實際應用中有很多非線性關系的變量很迷惑人谦屑，讓人誤用（多元）線性回歸甫贯，這篇文章對比分析了線性回歸和人工神經(jīng)網(wǎng)絡對這種變量的擬合，然后介紹下這種誤用帶來的后果，同時也會加深我們對人工神經(jīng)網(wǎng)絡的理解蔼两。
一甩鳄、多元線性回歸（MLR）與人工神經(jīng)網(wǎng)絡（ANN）--有模式
我們用數(shù)學上一個人人皆知的例子，矩形面積= 長*寬额划，假如一個研究人員不知道矩形面積與長和寬的關系妙啃，他想以長和寬為輸入變量用多元線性回歸去擬合矩形面積，然后我們看下結(jié)果俊戳。
1揖赴、數(shù)據(jù)介紹
本文的數(shù)據(jù)主要用MATLAB來隨機產(chǎn)生，這些數(shù)據(jù)分為三組抑胎，即原始數(shù)據(jù)燥滑、測試數(shù)據(jù)1和測試數(shù)據(jù)2，如下圖：
1）原始數(shù)據(jù)為area阿逃，length和wide铭拧，用來做MLR公式和作為ANN的訓練數(shù)據(jù), length和wide的數(shù)據(jù)范圍皆為 1-100。
2）測試數(shù)據(jù)1為test_area, test_length和test_wide恃锉，用來帶入上面MLR公式和ANN訓練函數(shù)搀菩，檢驗效果如何。這里的test_length和test_wide的數(shù)據(jù)范圍和上面的一樣都在1-100之間淡喜。
3）測試數(shù)據(jù)1為test_area_2, test_length_2和 test_wide_2宠纯，同樣用來檢驗效果蔑水，只是數(shù)據(jù)在原始數(shù)據(jù)范圍外孵坚，即100-200之間方庭。
2陨晶、結(jié)果評估
我們用擬合出來的結(jié)果與真實值（即test_area和test_area_2）的mean squared error（MSE）和相關系數(shù)R^2來評估擬合效果凉逛。
3纲爸、結(jié)果
3.1覆醇、得到MLR公式
這里用Excel的數(shù)據(jù)分析——回歸直接得到變量length和wide的系數(shù)與截距褥琐，R^2看起來還不錯0.83锌俱。然后我們把測試數(shù)據(jù)1和測試數(shù)據(jù)2直接帶入即可。
3.2敌呈、得到ANN訓練函數(shù)
采用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡贸宏，以length，wide為輸入磕洪，area為target進行訓練吭练，隱含層（hidden neurons）用5個，MSE相當?shù)臀鱿裕琑^2基本接近1鲫咽，如下圖，然后我們生成函數(shù)，待會直接輸入測試數(shù)據(jù)1和測試數(shù)據(jù)2的長和寬即可分尸。
3.3锦聊、測試數(shù)據(jù)1結(jié)果對比
如下圖，看總體趨勢都還比較好箩绍，但MLR的MSE遠遠大于ANN的孔庭，注意這里的MSE沒有進行數(shù)據(jù)標準化計算，所以我們看到雖然MLR的MSE那么大材蛛，但是預測結(jié)果是可以的史飞；而ANN的擬合結(jié)果很明顯更好。
3.4仰税、測試數(shù)據(jù)2結(jié)果對比
這里就能看出區(qū)別了构资，雖然MLR的趨勢跟真實值差不太多（R^2挺高的），但是誤差太大了（MSE要比ANN的擬合結(jié)果大3個數(shù)量級）陨簇，相比而言吐绵，ANN表現(xiàn)就非常好了，他好像聰明地觀察到了面積=長*寬這個規(guī)律河绽，因為恰巧我們的輸入變量是符合這個規(guī)律的己单，他才有機會學得到，而那個用多元線性回歸的研究人員就沒那么幸運了耙饰。假如我們的輸入變量里沒有長或者寬會是怎么樣呢纹笼？還能得到如此好的預測結(jié)果嗎，看第二部分"線性回歸（LR）與ANN--無模式"
二苟跪、線性回歸（LR）與ANN--無模式
我們同樣用數(shù)學上類似的數(shù)據(jù)廷痘，只不過這次我們用周長和矩形面積，假如一個研究人員不知道矩形面積與周長關系件已，他觀察周長越大面積就越大笋额，于是以線性擬合去找他們之間的關系，然后我們看下結(jié)果篷扩。
1兄猩、數(shù)據(jù)介紹
數(shù)據(jù)分為三組，即原始數(shù)據(jù)鉴未、測試數(shù)據(jù)1和測試數(shù)據(jù)2枢冤，如下圖：
1）原始數(shù)據(jù)為area和perimeter，用來做LR公式和作為ANN的訓練數(shù)據(jù), perimeter的數(shù)據(jù)范圍為 4-400（因為是用上面的數(shù)據(jù)范圍皆為 1-100的length和wide產(chǎn)生的）铜秆。
2）測試數(shù)據(jù)1為test_area和 test_perimeter淹真，用來帶入上面LR公式和ANN訓練函數(shù)，檢驗效果如何羽峰。這里的test_perimeter的數(shù)據(jù)范圍和上面的一樣在4-400之間趟咆。
3）測試數(shù)據(jù)1為test_area_2和 test_perimeter_2添瓷，同樣用來檢驗效果，只是數(shù)據(jù)在原始數(shù)據(jù)范圍外值纱，即400-800之間（用上面的test_length_2和 test_wide_2產(chǎn)生的）鳞贷。
2、結(jié)果評估
同樣用MSE和R^2
3虐唠、結(jié)果
3.1搀愧、得到線性擬合公式
如圖，看起來也還不錯
3.2疆偿、得到ANN訓練函數(shù)
采用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡咱筛，以perimeter為輸入，area為target進行訓練杆故，隱含層（hidden neurons）用5個迅箩，訓練結(jié)果如圖，MSE這次挺高了处铛，注意MSE是平方了的（所以標準的ANN做法是先把數(shù)據(jù)標準化）饲趋，看下面的殘差直方圖更直觀一些，area的平均值才2400左右撤蟆，殘差最高到了1000多奕塑，R^2還不錯，然后我們生成函數(shù)家肯，待會直接輸入測試數(shù)據(jù)1和測試數(shù)據(jù)2的周長即可龄砰。
3.3、測試數(shù)據(jù)1結(jié)果對比
這個因為測試數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的輸入在一個范圍內(nèi)讨衣，所以看起來都還可以换棚，趨勢基本完全吻合，看MSE和R^2值依，似乎ANN略勝一籌圃泡。
3.4碟案、測試數(shù)據(jù)2結(jié)果對比
如圖愿险，線性回歸（LR）和ANN擬合的都不太好，MSE基本在同一個水平价说，ANN的略低一些辆亏，但是LR的趨勢似乎跟真實值更吻合一些。
在這里ANN好像學不到我們用隨機數(shù)得到的周長跟面積的關系鳖目，因為周長跟面積本來就沒有什么模式可言扮叨，對于沒有模式的東西，ANN似乎無能為力领迈，但是他能在力所能及的范圍內(nèi)給你預測彻磁，就像上面的測試數(shù)據(jù)1的結(jié)果還是可以的碍沐，因為訓練的數(shù)據(jù)與測試的數(shù)據(jù)范圍是一致的，而在數(shù)據(jù)范圍一致的情況下衷蜓，用LR效果也看似很好累提。然而我們不要忘了，周長與面積是并沒有線性關系的磁浇。
三斋陪、MLR與ANN--混合輸入
緊接著，如果我們不知道面積與長置吓、寬和周長這三者的關系无虚，把這三個變量都輸進去，然后再用MLR和ANN的方法衍锚，當然因為周長 = （長+寬）*2,所以MLR的方法肯定有一個參數(shù)為0友题。測試數(shù)據(jù)直接選用原始數(shù)據(jù)外的，因為我們知道在原始數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的擬合結(jié)果肯定都還可以接受戴质，直接看結(jié)果咆爽，如圖，ANN表現(xiàn)良好置森，MLR還是不行斗埂。
同樣我們只輸入長和周長這兩個變量呢，結(jié)果是一致的凫海，ANN擬合很好呛凶，MLR很差（MLR結(jié)果跟上面的一模一樣的，因為長行贪、寬和周長三個變量間存在線性關系的）漾稀。
