丹洋小講堂——解惑篇

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丹洋上周的兩篇小論文引起了“軒然大波”耿芹，貞元學(xué)校的數(shù)學(xué)老師們給予了點(diǎn)評(píng)崭篡，且給出了中肯的建議。初中的大姐姐提出了疑惑吧秕，并與小作者進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的討論切磋琉闪。江子校長(zhǎng)也給出了點(diǎn)評(píng)。聽丹洋爸爸說砸彬，丹洋本來因?yàn)樽约旱男≌撐倪B續(xù)兩次登上了學(xué)校公眾號(hào)而洋洋得意時(shí)颠毙，突然看到大家“那么多”建議，內(nèi)心一下子低沉了砂碉，說道蛀蜜，“我以為我寫的論文特別棒，原來還有這么多問題呀增蹭〉文常”天呢，正當(dāng)宋宋老師因?yàn)檫@場(chǎng)“軒然大波”興奮時(shí)滋迈，丹洋竟然失落了霎奢。好吧，成人的世界與孩子的世界果然與眾不同饼灿。一個(gè)電話打過去幕侠，“親，聽說你失落了赔退，為什么呀橙依？你應(yīng)該感到高興呀证舟，你的一篇論文竟然有那么多讀者愿意去看，且愿意與你討論窗骑，這樣女责，你可以再豐富你的論文呀”。就這樣创译，又有了今天的這篇“解惑小論文”抵知。

上次我寫了一篇關(guān)于“分?jǐn)?shù)乘法”的論文，很多人提出了不同的觀點(diǎn)和建議软族，今天我將在這里跟大家繼續(xù)交流我的想法刷喜。

首先是一個(gè)初中的姐姐提出的問題。她說立砸，我用字母表示分?jǐn)?shù)乘法分“法則”要想表示其普遍性掖疮，應(yīng)該加一個(gè)前提條件，結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)颗祝，就比如兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘得到的結(jié)果不是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)浊闪，那么就要約分。

初中姐姐與她的數(shù)學(xué)老師的討論

但是我現(xiàn)在所說的這個(gè)公式螺戳，只不過就是你遇到了分?jǐn)?shù)乘法問題搁宾，如何去計(jì)算它，也就是算理倔幼，并沒有追究其結(jié)果到底要不要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)盖腿。所以，我認(rèn)為并不需要加前提條件损同。但如果她這個(gè)問題脫離這個(gè)情境翩腐，也是非常有價(jià)值討論的。兩個(gè)分?jǐn)?shù)揖庄，原本是互致的栗菜，相乘之后的結(jié)果一定還是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)嗎？那可就不一定了蹄梢。就比如五分之三乘十一分之十就不是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)疙筹，必須要約分。我特別敬佩這位小姐姐禁炒，她會(huì)因?yàn)橐粋€(gè)問題而咆，加我微信，與我討論她的觀點(diǎn)：

我與小姐姐的討論

其次幕袱，是一位老師提出的建議暴备，他說可以利用乘法分配律來證明這個(gè)定律，這又是一種新方法们豌。

黃老師在宋宋老師朋友圈的留言

首先涯捻，讓我們看一下整數(shù)乘分?jǐn)?shù)浅妆。我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律，如下：

我發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)除一個(gè)數(shù)障癌，就等于乘以這個(gè)數(shù)幾分之一凌外。這個(gè)規(guī)律應(yīng)該可以幫助我解答后面的疑問。

我們可以用運(yùn)算律解答整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算過程涛浙，具體步驟如下：

讓我們一步一步來看康辑。首先，我根據(jù)分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系轿亮，把a(bǔ)分之b轉(zhuǎn)化成了b除以a疮薇。接下來根據(jù)剛才我發(fā)現(xiàn)的那個(gè)規(guī)律，把b除以a轉(zhuǎn)化成了b 乘以a分之一我注，然后再乘以c按咒。這個(gè)時(shí)候就變成一個(gè)連乘的算式，可以利用乘法交換律仓手，先計(jì)算b乘以c胖齐，最后再乘以a分之一。接下來再逆過來利用嗽冒，剛才我們發(fā)現(xiàn)的那個(gè)規(guī)律，一個(gè)數(shù)乘幾分之一补履，就等于除那個(gè)數(shù)添坊。所以最好可以再把它轉(zhuǎn)化成bc÷a。最后我們?cè)倮梅謹(jǐn)?shù)與除法的關(guān)系箫锤，把這個(gè)除法算式轉(zhuǎn)化成贬蛙，a分之b×c，再把這個(gè)結(jié)果和原式相對(duì)比谚攒，我發(fā)現(xiàn)果然就是分子乘那個(gè)整數(shù)阳准，分母不變。

?接下來再讓我們看一下分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)馏臭，這下就簡(jiǎn)單了野蝇，因?yàn)樗姆椒ㄊ腔谏厦娑玫降摹Ｊ紫壤ㄈ澹屛覀兿劝阉D(zhuǎn)化成字母式子绕沈。也就是a分之b乘c分之d。具體步驟如下：

還是讓我們一步一步來看帮寻。首先乍狐，我根據(jù)分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，分別把a(bǔ)分之b和c分之d轉(zhuǎn)化成了b除以a和d除以c固逗。接下來我再利用剛才我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律把b除以a轉(zhuǎn)化成b乘以a分之一浅蚪，把d除c轉(zhuǎn)化成d乘c分之一藕帜。這個(gè)時(shí)候它是一道連乘的算式，因此我們可以使用乘法交換律惜傲。把b和d放在一起洽故，把a(bǔ)分之一和c分之一放在一起。然后我再逆過來利用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律操漠。一個(gè)數(shù)乘以幾分之一收津，就是除以那個(gè)數(shù)。這時(shí)再根據(jù)分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系浊伙，把這個(gè)除法算式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)撞秋，也就是c×a分之b×d最后，再把結(jié)果與原式子相比嚣鄙，果然是分子乘分子做分子吻贿，分母乘分母做分母。

第三個(gè)問題是王校提出來的哑子【肆校看能不能把分?jǐn)?shù)乘法的“法則”，用圖形語言表示出來卧蜓。

但是在這里我有一個(gè)問題帐要，如果是普遍適用，那分成的份數(shù)怎么表示呢弥奸？也就是說榨惠，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母怎么表示？而且它取的份數(shù)怎么表示盛霎？也就是分子赠橙。它是隨意分成份數(shù)，隨意取的份數(shù)愤炸。這可怎么辦期揪？所以我只能把這個(gè)問題再回問給王校。目前我能畫出來的圖规个，也就是這樣凤薛。

首先表示一下a分之b，就是先把一個(gè)整體绰姻，平均分成a份枉侧，取其中的b份。然后再畫出c分之d狂芋，把一個(gè)整體現(xiàn)平均分成c份榨馁，取其中d份。然后再把它們相乘帜矾∫沓妫可以理解為c分之d的a分之b屑柔。首先先畫出c分之d，然后把c分之d平均分成a份珍剑，取其中b份掸宛。但感覺這樣用字母來表示，也不太恰當(dāng)招拙。后來我詢問了一下王校唧瘾，得知原來思路沒有問題，理解都是對(duì)的别凤。但是他說表達(dá)的方式可以更加科學(xué)直觀饰序。把a(bǔ)分之b橫著用線條表示，c分之d豎著來表示规哪。于是我畫出了這幅圖：

給王星笤ィ看了之后，他很滿意诉稍。這樣畫出來果然更加直觀蝠嘉。看來問題也沒有我想象的那么難杯巨，但因?yàn)槭切ｉL(zhǎng)問出來的問題蚤告，所以我感覺不會(huì)太簡(jiǎn)單，要考慮一系列問題服爷。但如果是同學(xué)問出來的罩缴，那就不一樣了！

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