奇點(diǎn)類型
本篇僅討論平面自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型傻挂，對(duì)于線性化系統(tǒng)求解其特征值蠢熄。特征值的實(shí)部和虛部決定了奇點(diǎn)的類型：
- 實(shí)特征值
如果所有特征值均為負(fù)實(shí)數(shù)逗噩，則該奇點(diǎn)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)平窘；
如果所有特征值均為正實(shí)數(shù)吓肋，則是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；
如果有正有負(fù)瑰艘，則是鞍點(diǎn)是鬼。 - 復(fù)特征值：如果特征值是復(fù)數(shù)，則需要看其實(shí)部紫新。
如果實(shí)部為負(fù)均蜜，奇點(diǎn)是穩(wěn)定的螺旋點(diǎn)；
如果實(shí)部為正芒率，則是不穩(wěn)定的螺旋點(diǎn)囤耳。
例題：線性系統(tǒng)
系統(tǒng) 一：
第一步：確定雅可比矩陣
這個(gè)系統(tǒng)的右側(cè)為：
對(duì) 求關(guān)于
和
的偏導(dǎo)數(shù)，得到雅可比矩陣
：
第二步：求特征值
我們接下來計(jì)算雅可比矩陣 的特征值。特征值
滿足以下特征方程：
將 和單位矩陣
帶入：
計(jì)算行列式：
展開并簡(jiǎn)化：
這得到一個(gè)二次方程：
解這個(gè)二次方程紫皇，使用求根公式：
所以得到兩個(gè)特征值：
第三步：判斷奇點(diǎn)類型
- 兩個(gè)特征值
和
都是負(fù)實(shí)數(shù)慰安。
- 這意味著奇點(diǎn)是一個(gè) 穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，因?yàn)樗刑卣髦刀紴樨?fù)聪铺，軌線將向奇點(diǎn)收斂化焕。
因此，系統(tǒng) (1) 的奇點(diǎn)是一個(gè) 穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)铃剔，軌線在奇點(diǎn)附近向奇點(diǎn)收斂撒桨。
系統(tǒng)二
第一步：確定雅可比矩陣
這個(gè)系統(tǒng)的右側(cè)為：
對(duì) 求關(guān)于
和
的偏導(dǎo)數(shù)，得到雅可比矩陣
：
第二步：求特征值
特征值 滿足以下特征方程：
計(jì)算行列式：
展開行列式：
簡(jiǎn)化得到：
使用求根公式解此二次方程：
因此键兜，特征值為：
第三步：判斷奇點(diǎn)類型
- 由于特征值的符號(hào)不同（一個(gè)為正凤类，一個(gè)為負(fù)），奇點(diǎn)是 鞍點(diǎn)普气。
- 鞍點(diǎn)表示系統(tǒng)的奇點(diǎn)在某些方向上不穩(wěn)定谜疤。
系統(tǒng)三：
第一步：確定雅可比矩陣
第二步：求特征值
特征值 滿足以下特征方程：
計(jì)算行列式：
展開行列式：
整理得到：
解得特征值為復(fù)數(shù)，說明系統(tǒng)具有螺旋奇點(diǎn)现诀。
系統(tǒng)四
第一步：確定雅可比矩陣
系統(tǒng)的右側(cè)為：
對(duì) 求關(guān)于
和
的偏導(dǎo)數(shù)夷磕，得到雅可比矩陣
：
第二步：求特征值
特征值 滿足以下特征方程：
計(jì)算行列式：
展開行列式：
整理得到：
將方程分解為：
因此，特征值為：
第三步：判斷奇點(diǎn)類型
- 特征值中包含
和一個(gè)負(fù)特征值
仔沿，因此系統(tǒng)的奇點(diǎn)是一個(gè) 鞍結(jié)點(diǎn)（即鞍點(diǎn)和中心點(diǎn)的混合類型）坐桩。
- 鞍結(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的奇點(diǎn)在某些方向上可能穩(wěn)定，而在其他方向上不穩(wěn)定封锉。
最后绵跷，我們用Python來繪制了上面四個(gè)系統(tǒng)的軌線分布圖：
例題：非線性系統(tǒng)
對(duì)于非線性系統(tǒng)，我們一般采取線性近似法來近似其在奇點(diǎn)附近的狀態(tài)成福。
