求geometric brownian motion的概率密度函數(shù)
若已知幾何布朗運動：
利用伊藤積分祭阀，求解上式可以得到
對任意t呐赡，上面是一個對數(shù)正態(tài)分布副签，故有
則可以得到的概率密度函數(shù)
這樣得到了每個時間點各個價格的概率论衍。
交易策略
假設(shè)已知所有參數(shù)。
先對一般布朗運動做monte Carlo simulation楣责，然后按定義模擬幾何布朗運動：
from scipy.stats import norm
import pandas as pd
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
def generate_gbm(mu, sigma, T, S0,dt):
N = round(T/dt)
t = np.linspace(0, T, N)
W = np.random.standard_normal(size = N)
W = np.cumsum(W)*np.sqrt(dt) ### standard brownian motion ###
X = (mu-0.5*sigma**2)*t + sigma*W
S = S0*np.exp(X) ### geometric brownian motion ###
return S
參數(shù)設(shè)置如下顷蟆，模擬效果如圖
T = 2
mu = 0.1
sigma = 0.01
S0 = 200
dt = 0.01
S = generate_gbm(mu,sigma,T,S0,dt)
plt.plot(S)
plt.show()
定義上面算出來的概率密度函數(shù)
def f(s,mu,sigma,t,S0):
return (2*math.pi)**(-0.5)*(s*sigma*t**0.5)**(-1)*math.e**(-(math.log(s)-math.log(S0)-(mu-0.5*sigma**2)*t)**2/(2*sigma**2*t))
針對每個點，無論是賣單還是買單腐魂，期望的收益為
可以得到這里以n=2為例
def profit(s,s_mu,K,Q,n):
return abs(s-s_mu)*Q-K*Q**n
def best(s,s_mu,K,n=2):
Qbest=abs(s-s_mu)/(2*K)
pbest=profit(s,s_mu,K,Qbest,n=2)
if pbest>0:
return Qbest,pbest
else:
return 0,1
期望收益：
s_mu=s.mean()
K=0.001
m=[]
for s in np.arange(int(0.9*S0),int(1.1*S0),0.001*S0):
sum=0
for t in range(int(T/dt)):
sum+=best(s,s_mu,K,2)[0]*f(s,mu,sigma,t,S0)
m.append(sum)
m=np.array(m)
eprofit=m.mean()
該參數(shù)下期望收益eprofit=252.49622608022156
故對每個時間點的價格s，比較s與上面模擬的平均價格,如果價格高賣出逐纬，價格低買入蛔屹，
然后算得profit與期望收益比較，高于期望收益就進行交易豁生，單量Q=best(s,s_mu,K,n=2)
def trade(s):
if s<s_mu:
print ('buy')
else:
print ('sell')
if best(s,s_mu,K,n)[1]>eprofit:
print ('size=',best(s,s_mu,K,n)[0])
else:
print ('zero')
return
下面是幾個測試結(jié)果：
