抽象代數(shù)的學習內容主要分三大塊：群、環(huán)、域幢尚。然后呢掉丽，我現(xiàn)在只學了這一點點澄暮、
群
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什么是群？——對于一個集合，定義一種運算，這個集合關于這種運算有一些好性質朴沿，那么就稱這個集合關于這種運算做成群。
- 群的定義是什么？
- 群的性質是什么赌渣？
- 群的例子有哪些魏铅？
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如果說群是一個國家，那么群中的元素就是這個國家的人坚芜。但是和現(xiàn)實生活中人和人的異質性不同沦零，群中的元素（可能）存在規(guī)律性，或者說“某種結構”货岭。怎么去研究這些分散的個體呢？那就涉及到元素的階的概念疾渴。
- 元素的階的定義是什么千贯？
- 元素的階的性質是什么？/除了利用定義搞坝，怎么計算元素的階搔谴？
既然提到人，我們可能會順便問問這個國家的人口是多少桩撮。對于群敦第，也就是這個群的階是多少。
- 什么是群的階店量？
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人芜果。。不會單獨存在融师，總是喜歡抱團取暖右钾。所以說一個國家的公民，會組成社群/團體旱爆。群中的元素當然也會了舀射，對于一些有特別性質的“元素的小團體”，它們就構成了這個群的子群怀伦。
- 子群的定義是什么脆烟？
- 子群的性質是什么？
任何人都可以和任何人在一起搞小團體房待。但是只有滿足一些條件的團體才會被稱為比如政黨邢羔、宗教、社團吴攒。任何元素和任何元素都可以搞小團體张抄，也就是形成子集，但只有滿足一些條件的子集才會被稱為子群洼怔。那么除了定義以外署惯，怎么判斷一個子集是不是子群？
- 子集是群iff...?
假設我的男票和他的直男兄弟搞了一個小團體镣隶。他們有著宏偉的從政意愿极谊，具體來說就是建立一個“當爸爸黨”诡右。但是，該群體并不符合成為合法黨派的條件轻猖。怎么辦呢帆吻？當然是找一個國務的人幫忙搞定，比如起草黨派憲章等等咙边。所以猜煮，雖然這個小團體本身不是政黨，但是他們可以（通過某位成員找一個國務女友）生成一個政黨败许。同理王带，一個子集，它自己不是子群市殷，也可以生成子群愕撰。
- 什么叫做子集生成子群？
- 由一個子集生成的子群包含哪些元素醋寝？（這些元素和子集的元素有什么關系搞挣？）
有的黨派呢，人數(shù)很少音羞，這就導致它們在投票的時候很尷尬囱桨。于是，有的小黨就會考慮聯(lián)合起來黄选。對于子群來說蝇摸，就是子群之間是可以運算的。
- 子群有哪些運算办陷？運算律有哪些貌夕？
結果小黨聯(lián)合的時候條件沒談妥，干脆兩黨都解散了民镜。對于子群來說啡专，子群經過運算（也就是子群的積），未必還是子群制圈。
- 子群的積是子群iff...?
小黨聯(lián)合——如果成功的話们童，很有可能會開掉一些職能重復的人。這就導致鲸鹦，我們也會考慮子群的積的階是多少慧库。
- 積集公式
對于一個國家的諸政黨，并不是每個黨都同樣“重要”馋嗜，比如相對當爸爸黨這種野雞黨派齐板，顯然還是很有機會成為執(zhí)政黨派的大黨更值得研究。所以，我們也有一些子群甘磨，是千千萬萬個子群中特殊而重要的橡羞。
- 正規(guī)子群
- ……
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好的，現(xiàn)在我們對這個國家济舆、每個公民卿泽、公民團體——甚至黨派，都有了一些認識滋觉∏┴玻可是，怎么管理國家呢椎侠？從古代的分封而治覆致，到現(xiàn)代的省、州劃分肺蔚，無不啟示著我們對群，也進行“劃分”儡羔。所謂群的劃分宣羊，簡單來說把群寫成一堆集合的無交并。比如把國家分成幾個州汰蜘，那這幾個州應該互不相交仇冯，但是又完全cover了整個國家。
- 群的劃分的定義是什么族操？
群的劃分和等價關系苛坚、等價類以及商集的概念是密切相關的，或者說本質上這三組名字在說的都是一件事色难。所以這里一并介紹：
- 什么是等價關系和等價類泼舱？
- 等價關系&等價類和群的劃分的關系是什么？（一一對應）
- 什么是商集枷莉？
- 商集和群的劃分/等價類的關系是什么娇昙？
fine，言歸正傳笤妙。我們已經知道把國家分成一些省/州冒掌，是很好的治理辦法。那么蹲盘，我們是依據(jù)什么這樣劃分的呢股毫？可能是地域，可能是文化召衔。對于群來說铃诬，就是等價關系：定義一種等價關系，把彼此有關系的元素放到一起構成等價類，不同的等價類之間是兩兩無交的氧急，所有的等價類并起來又cover了整個群颗胡。
-
現(xiàn)在，我們定義這樣一種等價關系：H是G的子群吩坝，對于元素
毒姨，如果
，那么就稱
有關系～钉寝，記做
.
然后弧呐，按照5. 的思路，我們便可以寫出這中關系的等價類：的等價類記做
, 則
{
} , 變型一下就是
總之呢逮走，陪集就是上述這個特殊的等價關系的等價類鸠蚪。并且按照4.和5.的知識，我們很容易明白不同的陪集是兩兩無交的师溅，所有的陪集并起來又cover了整個群茅信。
所以我們可以get到下面兩件事：- 上述這個等價關系對應的商集的元素就是這些陪集。
- 求群G的階數(shù)墓臭，就是sum每個陪集的階數(shù)蘸鲸。一如國家的人口=sum每個省/州的人口。
- 拉格朗日定理
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顯然窿锉，對于一個國家酌摇，可以有很多種劃分方法。但是嗡载！并不是每種劃分都是被承認的——準確地說窑多，其實只有一種劃分方法被承認，只有一種劃分方法是合法的洼滚。如果A州和B州相鄰怯伊，而兩州州長對于州界限有不同的劃分方式的話，那么他們甚至要打仗判沟。所以耿芹，雖然我們可以搞出許許多多的商集，但是挪哄，只有一種（些）商集吧秕，是非常“尊貴”的迹炼。這種商集是什么呢砸彬？——還記得一開始說的“群是一個關于定義于其上的運算有好性質的集合（及其運算）”嗎颠毙？——這種商集，自然就是可以關于定義于其上的運算有好性質的集合砂碉，也就是商群蛀蜜。
為了get商群的概念，我們先定義商集的元素的“運算”增蹭。不過滴某，其實這種“運算”與其說是“定義”的，不如說是你很自然滋迈、很符合直覺地就會這么想的霎奢。- 令G是群，H是G的子群饼灿，商集G/H = {aH | a
代表元系}幕侠，則G/H中的這種“運算”是：aH*bH = (ab)H
上一段中的“運算”二字通通加了引號。這是因為由于這種“運算”是等價類之間的乘法碍彭，我們必須得考慮它是不是well-defined晤硕。如果是well-defined，才可以去掉引號庇忌，讓它脫胎換骨成真正的運算窗骑。
什么樣的等價類之間的乘法算是well-defined？我們知道漆枚，同一個等價類的元素們，彼此之間都有那種關系抵知。所以在表示這個類的時候墙基，取哪個元素當代表元都可以，表示的都是一個類刷喜。所以残制，如果用a和a‘表示第一個等價類，b和b’表示第二個等價類掖疮，要是這種乘法well-defined初茶，ab和a‘b'應該相等。
什么時候這種乘法是well-defined浊闪？
- 令G是群恼布，H是G的子群，商集G/H = {aH | a
（還記得前面說的野雞當爸爸黨不足掛齒，不如研究大黨盖腿，從而我們研究了一些重要的子群爽待，其中就有正規(guī)子群嗎损同？）
好的，顯然不well-defined的乘法沒什么好再研究的了鸟款，因為你壓根不是乘法案嗳肌！所以現(xiàn)在我們把H取成G的正規(guī)子群何什。此時我們不禁想問组哩，G/H關于此乘法，成群嗎富俄？——答案是肯定的禁炒！
沒有正規(guī)子群，就沒有商群霍比。如果說商集是一盤散沙的烏合之眾（沒有乘法運算）幕袱，那么商群就是在正規(guī)子群帶領下的、緊密團結悠瞬、通力合作们豌、有組織有紀律的群體。只有一種合法的洲界浅妆，恰如只有“唯一”（好吧只是比較特殊望迎、比較少）的商群。因此凌外，商群可以被合法地稱為 United States （既然aH就像states）辩尊，而正規(guī)子群，就是United States的執(zhí)政黨康辑，而且是……黨國同構的Ｉ阌（???隱喻嘿嘿嘿嘿）
- 令G是群，H是G的子群饼灿，商集G/H = {aH | a
