矩陣分析學(xué)習(xí)筆記（四）-矩陣的分解

奇異值分解(Singular Value Decomposition宅荤，SVD)

定義：設(shè) $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 贫悄，半正定矩陣 $A^TA$ 的 $n$ 個(gè)特征值記為 $\lambda_i,i=1,\cdots,n$ 嘴高。顯然 $\lambda_i\geq0$ 竿音。稱 $\lambda_i$ 的算數(shù)平方根 $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i},i=1,\cdots,n$ 為矩陣 $A$ 的奇異值。

定理：設(shè)矩陣 $A\in \mathbb R^{m\times n}$ 的奇異值中有 $r$ 個(gè)不等于零拴驮，記為 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_r>0$ 春瞬，它們構(gòu)成的 $r$ 階對(duì)角陣記為 $D=diag\lbrace\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r\rbrace$ ，令 $m\times n$ 階矩陣 $\Sigma$ 具有如下分塊形式： $\Sigma=\left(\matrix{D&0\\0&0}\right)$ 套啤，則存在正交陣 $U\in \mathbb{R}^{m\times m},V\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 宽气，使得 $A=U\Sigma V^T$ 。

例：求矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&1\\1&-2\\2&1\end{bmatrix}$ 的奇異值分解纲岭。

解：先求 $A^TA=\begin{bmatrix}6&1\\1&6\end{bmatrix}$ 抹竹，其特征值為 $\lambda_1=7,\lambda_2=5$ ，故 $A$ 的奇異值為 $\sigma_1=\sqrt7,\sigma_2=\sqrt5,A^TA$ 的正交單位特征向量為 $\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\-\frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}$ 止潮，

故 $D=\begin{bmatrix}\sqrt7&0\\0&\sqrt5\end{bmatrix},V=V^T=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}$ 窃判，

$U_1=AV_1D^{-1}=\begin{bmatrix}1&1\\1&-2\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt7}&0\\0&\frac{1}{\sqrt5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{14}}&0\\-\frac{1}{\sqrt{14}}&\frac{3}{\sqrt{10}}\\\frac{3}{\sqrt{14}}&\frac{1}{\sqrt{10}}\end{bmatrix}$ ，

解線性方程組 $\begin{cases}2x_1-x_2+3x_3=0\\3x_2+x_3=0\end{cases}$ 得通解為 $\mathbf x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}5\\1\\-3\end{bmatrix}$ 喇闸，取 $k=\frac{1}{\sqrt{35}}$ 得為單位 $\mathbf x$ 向量袄琳，

故 $U=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{14}}&0&\frac{5}{\sqrt{35}}\\-\frac{1}{\sqrt{14}}&\frac{3}{\sqrt{10}}&\frac{1}{\sqrt{35}}\\\frac{3}{\sqrt{14}}&\frac{1}{\sqrt{10}}&-\frac{3}{\sqrt{35}}\end{bmatrix},\Sigma=\begin{bmatrix}\sqrt7&0\\0&\sqrt5\\0&0\end{bmatrix}$ 询件，此時(shí) $U\Sigma V^T=A$ 。

廣義特征值

設(shè) $n$ 階方陣 $A$ 和 $B$ 都是實(shí)對(duì)稱陣唆樊，且 $B$ 是正定的宛琅，求 $\lambda$ 使方程 $A\lambda=\lambda Bx$ 有非零解 $\mathbf x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 。

注： $Ax=\lambda Bx$ 有非零解的充分必要條件是 $\mid A-\lambda B\mid=0$

故可稱 $\mid A-\lambda B\mid=0$ 為 $A$ 相對(duì)于 $B$ 的特征方程逗旁，它的根 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 稱為 $A$ 相對(duì)于 $B$ 的廣義特征值嘿辟，與 $\lambda_i$ 對(duì)應(yīng)的非零解 $\mathbf x$ 稱為對(duì)應(yīng)于廣義特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。

定理：設(shè) $A$ 為實(shí)對(duì)稱陣片效， $B=P^TP$ 為正定對(duì)稱陣红伦， $\mathbf y=P\mathbf x,S=(P^{-1})^TAP^{-1}$ ，則 $\mathbf x$ 是 $A$ 相對(duì)于 $B$ 的廣義特征向量的充分必要條件為 $\mathbf y$ 是對(duì)稱陣 $S$ 的對(duì)應(yīng)于 $\lambda$ 的特征向量淀衣，即 $Ax=\lambda Bx\Leftrightarrow Sy=\lambda y$ 昙读。

例： $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}$ ，求 $A$ 相對(duì)于 $B$ 的廣義特征值和廣義特征向量膨桥。

解： $\mid A - \lambda B\mid=\begin{vmatrix}2-2\lambda & 1-\lambda \\ 1-\lambda & 3-\lambda \end{vmatrix}$ 蛮浑，得廣義特征值為 $\lambda_1=1,\lambda_2=5$ ，

? 當(dāng) $\lambda_1=1$ 時(shí)只嚣，求得 $p_1=(1,0)^T$ 沮稚，

? 當(dāng) $\lambda_2=5$ 時(shí)，求得 $p_2=(-1,2)^T$ 介牙。

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末壮虫，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市，隨后出現(xiàn)的幾起案子环础，更是在濱河造成了極大的恐慌囚似，老刑警劉巖，帶你破解...
沈念sama閱讀 206,126評(píng)論 6贊 481
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件线得，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異饶唤，居然都是意外死亡，警方通過(guò)查閱死者的電腦和手機(jī)贯钩，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 88,254評(píng)論 2贊 382
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門募狂，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來(lái)，“玉大人角雷，你說(shuō)我怎么就攤上這事祸穷。” “怎么了勺三？”我有些...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 152,445評(píng)論 0贊 341
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵雷滚，是天一觀的道長(zhǎng)。經(jīng)常有香客問(wèn)我吗坚，道長(zhǎng)祈远，這世上最難降的妖魔是什么呆万？我笑而不...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 55,185評(píng)論 1贊 278
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任，我火速辦了婚禮车份，結(jié)果婚禮上谋减，老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己扫沼，他們只是感情好出爹，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 64,178評(píng)論 5贊 371
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來(lái)的
文/花漫我一把揭開(kāi)白布。她就那樣靜靜地躺著缎除，像睡著了一般以政。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上伴找，一...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 48,970評(píng)論 1贊 284
城市分裂傳說(shuō)
那天，我揣著相機(jī)與錄音废菱，去河邊找鬼技矮。笑死，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛殊轴，可吹牛的內(nèi)容都是我干的衰倦。我是一名探鬼主播，決...
沈念sama閱讀 38,276評(píng)論 3贊 399
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開(kāi)眼旁理，長(zhǎng)吁一口氣：“原來(lái)是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼樊零！你這毒婦竟也來(lái)了？” 一聲冷哼從身側(cè)響起孽文，我...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 36,927評(píng)論 0贊 259
萬(wàn)榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬(wàn)榮一對(duì)情侶失蹤驻襟，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒(méi)想到半個(gè)月后芋哭，有當(dāng)?shù)厝嗽跇?shù)林里發(fā)現(xiàn)了一具尸體沉衣，經(jīng)...
沈念sama閱讀 43,400評(píng)論 1贊 300
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 35,883評(píng)論 2贊 323
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年减牺，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了豌习。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
茶點(diǎn)故事閱讀 37,997評(píng)論 1贊 333
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡拔疚，死狀恐怖肥隆，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情稚失，我是刑警寧澤栋艳，帶...
沈念sama閱讀 33,646評(píng)論 4贊 322
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站墩虹，受9級(jí)特大地震影響嘱巾，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏憨琳。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,213評(píng)論 3贊 307
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一旬昭、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望篙螟。院中可真熱鬧，春花似錦问拘、人聲如沸遍略。這莊子的主人今日做“春日...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 30,204評(píng)論 0贊 19
一樁弒父案骤坐，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)绪杏。三九已至，卻和暖如春纽绍，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間蕾久，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 31,423評(píng)論 1贊 260
情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工拌夏，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留僧著，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 45,423評(píng)論 2贊 352
代替公主和親
正文我出身青樓障簿，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像盹愚，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子站故，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 42,722評(píng)論 2贊 345

矩陣分析學(xué)習(xí)筆記（四）-矩陣的分解

奇異值分解(Singular Value Decomposition宅荤，SVD)

廣義特征值

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容