另外一類存在性定理處理了狄利克雷問(wèn)題，即用直接方法或用狄利克雷原理的方法建立ΔV=0的解的存在性藕各。1870年，魏爾斯特拉斯的學(xué)生施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz,1843-1921）給出了二維狄利克雷問(wèn)題（但不是極小化狄利克雷積分的狄利克雷原理）的第一個(gè)存在性證明。1892年他接替了老師魏爾斯特拉斯在柏林大學(xué)的教授職務(wù)墨辛。受老師提示，他在關(guān)于邊界曲線的普遍假設(shè)下癣防，利用所謂交替法證明了解的存在性蜗巧。
同年，C.G.諾伊曼用算術(shù)平均法給出了三維狄利克雷問(wèn)題的解的另一個(gè)存在性證明蕾盯。他也沒(méi)使用狄利克雷原理幕屹。后來(lái)龐加萊用掃除法(sweeping out)，造出一系列在區(qū)域R上不調(diào)和级遭、但取正確邊值的函數(shù)望拖，這些函數(shù)變得越來(lái)越調(diào)和。最后希爾伯特重建了湯姆森（應(yīng)該是指開(kāi)爾文）和狄利克雷的變分法装畅，并建立了狄利克雷原理作為證明存在性的一個(gè)方法靠娱。1899年希爾伯特證明在區(qū)域、邊值和允許函數(shù)的適當(dāng)條件下掠兄，狄利克雷原理確實(shí)成立像云。他使狄利克雷原理成為復(fù)函數(shù)論的有力工具，在1904年的出版物（包含了1901年的工作）中給出了更一般的條件蚂夕。
狄利克雷原理的歷史值得一提：格林迅诬、狄利克雷、開(kāi)爾文等人認(rèn)為這個(gè)原理是完全可靠的婿牍，并自由使用侈贷，后來(lái)黎曼在復(fù)變函數(shù)論中用它得到重要結(jié)果，并認(rèn)為它是很了不起的工具等脂，不過(guò)他們都知道基本的存在性問(wèn)題還沒(méi)得到解決俏蛮，早在魏爾斯特拉斯批判狄利克雷原理之前，他已經(jīng)懷疑這個(gè)方法幾十年了上遥。最后天降大神希爾伯特拯救搏屑、利用并擴(kuò)充了這一原理，如果希爾伯特不出現(xiàn)粉楚，那位勢(shì)理論跟函數(shù)論中的很多研究就沒(méi)得搞了辣恋。
拉普拉斯方程ΔV=0是橢圓型微分方程的基本形式，對(duì)更一般的橢圓型微分方程如建立了許多存在性定理模软。其中一個(gè)關(guān)鍵結(jié)果是皮卡（Picard)對(duì)充分小區(qū)域證明了方程解的存在性和唯一性（已給定解在邊界上的值）伟骨。皮卡和其他人把結(jié)果擴(kuò)充到多變量、大區(qū)域和其它方面燃异。皮卡還證明如果方程系數(shù)是解析的携狭，方程在求解區(qū)域內(nèi)僅具有解析解（即使給定非解析的邊界值）叁温。
前面討論的定理已一般地處理了解析微分方程逗抑、解析初值或邊界條件嚼摩，但這些條件局限性比較大其障，因?yàn)槲锢頂?shù)據(jù)可能不是解析的。另外一大類定理處理不太嚴(yán)格的條件鳄逾，比如應(yīng)用于雙曲方程的黎曼方法依賴于特征函數(shù)v的存在性稻轨，但是黎曼沒(méi)證明。1889年杜布瓦雷蒙(Du Bois—Reymond)對(duì)此尋找適當(dāng)條件并得到了結(jié)果雕凹，其中x=常數(shù)和y=常數(shù)都是特征：如果沿曲線AB給出連續(xù)函數(shù)u和u對(duì)法向的偏導(dǎo)殴俱，即任何特征線與曲線AB交點(diǎn)不多于1個(gè)，則微分方程存在并只有唯一解u枚抵，它沿AB取u與δu/δn的給定值（曲面u(x,y)以給定斜率通過(guò)一給定空間曲線）线欲。這個(gè)解定義在過(guò)A與過(guò)B特征所確定的矩形上（解或曲面包含在兩條相交的空間曲線所確定的空間內(nèi)）。另外汽摹，如果連續(xù)函數(shù)u在兩特征線段上的值給定李丰，u在特征所確定的矩形上也是唯一確定的。
19世紀(jì)后半葉大量工作是證明區(qū)域D中Δu+k^2u=0的特征值的存在性逼泣，主要結(jié)果是對(duì)已給區(qū)域和任意一個(gè)邊界條件u=0趴泌，δu/δn=0或δu/δn+hu=0，總有k^2的無(wú)窮多個(gè)離散值拉庶，每個(gè)值有一個(gè)解嗜憔。在二維情形下，如果方程是沿邊界振動(dòng)的薄膜振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程氏仗，k的值是無(wú)窮多個(gè)純粹諧振的頻率吉捶，而相應(yīng)解是薄膜在實(shí)現(xiàn)特征振動(dòng)時(shí)的變形。施瓦茨首先證明Δu+ξf(x,y)u=0的第一個(gè)特征函數(shù)的存在性皆尔，即證明存在一個(gè)U1使呐舔，在所考慮區(qū)域的邊界上U1=0。他的方法給出了求解步驟和計(jì)算第一個(gè)特征值
的方法慷蠕。后來(lái)皮卡找出了第二個(gè)特征值
的存在性珊拼。施瓦茨在1885年的論文中還指出區(qū)域連續(xù)變化時(shí)，第一特征值也連續(xù)變化砌们，區(qū)域變小時(shí)特征值無(wú)限增大杆麸，這樣較小的膜發(fā)出較高的第一陪音搁进。
1894年龐加萊證明了Δu+λu=f在一個(gè)有界三維區(qū)域內(nèi)所有特征值的存在性及其基本性質(zhì)浪感，其中λ是復(fù)數(shù)，在區(qū)域邊界u=0饼问，他使用推廣的施瓦茨方法證明了u的存在性影兽。其次他證明u(λ)是復(fù)變數(shù)λ的整函數(shù)，其極點(diǎn)是實(shí)的特征值λn莱革，并得到特征解Ui峻堰，在內(nèi)部讹开，在邊界上Ui=0。其物理意義是捐名，Δu+λu=f是一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)方程旦万，被振幅為f的周期力激發(fā)，其特征解是系統(tǒng)的自由振動(dòng)镶蹋，一次激發(fā)后就無(wú)限持續(xù)下去成艘，這些自由振動(dòng)的頻率與ki成比例，根據(jù)龐加萊的計(jì)算贺归，它們就是對(duì)應(yīng)于強(qiáng)迫振動(dòng)u變?yōu)闊o(wú)窮的那些根號(hào)λ值淆两。
19世紀(jì)末關(guān)于偏微分方程初值和邊值條件的系統(tǒng)理論仍然是不成熟的，到20世紀(jì)這方面的工作迅速發(fā)展了拂酣。
