一 什么是線段樹悲酷？
線段樹也叫區(qū)間樹言询；線段樹是一種二叉搜索樹，它將一個(gè)區(qū)間劃分成一些單元區(qū)間真屯，每個(gè)單元區(qū)間對(duì)應(yīng)線段樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)脸候；
二 為什么要使用線段樹？
在解釋這個(gè)問題先讓我們看一個(gè)經(jīng)典的問題绑蔫，區(qū)間染色；
假設(shè)有一面墻泵额，長(zhǎng)度為n配深，每次選擇一段墻來進(jìn)行染色，如下圖所示：
首先定義一端長(zhǎng)度為n的墻嫁盲；區(qū)間染色1然后將4-9這個(gè)區(qū)間染成黃色篓叶；區(qū)間染色2在將7-15染成綠色；區(qū)間染色3再將1-5染成藍(lán)色羞秤；區(qū)間染色4再將6-12染成紅色缸托；區(qū)間染色5
最后問題來了：
1 問m次操作后我們可以看見多少種顏色？
2 m次操作后瘾蛋，我們可以在[i, j]區(qū)間看見多少種顏色俐镐？
不管怎樣，對(duì)于這個(gè)問題來說哺哼，我們關(guān)注的是一個(gè)一個(gè)的區(qū)間佩抹，其實(shí)對(duì)于這個(gè)問題只需要兩種操作就可以搞定，一個(gè)是染色操作(也就是所謂的區(qū)間更新)取董，一個(gè)是查詢操作(區(qū)間查詢)棍苹；但是由于我們這個(gè)是使用的數(shù)組來定義的一面墻，所以查詢和更新的操作的時(shí)間復(fù)雜度都為O(n)級(jí)別的茵汰，如果我們直接使用數(shù)組進(jìn)行操作系統(tǒng)的系統(tǒng)開銷就太大了枢里；因?yàn)閷?duì)于這個(gè)問題我們關(guān)注點(diǎn)的是一個(gè)一個(gè)的區(qū)間，所以線段樹在這里就有了用武之地了；
接下來我們?cè)诳匆粋€(gè)計(jì)算機(jī)領(lǐng)域經(jīng)典的區(qū)間查詢問題區(qū)間查詢1查詢一個(gè)區(qū)間[i, j]的最大值 最小值或者該區(qū)間的數(shù)字之和栏豺；
之前我們的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都是對(duì)單個(gè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行操作梭灿，顯然是不適用于這這樣的場(chǎng)景的；這里如果我們將這個(gè)問題換成對(duì)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行操作會(huì)是怎么樣的冰悠？其實(shí)這個(gè)問題的本質(zhì)就是基于區(qū)間的統(tǒng)計(jì)查詢堡妒。
放在現(xiàn)在的互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下也有很多這樣的問題需要使用到區(qū)間查詢的操作來完成？
其實(shí)這樣的問題我們需要注意的是：我們關(guān)注的仍然是動(dòng)態(tài)的情況，在這種情況下我們使用線段樹會(huì)是一個(gè)很好的選擇桑寨；因?yàn)閯?dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)的時(shí)候會(huì)伴有兩個(gè)操作一個(gè)更新一個(gè)查詢伏尼，如果使用數(shù)組來進(jìn)行操作會(huì)極大的增加性能開銷；接下來我們來對(duì)比一下線段樹和數(shù)組在對(duì)這類問題方面的性能開銷
比如：一個(gè)電商網(wǎng)站去年一年注冊(cè)的用戶中消費(fèi)最高的用戶是誰溉卓？消費(fèi)最少的用戶是誰皮迟？
性能對(duì)比
三 線段樹概念詳解
以上的實(shí)例我們都可以將數(shù)組直接轉(zhuǎn)換成線段樹尉尾，這個(gè)一個(gè)數(shù)組爆阶，通過以上的實(shí)例我們不難發(fā)現(xiàn)在線段樹中是沒有添加和刪除操作的，所以轉(zhuǎn)換以后的線段樹是這樣的轉(zhuǎn)換過程1前邊也說過線段樹是二分搜索樹的一種沙咏，不同的地方在與線段樹每個(gè)節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)的是一個(gè)區(qū)間辨图，我們以求區(qū)間數(shù)字之和的問題來進(jìn)行解析，上圖中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)一個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)肢藐，例如根節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)的就是整個(gè)數(shù)組的數(shù)據(jù)故河，左右兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)的就是[0 - 3][4 - 7]這個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)，以此類推吆豹；如果我們要操作這些區(qū)間數(shù)據(jù)我們只需要找到這些節(jié)點(diǎn)即可鱼的，以數(shù)組中[4 - 7]這個(gè)區(qū)間為例：線段樹圖示對(duì)于線段樹來說有時(shí)候我們需要查詢的區(qū)間需要進(jìn)行一次合成的操作，比如說在這個(gè)實(shí)例中我們要查詢區(qū)間[2 - 5]的數(shù)據(jù)痘煤，就會(huì)變成下邊的情況：線段樹求和圖示線段樹求和圖示我們需要先找到A[2 - 3]和A[4 - 5]這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)凑阶，然后對(duì)這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在進(jìn)行合并的操作；
所以在大數(shù)量的情況下衷快，如果我們要操作區(qū)間數(shù)據(jù)的話宙橱，使用線段樹可以很高效的解決我們的問題，而不會(huì)像使用數(shù)組那樣需要先遍歷一邊所有的元素烦磁，這就是線段樹的優(yōu)勢(shì)所在养匈。
四 線段樹的基礎(chǔ)表示
1 在之前的例子中我們看到了線段樹是一個(gè)二分搜索樹，但是線段樹不一定是一顆滿的二叉樹都伪，比如說如下圖所示：這是一位呕乎，我們的數(shù)組是10個(gè)元素的數(shù)組，根節(jié)點(diǎn)保存著10個(gè)元素的數(shù)據(jù)陨晶，根節(jié)點(diǎn)下邊的左右子節(jié)點(diǎn)分別保存5個(gè)元素猬仁，但是左右子節(jié)點(diǎn)在往下分的話因?yàn)?不能被整除的元素就導(dǎo)致其下邊的節(jié)點(diǎn)必然會(huì)出現(xiàn)元素個(gè)數(shù)不一致的情況帝璧，就像這樣的情況：當(dāng)數(shù)組為10個(gè)元素的時(shí)候線段樹的圖示1從圖示中可以看出，這個(gè)線段樹的葉子節(jié)點(diǎn)不一定是在最下邊一層的湿刽，這也表示線段樹不一定是滿的二叉樹同時(shí)也不一定是完全二叉樹的烁，但是線段樹確實(shí)一顆平衡二叉樹；當(dāng)數(shù)組為10個(gè)元素的時(shí)候線段樹的圖示2
平衡二叉樹：從根節(jié)點(diǎn)開始到葉子節(jié)點(diǎn)的深度的差值(最大深度和最小深度)不超過1诈闺，從這里我們也可以得出我們的堆也是一顆平衡二叉樹渴庆，因?yàn)橥耆鏄浔旧砭褪且环N平衡二叉樹；
- 平衡二叉樹的好處就是不會(huì)像二分搜索樹那樣退化成一個(gè)鏈表雅镊，在平衡二叉樹上進(jìn)行搜索是非常高效的襟雷；
- 我們可以使用數(shù)組來表示平衡二叉樹，因?yàn)槲覀兛梢詫?shù)組A看成是一個(gè)完全二叉樹仁烹，雖然它最底層的葉子節(jié)點(diǎn)有一些是沒有的耸弄，我們可以將這些節(jié)點(diǎn)看成null，這樣這個(gè)平衡二叉樹就會(huì)變成完全二叉樹卓缰，而完全二叉樹我們完全可以使用數(shù)組來表示计呈；
- 那么問題就來了，如果這個(gè)區(qū)間有n個(gè)元素征唬，我們使用數(shù)組表示需要多少個(gè)節(jié)點(diǎn)捌显？
如圖所示，如果區(qū)間中有n個(gè)元素的話鳍鸵，我們的空間需要2n苇瓣，因?yàn)樯线叺目臻g是下邊空間之和，但是這有一個(gè)最壞的情況偿乖，就是我們的數(shù)組是奇數(shù)的，比如說大小為5這樣的情況哲嘲，那么此時(shí)的線段樹存儲(chǔ)空間就應(yīng)該是下邊這樣的線段樹存儲(chǔ)空間圖示1因?yàn)閰^(qū)間元素個(gè)數(shù)為n的話贪薪，我們需要2n的空間來進(jìn)行存儲(chǔ)，如果多出一個(gè)元素的話我們就需要4n的空間來進(jìn)行存儲(chǔ)眠副，最后我們的線段樹模型就應(yīng)該像下邊圖示的那樣線段樹存儲(chǔ)空間圖示2我們將空的節(jié)點(diǎn)全部復(fù)制為null画切，這樣就可以讓它滿足完全二叉樹的定義；線段樹存儲(chǔ)空間圖示3
注意：在這里我們是浪費(fèi)了一些存儲(chǔ)空間的囱怕，由于我們定義的線段樹是沒有插入操作的也就是說是靜態(tài)的霍弹，那么我們?yōu)榱诵阅苁峭耆梢誀奚暨@些空間的；
代碼實(shí)現(xiàn)線段樹基礎(chǔ)：
package com.mufeng.segmentTree;
/**
* Created by wb-yxk397023 on 2018/7/8.
*/
public class SegmentTree<E> {
// 線段樹使用的數(shù)組
private E[] tree;
private E[] data;
public SegmentTree(E[] arr){
data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++){
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
}
/**
* 獲取數(shù)組長(zhǎng)度
* @return
*/
public int getSize(){
return data.length;
}
/**
* 獲取當(dāng)前索引上的元素
* @param index
* @return
*/
public E get(int index){
if (index < 0 || index >= data.length){
throw new IllegalArgumentException("Index is illega.");
}
return data[index];
}
/**
* 返回完全二叉樹的數(shù)組表示中娃弓，一個(gè)索引上元素的左節(jié)點(diǎn)索引典格；
* @param index
* @return
*/
private int leftChild(int index){
return 2 * index + 1;
}
/**
* 返回完全二叉樹的數(shù)組表示中，一個(gè)索引上元素的右節(jié)點(diǎn)索引台丛；
* @param index
* @return
*/
private int rightChild(int index){
return 2 * index + 2;
}
}
五 創(chuàng)建線段樹
- 首先以求和為例我們先來看一下線段樹的模型
線段樹求和模型1在這個(gè)圖示中耍缴，我們的數(shù)組長(zhǎng)度為10，所以線段樹的根節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)的就是10個(gè)元素的和，下邊的左右子節(jié)點(diǎn)以及各個(gè)節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)的都是相應(yīng)區(qū)間元素的和防嗡，如果要?jiǎng)?chuàng)建這樣的一個(gè)線段樹我們就需要使用遞歸的方法進(jìn)行創(chuàng)建变汪；
代碼實(shí)現(xiàn)創(chuàng)建過程
private Merger<E> merger;
public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger){
this.merger = merger;
data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++){
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
}
/**
* 在treeIndex的位置創(chuàng)建表示區(qū)間[l....r]的線段樹
* @param treeIndex
* @param l
* @param r
*/
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r){
if (l == r){
tree[treeIndex] = data[l];
return;
}
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
int mid = l + (r - l) / 2;
buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
Merger接口的實(shí)現(xiàn)
package com.mufeng.segmentTree;
/**
* Created by wb-yxk397023 on 2018/7/8.
*/
public interface Merger<E> {
E merge(E a, E b);
}
重寫toString
/**
* 重寫toString方法
* @return
*/
@Override
public String toString(){
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append('[');
for (int i = 0; i < tree.length; i++){
if (tree[i] != null){
res.append(tree[I]);
}else {
res.append("null");
}
if (i != tree.length - 1){
res.append(", ");
}
}
res.append(']');
return res.toString();
}
測(cè)試
package com.mufeng;
import com.mufeng.segmentTree.SegmentTree;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Integer[] nums = {-2, 0, 3, -5, 2, -1};
SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree<>(nums, (a, b) -> a + b);
System.out.println(segTree);
}
}
測(cè)試結(jié)果
六 線段樹中的區(qū)間查詢
基于遞歸我們可以很輕松的實(shí)現(xiàn)線段樹的區(qū)間查詢操作，比如說基于這個(gè)線段樹我們要查詢區(qū)間為2-5的統(tǒng)計(jì)信息蚁趁；線段樹的區(qū)間查詢1我們可以先從根節(jié)點(diǎn)進(jìn)行查詢裙盾；線段樹的區(qū)間查詢2根據(jù)圖示我們可以得出要查詢[2,5]這個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)就需要查詢根節(jié)點(diǎn)下左右兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的元素，左節(jié)點(diǎn)查詢[2,3]他嫡，右節(jié)點(diǎn)查詢[4,5]番官；線段樹的區(qū)間查詢3線段樹的區(qū)間查詢4由于左右[2,3]和[4,5]這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)都有父節(jié)點(diǎn)，在這里我們就可以使用遞歸進(jìn)行查詢涮瞻；
代碼實(shí)現(xiàn)線段樹區(qū)間的查詢操作：
/**
* 返回區(qū)間[queryL,queryR]的值
* @param queryL
* @param queryR
* @return
*/
public E query(int queryL, int queryR){
if(queryL < 0 || queryL >= data.length ||
queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}
/**
* 線段樹區(qū)間查詢的核心方法
* 在以treeID為根的線段樹中[l...r]的范圍里鲤拿，查找[queryL...queryR]的值
* @param treeIndex
* @param l
* @param r
* @param queryL
* @param queryR
* @return
*/
private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR){
if (l == queryL && r == queryR){
return tree[treeIndex];
}
int mid = l + (r - l) / 2;
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if (queryL >= mid + 1){
return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
}else if (queryR <= mid){
return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
}
E legtResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
return merger.merge(legtResult, rightResult);
}
測(cè)試：
public static void main(String[] args) {
Integer[] nums = {-2, 0, 3, -5, 2, -1};
SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree<>(nums,
(a, b) -> a + b);
System.out.println(segTree);
System.out.println(segTree.query(0, 2));
System.out.println(segTree.query(2, 5));
System.out.println(segTree.query(0, 5));
}
測(cè)試結(jié)果
七 線段樹中的更新的操作
1?? 代碼實(shí)現(xiàn)更新操作
/**
* 將index位置上的值更新為e
* @param index
* @param e
*/
public void set(int index, E e){
if (index < 0 || index >= data.length){
throw new IllegalArgumentException("Index is illega.");
}
data[index] = e;
set(0, 0, data.length - 1, index, e);
}
/**
* 在以treeIndex為根的線段樹中，更新index的值為e
* @param treeIndex
* @param l
* @param r
* @param index
* @param e
*/
private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e){
if (l == r){
data[treeIndex] = e;
return;
}
int mid = l + (r - l) / 2;
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if (index >= mid + 1){
set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
}else {
set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);
}
tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
