大的范疇內(nèi)適用的新規(guī)律，這個(gè)“更大的范疇”是由數(shù)學(xué)家自己定義的吨艇，定義好了之后考慮一些基本的公理躬它，然后就開始尋找規(guī)律，找到了足夠多的規(guī)律之后东涡，就再去找一個(gè)更大更大的范疇……
數(shù)學(xué)雖然是一種假設(shè)冯吓，一種抽象倘待，但是他卻能指導(dǎo)我們的科學(xué)不斷進(jìn)步，指揮我們的設(shè)備完美的運(yùn)行桑谍。
其實(shí)數(shù)學(xué)并沒有我們想象的那么難延柠，我們完全可以在他人的基礎(chǔ)上來做一些有趣的計(jì)算，你或許會(huì)發(fā)現(xiàn)意想不到的結(jié)果锣披，看看下面的幾個(gè)例子贞间。
例1?冪的簡便運(yùn)算。
第一步：將較大的底數(shù)變成較小的底數(shù)雹仿；
43=22×23=22×3=26
第二步：將兩個(gè)相同底數(shù)指數(shù)相同的數(shù)相加增热；
23+23=2×23=21×23=21+3=24=16
第三步：兩個(gè)同底數(shù)相加；
23+22=22×21+22=22(21+1)=4×3=12
23+25=23+23×22=23(22+1)=8×5=40
第四步：多個(gè)同底數(shù)相加胧辽，兩兩相加峻仇，或者提取公共項(xiàng)。
23+24+22=22×21+22×22+22= 22(22+21+1)=4×(22+21+1)=4×7=28
這里用到了一個(gè)通指的公式邑商，就是我們小學(xué)學(xué)過的結(jié)合律摄咆，當(dāng)然你也可以使用最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)來做出更加有趣的練習(xí)，指數(shù)的減法也是這個(gè)道理哦人断。
例2?長方形與內(nèi)切橢圓形的關(guān)系吭从。
長方形與內(nèi)切橢圓形面積之比=4/π≈1.273；
長方形與內(nèi)切橢圓形周長之比=4/π≈1.273恶迈。
可以延伸到長方體與內(nèi)切橢圓體的表面積和體積之間的關(guān)系涩金。
長方體體積與內(nèi)切橢圓體之比=6/π≈1.91；
長方體表面積與內(nèi)切橢圓體表面積之比=6/π≈1.91暇仲；
（長方體表面積/長方體周長）/（長方體體積/長方體面積）=1步做；
……
以此類推我們還可以算出內(nèi)切圓柱體和圓錐體與他們之間的關(guān)系。
例3?在二維的平面上繪制三維設(shè)計(jì)圖
一般來講我們很難在一個(gè)二維的平面上繪制出一個(gè)三維的圖像奈附，但是我們換個(gè)角度多幾張圖紙全度，卻可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)三維表格的繪制，其中每一張圖紙都相當(dāng)于建筑物的一層斥滤，怎么樣這種表格繪制簡單方便将鸵，立體感強(qiáng)，非常適合做施工圖和電路圖吧中跌，如圖1-1-14所示。
圖1-1-14?三維平面制圖法
例4?最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之間的關(guān)系菇篡。
兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積漩符；三個(gè)自然數(shù)的最小公公倍數(shù)與最大公約的乘積等于這三個(gè)數(shù)的乘積除以他們中間的那個(gè)數(shù)（即不是最大的一個(gè)也不是最小的一個(gè)）；如果是四個(gè)數(shù)的話就是中間兩個(gè)數(shù)的乘積…以此類推驱还。這個(gè)方法對開方很有作用嗜暴！
例5?不怕被偷窺的心靈密碼凸克。
?現(xiàn)在的密碼要么是一串復(fù)雜的字符，要么是一個(gè)生物特征闷沥，其實(shí)不論是生物特征還是字符串密碼都害怕被人偷窺萎战。比如你的QQ賬戶和密碼被黑客知道了，恐怕你就沒有辦法找回了舆逃，怎么辦呢蚂维？其實(shí)我們可以做一個(gè)小的改動(dòng)，在你登錄你的用戶名時(shí)路狮，系統(tǒng)隨機(jī)出現(xiàn)一些可以計(jì)算的字符虫啥，比如123456，然后你看到這些提示符后奄妨，你用最后一個(gè)字符乘以3并保留個(gè)位涂籽，然后把結(jié)果8輸入進(jìn)密碼框。這個(gè)8就是你的動(dòng)態(tài)密碼了砸抛。怎么樣评雌，原理很簡單吧，就算被別人看到了直焙，他也很難知道你的真正密碼是最后一個(gè)數(shù)字乘以3并保留個(gè)位景东。
互為鏡像
?一個(gè)小小的二進(jìn)制居然可以計(jì)算天氣預(yù)報(bào)、原子核聚變簡直不可思議箕般，其主要原理其實(shí)就是利用了循環(huán)耐薯，讓只有0和1的數(shù)據(jù)集不斷地被使用。
?舉一個(gè)小例子丝里，比如我們想跑上10 000米曲初，但是場地又有限，那么我們怎么辦杯聚？其實(shí)我們完全可以用400米的操場跑上它25圈就可以了臼婆，或者你用跑步機(jī)跑上10 000米也是可以的。
?我們的世界或許就是由一個(gè)個(gè)一層層的小圈（弦）不斷的循環(huán)和重復(fù)構(gòu)成的幌绍。雖然這個(gè)小圈不是嚴(yán)格意義上的橢圓形颁褂，但是它在運(yùn)行的過程中確實(shí)是遵從數(shù)學(xué)定理。
?這個(gè)世界雖然現(xiàn)在看著復(fù)雜傀广，但是其運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)制本身可能并不復(fù)雜颁独，或許我們這個(gè)世界本身就是一個(gè)在不斷迭代中螺旋式進(jìn)步的樓梯∥北或許他就是微觀和宏觀兩面互為鏡像的鏡子（圖1-1-15）誓酒，我們既可以通過微觀來預(yù)測宏觀，也可以通過宏觀來觀察微觀。
真應(yīng)了一句禪語：一花一世界靠柑，一葉一菩提寨辩。
