1.7杖刷、坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1.7、坐標(biāo)系與參數(shù)方程

一驳癌、坐標(biāo)系

1滑燃、直角坐標(biāo)系

建立坐標(biāo)系必須滿足的條件
任意一點(diǎn)都有確定的坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)；反之颓鲜，依據(jù)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定這個(gè)點(diǎn)的位置表窘。
數(shù)軸（直線坐標(biāo)系）
在直線上確定一點(diǎn)O，取定一個(gè)方向甜滨，再取一個(gè)長(zhǎng)度單位乐严。點(diǎn)O，長(zhǎng)度單位和選定的方向三者構(gòu)成了直線上的坐標(biāo)衣摩，簡(jiǎn)稱數(shù)軸昂验。
平面直角坐標(biāo)系
在平面上取兩條相互垂直并選定了方向的直線，一條稱為x軸艾扮，一條稱為y軸既琴，交點(diǎn)O稱為原點(diǎn)，再取一個(gè)長(zhǎng)度單位泡嘴，如此取定的兩條相互垂直的且有方向的直線甫恩，和長(zhǎng)度單位構(gòu)成平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系，記作xOy
空間直角坐標(biāo)系
過(guò)空間一個(gè)頂點(diǎn)O酌予，作三條相互垂直且有相同長(zhǎng)度單位的數(shù)軸磺箕，就構(gòu)成了空間直角坐標(biāo)系奖慌。點(diǎn)O成為坐標(biāo)原點(diǎn)，三條數(shù)軸分別稱為x軸松靡，y軸简僧，z軸
坐標(biāo)系的作用
①坐標(biāo)系是刻畫(huà)點(diǎn)的位置與其變化的參照物
②可找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡（或范圍）
③課通過(guò)數(shù)形結(jié)合击困，用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題

2涎劈、平面上的伸縮變換

設(shè)點(diǎn)p（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)阅茶，在變換 $\varphi: \begin{cases} x^{'} =λx（λ>0）\\ y^{'} =uy（u>0） \end{cases}$ 的作用下蛛枚，p（x，y）對(duì)應(yīng)點(diǎn) $p^{'}$ ( $x^{'},y^{'}$ ),稱 $\varphi$ 為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換脸哀。

3蹦浦、極坐標(biāo)系

極坐標(biāo)系的概念
在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，從O引一條射線OX撞蜂，設(shè)定一個(gè)單位長(zhǎng)度以計(jì)算這角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍┟は猓@樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系，O點(diǎn)叫做極點(diǎn)蝌诡，射線OX叫做極軸溉贿。
極坐標(biāo)系的四要素：極點(diǎn)，極軸浦旱，長(zhǎng)度單位宇色，角度單位和它的正方向。極坐標(biāo)系的四要素颁湖，缺一不可宣蠕。
點(diǎn)的極坐標(biāo)
設(shè)M點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有ρ表示線段OM的長(zhǎng)度甥捺，θ表示射線OX到OM的角度抢蚀，有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）叫做M點(diǎn)的極坐標(biāo)镰禾。

4皿曲、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

互化的前提條件
①極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合
②極軸與x軸的正半軸重合
③兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位
互化公式
$\begin{cases} x=ρcosθ\\ y =ρsinθ \end{cases}$
$\begin{cases} ρ^2=x^2+y^2\\ tanθ =\frac {y} {x}(x≠0） \end{cases}$

5、曲線的極坐標(biāo)方程

一般地吴侦，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個(gè)極坐標(biāo)適合方程f（ρ谷饿，θ）=0；反之妈倔，極坐標(biāo)適合方程f（ρ博投，θ）=0的點(diǎn)在曲線上，那么這個(gè)方程稱為這條曲線的極坐標(biāo)方程盯蝴，這條曲線稱為這個(gè)極坐標(biāo)的曲線毅哗。

6听怕、直線的極坐標(biāo)方程

過(guò)極點(diǎn)且與極軸稱α角的直線方程θ = α
過(guò)點(diǎn)( $a，\frac {π}{2}$ )虑绵，且平行于極軸的直線方程時(shí)ρsinθ = a
過(guò)點(diǎn)（a,0）,且垂直于極軸的直線方程時(shí)ρcosθ = a
傾斜角為α尿瞭，且極點(diǎn)到直線的距離是d的方程。若直線與極軸相交翅睛，則ρsin（θ-α）= d声搁；若直線與極軸的反向延長(zhǎng)線相交，ρsin(θ-α)=d
過(guò)定點(diǎn)（ $ρ_0,θ_0$ ）,且傾斜角為α的直線方程時(shí)ρsin(α-θ)= $ρ_0$ sin(α- $θ_0$ )
定理：若極坐標(biāo)方程f(ρ捕发，θ) = 0表示的曲線過(guò)極點(diǎn)疏旨，則方程ρ.f(ρ，θ) = 0與f(ρ扎酷，θ)等價(jià)檐涝。

7、圓的極坐標(biāo)方程

圓心在（ $ρ_0,θ_0$ ）半徑為r法挨，則圓的方程為 $ρ^2$ -2 $ρ_0$ ρcos(θ- $θ_0$ )+ $ρ_0$ - $r^2$ = 0谁榜，這是圓在極坐標(biāo)下的一般方程。
過(guò)極點(diǎn)且半徑為r的圓方程
①若圓心是(r, $θ_0$ ),則方程為ρ=2rcos（θ- $θ_0$ ）
②若圓心是(r,0),則方程為ρ=2rcos（θ）
③若圓心是（r凡纳，π）窃植，則方程為ρ = -2rcosθ
④若圓心是（r， $\frac{π}{2}$ ）荐糜，則方程為則方程為ρ = 2rsinθ
⑤若圓心是（r巷怜， $\frac{3π}{2}$ ），則方程為則方程為ρ = -2rsinθ
以極點(diǎn)為圓心狞尔，半徑為r的圓的方程時(shí)ρ=r

8丛版、極坐標(biāo)系及其與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化

柱坐標(biāo)系
設(shè)p是空間任意一點(diǎn)巩掺，在xoy平面的投影點(diǎn)為Q偏序，用(ρ，θ)（ρ≥0,0≤θ≤2π）表示點(diǎn)Q在平面xoy上的極坐標(biāo)胖替，點(diǎn)p的位置可用有序數(shù)組（ρ研儒，θ，z）表示独令，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系端朵，有序數(shù)組（ρ，θ燃箭，z）叫點(diǎn)P的柱坐標(biāo)冲呢，記作P(ρ，θ招狸，z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,z∈（-∞敬拓，﹢∞）
柱坐標(biāo)系又稱半極坐標(biāo)系邻薯，它是由平面極坐標(biāo)系及空間直角坐標(biāo)系中的一部分建立起來(lái)的。
柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化公式
$\left\{ \begin{aligned} x & =ρcosθ \\ y & = ρsinθ \\ z & = z \end{aligned} \right.$

9乘凸、球坐標(biāo)線及其與直角坐標(biāo)的互化

球坐標(biāo)線
設(shè)P是空間任意一點(diǎn)厕诡，連接OP，記|OP| = r,OP 與OZ軸正向所夾的角為 $\varphi$ ,設(shè)P在xoy平面的投影點(diǎn)為Q营勤，ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為θ灵嫌，這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r, $\varphi$ ,θ)之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)線（或空間極坐標(biāo)系）有序數(shù)組(r, $\varphi$ ,θ)叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)葛作，其中r≥0,0≤ $\varphi$ ≤π寿羞，0≤θ<2π
球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化關(guān)系
$\left\{ \begin{aligned} x & =rsin \varphi cosθ \\ y & =rsin \varphi sinθ \\ z & = rcos\varphi \end{aligned} \right.$

10、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程

以焦點(diǎn)O為極點(diǎn)进鸠，OX為極軸建立極坐標(biāo)系稠曼，OX與準(zhǔn)線l垂直，極軸所在的直線與l交于點(diǎn)D客年，設(shè)圓錐曲線方程為ρ= ρ（θ）霞幅，在曲線上任取一點(diǎn)M(ρ，θ)量瓜，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的垂線MN司恳，記|OA| = P，離心率為e绍傲，則圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為：ρ = $\frac{p} {1-ecosθ}$
充分利用離心率的概念做等式扔傅。

二、參數(shù)方程

1烫饼、概念

一般地猎塞，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x杠纵，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)x=f(t),y=g(t).并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值荠耽，有這個(gè)房產(chǎn)組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么這個(gè)房產(chǎn)組就叫這條曲線的參數(shù)方程比藻，聯(lián)系變數(shù)x铝量，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)银亲。
相對(duì)于參數(shù)方程而言慢叨，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的房產(chǎn)叫做普通方程。
關(guān)于參數(shù)方程的幾點(diǎn)說(shuō)明：

參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)想x务蝠，y的橋梁拍谐，參數(shù)方程中參數(shù)可以有物理意義、幾何意義，也可以沒(méi)有明顯意義轩拨。
同一曲線選取參數(shù)不同力穗，曲線參數(shù)方程也不同
在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍

2、參數(shù)方程和普通方程的互化

在參數(shù)方程與普通方程的互化中气嫁，必須使x当窗，y的取值范圍保持一致，否則寸宵，互化就是不等價(jià)的崖面。

參數(shù)方程話普通方程的過(guò)程就是消參的過(guò)程，常見(jiàn)方法有三種
①代入法：類似于解方程消去t
②三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)
③整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征梯影，從整體去消元
普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)巫员。參數(shù)不同，方程截然不同

3甲棍、園的參數(shù)方程

以圓心為原點(diǎn)简识，半徑為r的圓的參數(shù)方程
圓心為O(a,b)的參數(shù)方程
借助于三角函數(shù)

4、橢圓的參數(shù)方程

借助與三角函數(shù)

5感猛、拋物線的參數(shù)方程

借助于三角函數(shù)

6七扰、雙曲線的參數(shù)方程