A good way of thinking of where the Laplace Transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.——Arthur Mattuck (MIT數(shù)學(xué)系返聘教授畜伐，原MIT數(shù)學(xué)系主任)
一個比較好的關(guān)于Laplace變換的解釋方法是從冪級數(shù)(Power Series)入手畔咧。
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵（法語：Pierre-Simon marquis de Laplace）汛蝙，法國著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他的研究工作對天體力學(xué)和統(tǒng)計學(xué)有舉足輕重的發(fā)展想鹰。他也是拉普拉斯變換和拉普拉斯方程的發(fā)現(xiàn)者胎围，對數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展具有杰出貢獻(xiàn)吁系。
學(xué)過控制的都知道拉普拉斯變換(Laplace Transform)，但是你們是不是也有疑問痊远，拉普拉斯變換中的S到底是個什么鬼垮抗？皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵當(dāng)年為啥就能想出個這樣的數(shù)學(xué)變換公式？
我是自從接觸拉普拉斯變換就一直有這樣的疑問碧聪，就感覺這種東西很強行冒版，你沒有理解卻又無法拒絕。直到有一天逞姿，看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟辞嗡，膜拜大神！
我們知道滞造，一個冪級數(shù)可以寫為如下形式：
(1.1)
如果將an看成一組離散的函數(shù)數(shù)列续室，則上式也可以寫為：
(1.2)
把a(n)看成是作為冪級數(shù)系數(shù)的一組離散函數(shù)，上式就可以看作是函數(shù)A(x)的構(gòu)造過程谒养，即挺狰，只要輸入一個{a(0),a(1),a(2),?}序列，就可以輸出一個A(x)买窟，其中丰泊，x是輸出函數(shù)A(x)的自變量。
現(xiàn)在始绍，舉一個例子瞳购，如果取a(n)=1，即{a(0)=1,a(1)=1,a(2)=1,?}那么我們將得到：
(1.3)
有人說上式最后等于1/(1-x)亏推，但這么說其實不準(zhǔn)確学赛，因為并不是對于所有的x上式都成立年堆，只有當(dāng)它是一個收斂級數(shù)時才成立！而式(1.3)中x的收斂域為(-1,1)盏浇，所以式(1.3)可以改寫為：
(1.4)
再舉一個例子变丧，如果a(n)=1/n!，則有：
(1.5)
在這個例子里绢掰，x對于任意實數(shù)均成立锄贷，其實上式就是e^x在x=0 處的泰勒展開。
從上面的例子可以看出曼月，取一個定義在正整數(shù)或非負(fù)的整數(shù)上的離散函數(shù)，然后進(jìn)行加和操作柔昼，結(jié)果卻能夠產(chǎn)生一個連續(xù)函數(shù)哑芹。注意其中的離散函數(shù)an的變量為n，加和得出的結(jié)果卻是關(guān)于變量x捕透〈献耍總之，這是冪級數(shù)的一種性質(zhì)乙嘀，也屬于一種離散求和的情況末购。
假設(shè)讓這個求和變得連續(xù)而不是離散，即不是讓變量n=0,1,2,3…虎谢，另外定義一個變量t盟榴，并且0≤t＜∞，即t可以為[0婴噩，∞)中的任意實數(shù)擎场。
如果想用t取替代n，顯然不能再用上面處理離散序列的辦法在所有實數(shù)上求和几莽，而是要通過積分迅办。即：
(1.6)
我們可以保留這種形式，但是沒有數(shù)學(xué)家喜歡這樣做章蚣，而且工程師也很少這樣做站欺，因為當(dāng)進(jìn)行積分和微分操作時，沒有人希望其中包含一個指數(shù)函數(shù)的底是x之類的積分或微分項纤垂，這讓人看起來很頭疼矾策。而唯一方便的是自然底數(shù)e。只有e才是人們喜歡用來積分或微分的洒忧，因為對以自然底數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)y=e^ax進(jìn)行積分或微分后的結(jié)果還是其本身或僅僅是本身乘以了一個系數(shù)蝴韭，滿足該性質(zhì)的函數(shù)世界上僅此一家、別無分店Ｎ跏獭ｉ履磨！想知道e的來源請見《自然底數(shù)e怎么就“自然”了》。
因此我們將以x為底數(shù)的指數(shù)變換成為以e為底數(shù)的指數(shù)形式：
(1.7)
現(xiàn)在庆尘，我們再看這個積分剃诅，顯然，我們寫出這個積分當(dāng)然希望其可解驶忌，或者說收斂矛辕。畢竟這是一個從零到無窮大的廣義積分，我們需要特殊對待付魔，只有當(dāng)x是一個小于1的數(shù)時該積分才有可能收斂聊品，只有這樣，當(dāng)冪越來越大時几苍，得到的數(shù)才會越來越小翻屈，所以這里要求x＜1。然后妻坝，我們還希望x為正值伸眶，否則會遇到負(fù)冪的麻煩，例如當(dāng)x=-1刽宪，t=1/2時厘贼，將得到虛數(shù)，這是我們所不愿看到的圣拄，所以要求0＜x＜1嘴秸，我們這么做是為了讓積分收斂。那么在這種情況下售担，lnx又會是什么樣的呢赁遗？顯然，當(dāng)0＜x＜1時族铆，lnx＜0岩四。
lnx這個變量看起來貌似有點復(fù)雜，我們何不用一個變量去代替它呢哥攘？
那么就用s吧剖煌！
現(xiàn)在令s= -lnx或-s= lnx，因為lnx＜0逝淹，取-s= lnx的話耕姊，s就總為正數(shù)了，處理正數(shù)當(dāng)然更符合人們的習(xí)慣栅葡。另外茉兰，我們用f(x)代替a(x)，這樣看上去更像我們熟悉的函數(shù)形式欣簇。我們上面各種替換都只是為了修飾规脸，我們將這些替換代入式(1.7)中坯约，得：
(1.8)
我們居然通過這種方式得到了Laplace Transform！Ｄ肌闹丐！
如果用符號代替，可以將式寫為：
(1.9)
這就是拉普拉斯變換被因，當(dāng)將一個t的函數(shù)輸入卿拴，將得到一個關(guān)于s的函數(shù)。
另外提一下梨与，這里說的是“變換”堕花，其實數(shù)學(xué)中還有一個概念叫做“算子”，而變換和算子的最本質(zhì)區(qū)別在于粥鞋，經(jīng)過“算子”運算航徙，變量沒有變，比如微分就是一種典型的算子陷虎，而經(jīng)過“變換”運算則會改變變量的形式。
Reference
[1] Pierre-Simon Laplace,?https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
[2] Differential Equation,Arthur Mattuck
