2019-06-11

M進(jìn)制調(diào)制的最佳接收
MAP：最大后驗(yàn)概率
一維似然函數(shù)
- 對(duì)于一維調(diào)制，若發(fā)送星座點(diǎn)為 $s_i$ 的信號(hào) $s_i(t) = s_if_1(t)$ 搏予，則接收信號(hào)是 $r(t) = s_if_1(t)+ n_w(t)$
- 投影到信號(hào)空間后是
  - 其中 $n$ 是高斯白噪聲的投影熊锭，是均值為零，方差為 $\frac{N_0}{2}$ 的高斯隨機(jī)變量雪侥。
  - 似然函數(shù)是 $p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_i)^2}{N_0}}$
  - $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
二維似然函數(shù)
- 對(duì)于二維調(diào)制碗殷，若發(fā)送星座點(diǎn)為 $s_i = (s_{i1},s_{i2})$ 的信號(hào) $s_i(t) = s_{i1}f_1(t)+s_{i2}f_2(t)$ ，則接收信號(hào)是 $r(t) = s_i(t)+n_w(t)$
- 投影到信號(hào)空間后得到 $r(t)$ 在該空間中的坐標(biāo)向量為 $r = (r_1,r_2)$ 速缨，其中 $r_ 1 = s_{i1}+n_1,r_2 = s_{i2}+n_2$ 锌妻，其中 $n_1,n_2$ 是高斯白噪聲的投影，它們是獨(dú)立同分布的零均值高斯隨機(jī)變量旬牲，方差均為 $\frac{N_0}{2}$
似然函數(shù)是
- $p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_{r1 })^2}{N_0}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_{r2})^2}{N_0}} = \frac{1}{\pi N_0}e^{-\frac{\parallel r-s_i \parallel ^2}{N_0}}$
判決域
- 判決器是一個(gè)函數(shù)映射从祝，它將 $R^N$ 中的點(diǎn)映射到集合 $\{ s_1,s_2,...,s_M\}$ 襟己。反過(guò)來(lái)看，集合 $\{ s_1,s_2,...,s_M\}$ 中的每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng) $R^N$ 的一個(gè)子集牍陌，這樣的子集叫判決域擎浴。
- 判決器的工作是：如果接受向量落在星座點(diǎn)的判決域內(nèi)，則判決發(fā)送的是
  - MAP判決域：判決域的劃分滿足毒涧，若 $r$ 落入判決域 $D_i$ 贮预，則后驗(yàn)概率 $Pr\{s_i|r\} \geq Pr\{s_k|r\}, \forall k\neq i$
- ML決域：判決域的劃分滿足，若 $r$ 落入判決域 $D_i$ 契讲，則似然概率 $Pr\{s_i|r\}$ 一定是最大的仿吞，即 $Pr\{r|s_i \} \geq Pr\{ r|s_k \},\forall k\neq i$ ，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量捡偏，可將概率 $Pr\{ r|s_i \}$ 換成概率密度唤冈。
- 貝葉斯公式：后驗(yàn)概率 $Pr\{s_i|r\}$ 、似然概率 $Pr\{r|s_i\}$ 银伟、先驗(yàn)概率 $Pr\{s_i\}$ 你虹，三者之間的關(guān)系： $Pr\{ s_i|r \} = \frac{Pr\{ r|s_i\} Pr\{s_i\}}{Pr\{r\}}$
- 先驗(yàn)等概時(shí)， $MAP = ML$ :如果 $Pr\{ s_i\} = \frac{1}{M}$ 與 $s_i$ 無(wú)關(guān)彤避，則 $Pr\{ s_i|r \} = \frac{Pr\{ r|s_i\}}{Pr\{r\}\cdot M}$
此時(shí)若 $Pr\{s_k|r\} \geq Pr\{s_{k^{'} }| r \}$ 傅物，必有 $Pr\{r|s_k \} \geq Pr\{ r|s_{k^{'} } \}$ ，反之亦然琉预。因此在先驗(yàn)等概的情況下董饰，按MAP準(zhǔn)則設(shè)計(jì)ML判決域就是MAP判決域。
AWGN信道
- $p(r|s_i) = \prod_{k = 1}^Np(r_k|s_{ik}) = \frac{1}{(\pi N_0)^{\frac{N}{2}}}e^{-\frac{\parallel r-s_i \parallel ^2}{N_0}}$
- 對(duì)于給定的 $r$ 圆米，如果某個(gè) $s_i$ 在所有 $s_1,s_2,...,s_M$ 中對(duì)應(yīng)有最小的 $p(r|s_i)$ 卒暂，則該 $s_i$ 也一定對(duì)應(yīng)最小的 $\parallel r-s_i \parallel$ 。
對(duì)于AWGN信道娄帖，基于ML準(zhǔn)則的判決規(guī)則介却，等價(jià)于尋求在距離上最接近于接收信號(hào)矢量 $r$ 的信號(hào) $s_i$
MAP準(zhǔn)則，先驗(yàn)等概块茁，ML準(zhǔn)則齿坷，AWGN信道，最小距離檢測(cè)
AWGN下M進(jìn)制確定信號(hào)的最佳接收過(guò)程：
- $r(t)$ 投影 $r = [r_1,r_2,...,r_N]$ 檢測(cè)器（基于MAP或ML準(zhǔn)則檢測(cè)）
- $r_k = \int_{0}^{T_s}r(t)f_k(t)dt$ ,解調(diào)器
- 匹配濾波器等效實(shí)現(xiàn) $r_k = \int_{0}^{T_s}r(t)f_k(t)dt = [\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)h_k(t-\tau)d\tau]_{t= T_s} = [\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)f _k(T_s-t+\tau)d\tau]_{t= T_s}$

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