矩陣是可逆的，當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式非零通铲。
考慮![\boldsymbol{A} = \left[ a_i\!_j \right],a_i\!_j \neq 0](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%20a_i%5C!_j%20%5Cright%5D%2Ca_i%5C!_j%20%5Cneq%200)
毕莱。
的第二行和第三行都乘以
，然后再分別減去第一行適當(dāng)?shù)谋稊?shù)颅夺，則行等價(jià)于下面兩個(gè)矩陣：
～
由于可逆朋截，故矩陣中(2,2)元素和(3,2)元素不同時(shí)為0.不妨假設(shè)(2,2)元素不等于零（否則，可以做一個(gè)行對(duì)換邊變成這種情形）吧黄。在進(jìn)行行化簡(jiǎn)：
～
其中部服，
。
由于可逆拗慨，故
一定不等于零廓八。我們稱這個(gè)(1)式中的為
矩陣的行列式。
矩陣的行列式:
赵抢。
矩陣的行列式:
剧蹂。利用行列式來重寫(1)中的行列式。
%20-%20(a_1%5C!_2a_2%5C!_1a_3%5C!_3%20-%20a_1%5C!_2a_2%5C!_3a_3%5C!_1)%20%2B%20(a_1%5C!_3a_2%5C!_1a_3%5C!_2-%20a_1%5C!_3a_2%5C!_2a_3%5C!_1)%20%5C%5C%20%26%3D%20a_1%5C!_1%20%5Ctimes%20det%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_2%5C!_2%20%26%20a_2%5C!_3%20%5C%5C%20a_3%5C!_2%20%26%20a_3%5C!_3%5Cend%7Bbmatrix%7D%20-%20a_1%5C!_2%20%5Ctimes%20det%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_2%5C!_1%20%26%20a_2%5C!_3%20%5C%5C%20a_3%5C!_1%20%26%20a_3%5C!_3%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%2B%20a_1%5C!_3%20%5Ctimes%20det%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_2%5C!_1%20%26%20a_2%5C!_2%20%5C%5C%20a_3%5C!_1%20%26%20a_3%5C!_3%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cend%7Baligned%7D)
為了簡(jiǎn)單烦却，可寫成
宠叼，其中
由中刪除第一行和三列中之一列而得到。
當(dāng)
矩陣![\boldsymbol{A}=\left[ a_i\!_j \right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BA%7D%3D%5Cleft%5B%20a_i%5C!_j%20%5Cright%5D)
的行列式是形如
的
個(gè)項(xiàng)的和其爵，其中加號(hào)和減號(hào)交替出現(xiàn)冒冬，元素
來自于第一行，用符號(hào)表示為：
%5E%7B1%2Bn%7Da_1%5C!_n%20%5Ctimes%20%5Cboldsymbol%7BA_1%5C!_n%20%7D%20%5C%5C%20%26%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B(-1)%5E%7B1%2Bj%7Ddet%20%5C%3B%5Cboldsymbol%7BA_1%5C!_j%7D%7D%20%5Cend%7Baligned%7D)
計(jì)算行列式
摩渺，其中
解：
%20-%205(0-0)%20%2B%200(-4-0)%20%3D%20-2%5Cend%7Baligned%7D)
方陣的行列式的另一個(gè)常用記號(hào)是利用一對(duì)豎線代替括號(hào)窄驹。這樣，上式可寫為：
給定,的(i,j)余因子
表示為：%5E%7Bi%2Bj%7DdetA_i%5C!_j)
证逻，則
乐埠。這個(gè)公式稱為按的第一行的余因子展開式。
定理 1 
矩陣的的行列式可按任意行或列的余因子展開式來計(jì)算囚企，按第
行展開的余因子展開式為：
丈咐；按第
列的余因子展開式為：
。(i,j)余因子中加號(hào)或減號(hào)取決于
在矩陣中的位置龙宏，而于本身的符號(hào)無關(guān)棵逊。
定理 2 
若為三角形，則
等于的主對(duì)角線上元素的乘積银酗。
