本段內(nèi)容說(shuō)明了無(wú)限集不一定是可數(shù)集
定理:閉區(qū)間![[0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B0%2C1%5D)
不是可數(shù)集亿乳。
證明：使用反證法：
假設(shè)![[0,1]=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B0%2C1%5D%3D%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C%5Ccdots%2Ca_n%2C%5Ccdots%5C%7D)
是一個(gè)可數(shù)集.于是中有一個(gè)閉區(qū)間
使
有
中的閉區(qū)間使
,有中的閉區(qū)間
使
,等等.這樣我們得到中的單調(diào)遞減閉區(qū)間列
使得
.這樣由數(shù)學(xué)分析中的閉區(qū)間套定理可知：存在
.顯然![\xi\in[0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cxi%5Cin%5B0%2C1%5D)
波丰，但對(duì)任何的
有
，推出矛盾.因此不可數(shù).證畢.
以后我們把與等價(jià)的集合稱為有連續(xù)統(tǒng)勢(shì),下面介紹和連續(xù)統(tǒng)勢(shì)相關(guān)的定理和一些重要的具有連續(xù)統(tǒng)勢(shì)的集合.
任何區(qū)間具有連續(xù)統(tǒng)勢(shì)
定理1：任何區(qū)間具有連續(xù)統(tǒng)勢(shì).特別地瘦赫，實(shí)數(shù)集
具有連續(xù)統(tǒng)勢(shì).(這個(gè)定理的證明比較容易睦优，讀者可以自行嘗試).
n元數(shù)列
設(shè)是一個(gè)大于
的正整數(shù).若數(shù)列
中的項(xiàng)僅由
這個(gè)數(shù)組成，則稱
為一個(gè)元數(shù)列偎巢；又若中
只有有限項(xiàng)不為
則稱為有限元數(shù)列;不然則稱為無(wú)限元數(shù)列.
引理：設(shè)
為無(wú)限集微王，
是至多可數(shù)集屡限，則
.則.
證明:不妨設(shè)
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A" alt="A" mathimg="1">為無(wú)限集，因此我們可以取的可數(shù)子集
炕倘，此時(shí)
可數(shù)钧大，因此
%5Ccap%20A_1%3D%5Cemptyset%2C%5C%20(A-A_1)%5Ccap(A_1%5Ccup%20B)%3D%5Cemptyset%2C)
從而得到%5Ccup%20A_1%3D%20(A-A_1)%5Ccup(A_1%5Ccup%20B)%3DA%5Ccup%20B)
引理證畢
定理：設(shè)
,則元數(shù)列全體連續(xù)統(tǒng)勢(shì)。
證明：首先容易證明元有限數(shù)列全體是可數(shù)的.所以由上面的引理罩旋，我們只需要證明![(0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=(0%2C1%5D)
與無(wú)限元數(shù)列全體等價(jià)拓型。
為此設(shè)![x\in (0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=x%5Cin%20(0%2C1%5D)
.于是有唯一的正整數(shù)
使
取
.又有唯一的
使
取
.又有唯一的
使
取
如此等等.一般地瘸恼，
隨后令
令
即得
由
的取法可知
是一個(gè)無(wú)限n元數(shù)列劣挫。這樣由上式我都沒(méi)可以得到從到無(wú)限元數(shù)列全體的一個(gè)映射
對(duì)每一個(gè) %3D%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C%5Ccdots%2Ca_i%2C%5Ccdots%5C%7D.)
易知
是一個(gè)雙射，從而無(wú)限元數(shù)列全體有連續(xù)統(tǒng)勢(shì).定理證畢.
注意：如果
,則
式就是通常的十進(jìn)制小數(shù)表示法东帅。
可數(shù)集的子集全體具有連續(xù)統(tǒng)勢(shì)
證明： 設(shè)是正整數(shù)全體
的任一非空子集.定義
并令%3D%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C%5Ccdots%5C%7D%2C%5C%20%5C%20f(%5Cemptyset)%3D%5C%7B0%2C0%2C%5Ccdots%5C%7D.)
顯然建立了的子集全體與二元數(shù)列全體之間的一個(gè)雙射.后者具有連續(xù)統(tǒng)勢(shì).從而可數(shù)集的子集全體居于連續(xù)統(tǒng)勢(shì).定理證畢.
直積對(duì)連續(xù)統(tǒng)勢(shì)的影響
定理：至多可數(shù)個(gè)有連續(xù)統(tǒng)勢(shì)的集的直積有連續(xù)統(tǒng)勢(shì)。
證明：不妨設(shè)對(duì)每一個(gè)
,
是一個(gè)二元數(shù)列全體靠闭，
是他們的直積.為了證明本定理帐我，只需證明
與二元數(shù)列全體等價(jià).
此時(shí)對(duì)每一個(gè)
令
%3D%5C%7Bx_1%5E%7B(1)%7D%2Cx_2%5E%7B(1)%7D%2Cx_2%5E%7B(2)%7D%2Cx_3%5E%7B(1)%7D%2Cx_2%5E%7B(2)%7D%2Cx_1%5E%7B(3)%7D%2C%5Ccdots%2Cx_n%5E%7B(1)%7D%2Cx_%7Bn-1%7D%5E%7B(2)%7D%2C%5Ccdots%2Cx_1%5E%7B(n)%7D%2C%5Ccdots%20%5C%7D)
其中%7D%2Cx_2%5E%7B(n)%7D%5Ccdots%2Cx_k%5E%7B(n)%7D%2C%5Ccdots%5C%7D%2C%5C%20n%3D1%2C2%2C%5Ccdots)
是二元數(shù)列.按照上述法則，是到二元數(shù)列全體的一個(gè)映射愧膀，它顯然是一個(gè)雙射.因此與二元數(shù)列全體等價(jià).定理得證.
注記：細(xì)心的讀者可能會(huì)發(fā)現(xiàn)拦键，這里似乎與我們證明可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍然是可數(shù)集的過(guò)程中用到的對(duì)角線法則有著異曲同工之妙，對(duì)角線法則是數(shù)學(xué)分析中常用的一種手段檩淋，學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)的讀者可以思考以下我們?cè)谀睦镞€用過(guò)對(duì)角線法則.
推論1：平面
及空間
都有連續(xù)統(tǒng)勢(shì).
推論2：實(shí)數(shù)列全體有連續(xù)統(tǒng)勢(shì).
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