人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之高等數(shù)學(xué)(持續(xù)更新)

引言

不懂?dāng)?shù)學(xué)是學(xué)不好人工智能的弓摘，本系列文章就匯總了人工智能所需的數(shù)學(xué)知識(shí)陨瘩。本文是高等數(shù)學(xué)篇娜膘。

另有線代篇和概率論篇逊脯。

函數(shù)與極限

函數(shù)

$y = f(x)$ ,x是函數(shù)f的自變量，y是因變量

函數(shù)極限

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ 當(dāng) $x$ 無限接近于 $x_0$ 時(shí)竣贪， $f(x)$ 無限接近于常數(shù)A军洼。

$x$ 趨于 $x_0$ 有三種寫法：

$\begin{cases} x \rightarrow x_0\\ x \rightarrow x_0^+\\ x \rightarrow x_0^- \end{cases}$

第一種是 $x$ 無限趨近于 $x_0$ 巩螃，解釋是它們相差的絕對值是無窮小的；
第二種是從大于 $x_0$ 的方向趨近(從右側(cè))匕争；
第二種是從小于 $x_0$ 的方向趨近(從左側(cè))避乏；

$x \rightarrow \infty$ 也有三種寫法：

$\begin{cases} x \rightarrow \infty\\ x \rightarrow +\infty\\ x \rightarrow -\infty \end{cases}$

第一種表示 $|x|$ 是無窮大的，同樣也可能是正數(shù)或負(fù)數(shù)甘桑；
第二種表示趨向于正無窮大拍皮；
第三種表示趨向于負(fù)無窮大；

函數(shù)極限的定義：

如果 $\forall \epsilon > 0$ (對于任意的 $\epsilon$ 大于0), $\exist \delta > 0$ (存在 $\delta$ 大于0),當(dāng) $0 < | x - x_0| < \delta$ 時(shí)跑杭，總有 $|f(x) - A| < \epsilon$ 春缕，則稱 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$

在這里插入圖片描述

我們可以通過圖形來理解極限，如上圖艘蹋，該函數(shù)的極限為0( $x \rightarrow -\infty$ 和 $x \rightarrow +\infty$ ,都趨向于0锄贼，因此說 $x \rightarrow \infty$ 時(shí)極限為0 )

該圖形對應(yīng)的代碼為:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
x = np.linspace(-100, 100, 100)
y = 1/x

ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(x, y)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['top'].set_color('none')

# remove the ticks from the top and right edges
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')

plt.axhline(0,color = 'red',linestyle = '--',alpha = 0.5)

plt.show()

無窮小與無窮大

無窮小

極限為零的變量稱為無窮小。

若有 $f(x)$ ,當(dāng) $x \rightarrow x_0$ (或 $x \rightarrow \infty$ ) ==極限為零==女阀，則稱 $f(x)$ 為 $x \rightarrow x_0$ (或 $x \rightarrow \infty$ ) 時(shí)的無窮小宅荤。

例如 $\lim\limits_{x \to 0} \sin x = 0$ ，函數(shù) $\sin x$ 是當(dāng) $x \rightarrow 0$ 時(shí)的無窮小浸策。

在這里插入圖片描述

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
y = np.sin(x)

ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(x, y)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['top'].set_color('none')

# remove the ticks from the top and right edges
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')

#plt.axhline(0,color = 'red',linestyle = '--',alpha = 0.5)

plt.show()

無窮大

若有 $f(x)$ ,當(dāng) $x \rightarrow x_0$ (或 $x \rightarrow \infty$ ) == $f(x)$ 無限增大==冯键，則稱 $f(x)$ 為 $x \rightarrow x_0$ (或 $x \rightarrow \infty$ ) 時(shí)的無窮大。

記作 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$

無窮大和無窮小都是有條件的庸汗，即趨于某一點(diǎn)或無窮大時(shí)惫确。

在這里插入圖片描述

同樣是 $y = \frac{1}{x}$ 這個(gè)函數(shù)，當(dāng) $x \rightarrow 0$ 時(shí)(從兩個(gè)方向)蚯舱， $y$ 都是無限增大的改化。

極限的四則運(yùn)算

設(shè) $\lim f(x) =A$ , $\lim g(x) = B$ ，則

$\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
$\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ 枉昏，其中 $B$ 不等于 $0$

兩個(gè)無窮小的和是無窮小
有界函數(shù)和無窮小的乘積是無窮小

常見函數(shù)的極限

1.求 $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$

$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2$
由于分母的極限為0陈肛，不能用法則3，但是可以約分兄裂，因此先約分再求極限句旱。
2. $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
3. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
4. $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{x})^x=e$ 或 $\lim\limits_{x \to 0} (1+ x)^{\frac{1}{x}}=e$

函數(shù)連續(xù)

設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ ,在 $x_0$ 的鄰域內(nèi)有定義，若 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ 晰奖，則稱 $f(x)$ 在點(diǎn) $x_0$ 處連續(xù)谈撒。

在這里插入圖片描述

上圖左邊的函數(shù)是連續(xù)的，而右邊的函數(shù)不是連續(xù)的匾南。

舉例

$討論 f(x) = \begin{cases} x + 2, x \geq 0\\ x - 2, x < 0 \end{cases} 在 x = 0處的連續(xù)性$

解：
函數(shù)在 $x = 0$ 處有定義啃匿，
$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x+2)$ = 2
≠
$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (x-2)$ = -2
因此極限不存在，該函數(shù)在0處不連續(xù)午衰。

連續(xù)函數(shù)的和差積商也是連續(xù)的立宜；連續(xù)函數(shù)的符合函數(shù)是連續(xù)的冒萄；基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)。

導(dǎo)數(shù)

在這里插入圖片描述

設(shè)

y = f(x)

x_0 \rightarrow x_0 + \Delta x

,則

\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)

,
若

\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

存在橙数，則稱

y = f(x)

在點(diǎn)

x_0

處可導(dǎo)尊流。

在 $x_0$ 處的導(dǎo)數(shù)值，簡稱為導(dǎo)數(shù)灯帮，記作 $f ^\prime (x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

導(dǎo)數(shù)的理解：

指的是該點(diǎn)的變化率崖技，可能是變大（導(dǎo)數(shù)為正），也可能變兄痈纭（導(dǎo)數(shù)為負(fù)）
從幾何意義上迎献，是該點(diǎn)切線的斜率

怎么理解導(dǎo)數(shù)是變化率：

就是如果自變量x繼續(xù)增加，因變量y的變化腻贰。
如果導(dǎo)數(shù)大于0吁恍，則y變大；如果導(dǎo)數(shù)小于0播演，則y變小冀瓦。
自變量x沿著導(dǎo)數(shù)地方向變化，就是沿著因變量y增加的方向變化

可導(dǎo)和連續(xù)

先來看一下連續(xù)和可導(dǎo)的幾何意義

在這里插入圖片描述

連續(xù)就是不間斷, $x_0$ 點(diǎn)左極限等于右極限等于 $f(x_0)$ 的值写烤；如果自變量增量趨于0時(shí),因變量增量不趨于0,那么也就是說 $f(x) - \lim f(x_0) (x \rightarrow x_0)$ 不等于0,那么也就是說在 $x_0$ 點(diǎn)左極限或者右極限不等于 $f(x_0)$ 那么這種情況只能是間斷的,所以自變量趨于0時(shí),因變量一定也要趨于0時(shí),才連續(xù)翼闽。

連續(xù)幾何上看就是函數(shù)的圖形不間斷；可導(dǎo)的幾何意義是曲線在該點(diǎn)處有斜率且斜率存在洲炊。

那么可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系感局，我們可以通過一個(gè)圖形來理解：

在這里插入圖片描述

由于在

x_2

和

x_4

處是斷開的，不連續(xù)暂衡，無法做出切線询微，就沒有切線的斜率一說了，因此不可導(dǎo)古徒。
在

x_3

chu處是連續(xù)的拓提，但是圖形在

x_3

處不光滑读恃，沒有辦法做出唯一的切線隧膘，因此該點(diǎn)是不可導(dǎo)的。

x_5

處斜率不存在寺惫，不可導(dǎo)疹吃。

光滑函數(shù)：曲線不尖銳,必光滑。連續(xù)光滑的曲線西雀，必然處處有切線萨驶，這點(diǎn)是必然的，沒有切線(或沒有唯一的切線)的地方艇肴，就不光滑腔呜。

由上可知叁温，不連續(xù)一定不可導(dǎo)；可導(dǎo)則必然連續(xù)核畴；連續(xù)不一定可導(dǎo)膝但。

最后以一個(gè)圖片作為總結(jié)：

在這里插入圖片描述

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)函數(shù) $u = u(x)$ 和 $v = v(x)$ 在點(diǎn) $x$ 處可導(dǎo)，則其和谤草、差跟束、積、商在 $x$ 處也可導(dǎo)丑孩，有以下法則和推論：

$(u \pm v)^\prime = u^\prime \pm v^\prime$
$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ (第一項(xiàng)求導(dǎo)乘第二項(xiàng) 加第一項(xiàng)不動(dòng)乘第二項(xiàng)的導(dǎo)數(shù))
$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$ ( $v$ ≠ 0)

推論：

$(Cu)^\prime = Cu^\prime$ ( $C$ 個(gè) $u\prime$ 相加)
$(uvw)^\prime = u^\prime vw + uv^\prime w + uvw^\prime$ (第一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)二三函數(shù)不動(dòng) 加第二個(gè)函數(shù)求導(dǎo)一三不動(dòng) 加一二不動(dòng)第三個(gè)函數(shù)求導(dǎo))

我們來利用這些法則求導(dǎo) $(\tan x) ^\prime$

$(\tan x)^\prime = \Big( \frac{\sin x}{\cos x} \Big)^\prime = \frac{(\sin x)^\prime \cos x - \sin x (\cos x)^\prime}{\cos ^2 x}$
$\quad\quad\quad = \frac{\cos ^2 x + \sin ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

設(shè)函數(shù) $y = f(u),u = \varphi (x)$ 均可導(dǎo)冀宴，則復(fù)合函數(shù) $y = f(\varphi (x))$ 的導(dǎo)數(shù)

$\frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$

由 $y = f(x)$ 可導(dǎo)，則 $f(x)$ 連續(xù)温学，則有 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$ 略贮，可推出 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta u= 0$

那么 $\Delta x \rightarrow 0$ 和 $\Delta u \rightarrow 0$ 是等效的，上式有：

$\frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

由上可得復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

設(shè)函數(shù) $y = f(u),u = \varphi (x)$ 均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) $y = f(\varphi (x))$ 也可導(dǎo)酣难，且 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 或?qū)懗? $y^\prime _x = y^\prime _u \cdot u^\prime _x$

高階導(dǎo)數(shù)

定義：如果函數(shù) $f(x)$ 的導(dǎo)數(shù) $f ^\prime (x)$ 在 $x$ 點(diǎn)處可導(dǎo)孽文，則稱 $(f ^\prime (x))^\prime$ 為函數(shù) $f(x)$ 在 $x$ 處的二階導(dǎo)數(shù)，記為： $y {^\prime}{^\prime},f {^\prime}{^\prime}(x),\frac{d^2y}{dx^2}$ 真友。

同理，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù) $f(x)$ 的三階導(dǎo)數(shù)紧帕，記為： $y {^\prime}{^\prime}{^\prime},f {^\prime}{^\prime}{^\prime}(x),\frac{d^3y}{dx^3}$ 盔然。

$n-1$ 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù) $f(x)$ 的 $n$ 階導(dǎo)數(shù)，記作： $y^{(n)},f^{(n)}(x),\frac{d^ny}{dx^n}$ 是嗜。

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)愈案。

記法說明：

$\frac{d^2y}{dx^2} = \fracrlnjnt3{dx}(\frac{dy}{dx})$
$y{^\prime}{^\prime},y{^\prime}{^\prime}{^\prime},y^{(4)},...,y^{(n)}$

偏導(dǎo)數(shù)

要學(xué)習(xí)偏導(dǎo)數(shù)，先要了解二元函數(shù)的概念

二元函數(shù)

所謂二元函數(shù)鹅搪，即因變量有兩個(gè)的函數(shù)站绪。例如圓柱體體積計(jì)算公式為 $V = \pi r^2h,\{(r,h)|r > 0, h > 0\}$
相應(yīng)的，n元函數(shù)就是有n個(gè)因變量的函數(shù)丽柿。

偏導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)函數(shù) $z = f(x,y)$ 在點(diǎn) $(x_0,y_0)$ 的某一鄰域內(nèi)有定義恢准，當(dāng) $y$ ==固定==在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 處有增量 $\Delta x$ 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有偏增量
$\Delta_x z = f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)$ ,
如果 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x}$ 存在甫题，則稱此極限為函數(shù) $z = f(x,y)$ 在點(diǎn) $(x_0,y_0)$ 處對 $x$ 的==偏導(dǎo)數(shù)==馁筐，
記為

在這里插入圖片描述

即 $\left.z_x\right|_{y = y_0}^{x = x_0} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

對 $y$ 的偏導(dǎo)數(shù)同理。

要注意的是坠非， 函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)存在敏沉，則函數(shù)在這點(diǎn)不一定連續(xù)

偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

在這里插入圖片描述

練習(xí)一下，我們來求 $z = x^2 + 3xy + y^2$ 在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

解 $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y$ , $\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y$
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 \cdot 1 + 3\cdot 2 = 8$
$\frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cdot 1 + 2\cdot 2 = 7$

注意，求偏導(dǎo)的時(shí)候盟迟，把其他因變量看成常量

微分

對于函數(shù) $y = f(x),x \rightarrow x +\Delta x$ ,
因變量增量為 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$

導(dǎo)數(shù)(變化率)有 $f^\prime (x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \Longrightarrow \Delta x \rightarrow 0,\frac{\Delta y}{\Delta x} \rightarrow f^\prime (x) \Longrightarrow |\Delta x|$ 充分小時(shí), $\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f^\prime (x)$
也就是說, $|\Delta x|$ 充分小時(shí), $\Delta y \approx f^\prime (x) \Delta x$

我們稱 $f^\prime (x) \Delta x$ 為函數(shù)的微分秋泳，記為 $dy = f^\prime (x) \Delta x$

微分的意義是因變量增量的近似值(函數(shù)變化的程度)

在這里插入圖片描述

==當(dāng) $|\Delta x|$ 充分小時(shí)， $\Delta y \approx dy$ ==

微分 $dy = f^\prime (x) \Delta x$ 攒菠， $dx = (x)^\prime \cdot \Delta x = \Delta x$
因此轮锥，微分也可以表示為 $dy = f^\prime (x) dx$
將兩邊同除 $dx$ 得：
$dy = f^\prime (x) dx \Longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = f^\prime(x)$
導(dǎo)數(shù)從微分的角度看可以表示成因變量的微分比上自變量的微分，所以導(dǎo)數(shù)還有個(gè)別名叫微商要尔。

由此也可以看出可微和可導(dǎo)是等價(jià)的舍杜，因此求微分時(shí)可以先求導(dǎo)數(shù)，再改寫為微分赵辕。

中值定理

羅爾定理

如果函數(shù) $y = f(x)$ 滿足條件

在[a,b]上連續(xù)既绩；
在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；
$f(a) = f(b)$ 还惠；

則那么至少存在一點(diǎn) $\xi (a < \xi < b)$ 饲握，使得 $f^\prime (\xi) = 0$

在這里插入圖片描述

(找不到高清圖，只有這種了蚕键， $c$ 就是 $\xi$ )

==幾何意義==：如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線救欧，且兩個(gè)端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等，那么其上至少有一點(diǎn)處的切線平行于x軸锣光。

其應(yīng)用是判斷方程根的存在性笆怠。

拉格朗日中值定理

該定理反反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。

在這里插入圖片描述

從這個(gè)函數(shù)圖形來看誊爹，是不是很像羅爾定理的圖形旋轉(zhuǎn)了一下蹬刷。并且可以看出，

c

點(diǎn)處的切線雖然不再平行于x軸频丘，但是平行于AB兩點(diǎn)的連線办成。即它們的斜率是相等的，有：

$f^\prime (\xi) = k_{AB} = \frac{f(b) - f(a)}{b -a}$

得到拉格朗日中值定理：
如果函數(shù) $y = f(x)$ 滿足條件

在[a,b]上連續(xù)搂漠；
在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)迂卢；

則那么至少存在一點(diǎn) $\xi (a < \xi < b)$ ，使得
$f^\prime (\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b -a}$ 或 $f(b) - f(a) = f^\prime (\xi) (b - a)$

==幾何意義==：如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處具有不垂直于ox軸的切線桐汤，那么其上至少有這樣一點(diǎn)存在而克，在該點(diǎn)處曲線的切線平行于連接兩端點(diǎn)的直線，即兩者斜率相同惊科。

我們來應(yīng)用一下吧拍摇，用拉格朗日中值定理證明，當(dāng) $x > 0$ 時(shí)馆截， $\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$

在這里插入圖片描述

證明構(gòu)造輔助函數(shù) $f(t) = \ln(1+t)$
$f(t)$ 在[0,x]上滿足朗格朗日中值定理的條件，那么根據(jù)定理，存在點(diǎn) $\xi(0 < \xi <x)$ 蜡娶，滿足
$f(x) - f(0) = f^\prime(\xi)(x - 0)$ ①
由于 $f(x) = \ln(1 + x)$ , $f(0) = 0$
$f^\prime(t) = \frac{1}{1+t}$

因此混卵，①式可化為 $\ln(1+x) - 0 = \frac{x}{1 + \xi}$
又因?yàn)? $(0 < \xi <x)$
$\frac{x}{1+x} < \frac{x}{1+ \xi} < \frac{x}{1+0}$ (分母越大，分?jǐn)?shù)值越小)
即 $\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$

柯西中值定理

是拉格朗日中值定理的推廣

在拉格朗日中值定理中窖张，若函數(shù)由參數(shù)方程:

$\begin{cases} X = F(x)\\ Y = f(x) \end{cases} (a \leq x \leq b,x為參數(shù))$

表示幕随，如圖所示

在這里插入圖片描述

則連接兩個(gè)端點(diǎn)A，B的直線斜率為

$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}$

而曲線在點(diǎn) $P(x=\xi)$ 處的切線T斜率為

$\frac{dY}{dX} = \frac{f^\prime(\xi)}{F^\prime(\xi)}$

則由曲線在點(diǎn)P的切線T與直線L平行可知：

$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f^\prime(\xi)}{F^\prime(\xi)}$

得到柯西中值定理：
如果函數(shù) $f(x)$ 和 $F(x)$ 滿足

在[a,b]上連續(xù)宿接；
在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)赘淮，且 $F^\prime(x)$ ≠ $0$ ;

則至少存在一點(diǎn) $\xi(a < \xi < b)$ ，使得

$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f^\prime(\xi)}{F^\prime(\xi)}$

幾何意義：曲線弧AB上至少有一點(diǎn) $P(F(\xi),f(\xi))$ 睦霎，在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.

洛必達(dá)法則

設(shè)函數(shù) $f(x)$ 梢卸， $g(x)$ 滿足：

$\lim\limits_{\Delta x \to a} f(x) = \lim\limits_{\Delta x \to a} g(x) = 0 (或\infty)$ ; (極限無窮小或無窮大)
在 $\mathring{U}(a)$ 內(nèi)， $f^\prime(x)$ 和 $g^\prime(x)$ 都存在副女，且 $g^\prime(x)$ ≠ $0$ ;
$\lim\limits_{\Delta x \to a} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} = A(A可為實(shí)數(shù)蛤高，也可以是\infty)$ ,(求導(dǎo)之后的極限存在)

則
$\lim\limits_{\Delta x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{\Delta x \to a} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} = A$

我們稱 $\frac{0}{0}$ 、 $\frac{\infty}{\infty}$ 為未定式碑幅，而洛必達(dá)法則可用于求這種未定式的極限戴陡。

泰勒展開式

推薦看這篇文章怎樣更好地理解并記憶泰勒展開式？

如果兩個(gè)連續(xù)的曲線想要相同沟涨，那么它們在某一點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)要相同恤批，二階導(dǎo)數(shù)也要相同，...裹赴，n階導(dǎo)數(shù)也要相同开皿，這是泰勒展開的核心思想。(曲線的變化率的變化率的變化率...都相同)

假設(shè)給定函數(shù) $f(x) = e^x$ ,我們想用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù) $g(x)$ 去擬合它篮昧。
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=f(x)" alt="f(x)" mathimg="1">能無限求導(dǎo) $(e^x)^\prime = e^x$ 赋荆，所以我們的擬合函數(shù)也要能無限求導(dǎo)，
所以必須要是一個(gè)無限多項(xiàng)的多項(xiàng)式：

$g(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$ ①

假設(shè) $f(x) = g(x)$ 懊昨，我們?nèi)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x%3D0" alt="x=0" mathimg="1">點(diǎn)窄潭，
$f(0)=g(0) = e^0 = 1$ 得到 $a_0 = 1$
$f^\prime(0) = g^\prime(0) = 1$
$f^{\prime\prime}(0) = g^{\prime\prime}(0) = 1$
...
$f^n(0) = g^n(0)$

我們再來看 $g^n(0)$ ，它的n階導(dǎo)數(shù)是和它的最高項(xiàng)n有關(guān)酵颁，前面的小于n項(xiàng)的n階導(dǎo)數(shù)都會(huì)變?yōu)?嫉你。

而 $(a_nx^n)$ 的n階導(dǎo)數(shù)為: $n!a_n$

也就是 $g^n(0) = n!a_n$ 得到 $a_n = \frac{f^n(0)}{n!}$

我們將 $a_n$ 帶入 ①式：
$g(x) = f(0) + \frac{f^\prime(0)}{1!}x + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^3(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^n(0)}{n!}x^n$

以上是選取 $x=0$ 點(diǎn)時(shí)的泰勒展開，一般的躏惋，我們選取 $x=a$ 點(diǎn)的泰勒展開即為：
$g(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!}(x-a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^3(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$

如何理解 $x$ 變成了 $x-a$ 了呢幽污？從 $0$ 點(diǎn)改到 $a$ 點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)圖像向右平移 $a$ 個(gè)單位簿姨，即變成了 $x-a$ (左右平移是X加或減)

得到泰勒展開式為：

在這里插入圖片描述

如果想要等式左右兩邊相等距误，光到

n

項(xiàng)是不夠的簸搞，后面還有

n+1,n+2,...

無窮多項(xiàng)，

n

后的無窮多項(xiàng)通過

R_n(x)

來表示准潭。

不定積分

原函數(shù)：在區(qū)間 $I$ 上函數(shù) $F(x)$ 可導(dǎo)趁俊， $F^\prime(x) = f(x)$ 或 $dF(x) = f(x)dx$ ，那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 在這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)刑然。

連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)

在區(qū)間 $I$ 上函數(shù) $f(x)$ 的全體原函數(shù) $F(x) + C$ 稱為 $f(x)$ 的不定積分寺擂，記為 $\int f(x)dx = F(x) + C$

不定積分是全體原函數(shù)(常數(shù) $C$ 的導(dǎo)數(shù)為0)

$\int$ 積分號(hào), $f(x)$ 被積函數(shù)， $f(x)dx$ 被積表達(dá)式泼掠， $x$ 積分變量

微分運(yùn)算與不定積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算怔软。

不定積分的性質(zhì)：

$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ ( $k$ 為常數(shù)，且不為零)

定積分

定義： $\int ^a_b f(x)dx = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$

幾何意義：曲邊圖形的面積 $S=\int ^a_b f(x)dx$

在這里插入圖片描述

當(dāng) $f(x) \geq 0$ 時(shí)择镇，積分 $\int ^a_b f(x)dx$ 在集合上表示由 $y=f(x)$ 挡逼、 $x=a$ 、 $x=b$ 及 $x$ 軸所圍成的曲邊梯形的面積沐鼠；
當(dāng) $f(x) \leq 0$ 時(shí)挚瘟，由 $y=f(x)$ 、 $x=a$ 饲梭、 $x=b$ 及 $x$ 軸所圍成的曲邊梯形位于 $x$ 軸下方乘盖，積分 $\int ^a_b f(x)dx$ 在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值；

如果 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的連續(xù)函數(shù)憔涉，并且有 $F^′(x)=f(x)$ 订框，那么
$\int ^a_b f(x)dx = F(b) - F(a)$

也就是說，一個(gè)定積分式的值兜叨，就是原函數(shù)在上限的值與原函數(shù)在下限的值的差穿扳。

函數(shù)單調(diào)性與極值

函數(shù)單調(diào)性

設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 內(nèi)可導(dǎo)，對 $\forall x \in (a,b)$

若 $f^\prime(x) > 0 \Longrightarrow f(x)$ 在 $(a,b)$ 內(nèi)單調(diào)遞增国旷；
若 $f^\prime(x) < 0 \Longrightarrow f(x)$ 在 $(a,b)$ 內(nèi)單調(diào)遞減矛物；

我們來證明第一條：
已知 $f^\prime(x) > 0，x \in (a,b)$
取 $\forall x_1,x_2 \in (a,b)$ ,設(shè) $x_1 < x_2$ ,
由拉格朗日中值定理可知跪但，存在 $\xi \in (a,b)$ 履羞，使得 $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(\xi) (x_2 - x_1)$
由已知 $f^\prime(x) > 0,x_2 - x_1 > 0$
可得 $f(x_2) > f(x_1)$
由 $x_1,x_2$ 的任意性，所以 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內(nèi)單調(diào)遞增

函數(shù)極值

設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某一鄰域 $U(x_0)$ 內(nèi)有定義屡久，對于 $\forall x \in U(x_0)$ 忆首，且 $x$ ≠ $x_0$ ，均有

$f(x) < f(x_0)$ ,稱 $f(x_0)$ 為極大值被环， $x_0$ 為極大值點(diǎn)
$f(x) > f(x_0)$ ,稱 $f(x_0)$ 為極小值糙及， $x_0$ 為極小值點(diǎn)

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)筛欢。

在這里插入圖片描述

要注意是：

極值是局部性概念
可以有多個(gè)極大值或極小值
端點(diǎn)不是極值點(diǎn)(極值只在區(qū)間內(nèi)部取得)

極值點(diǎn)處若 $f^\prime(x) = 0$ 浸锨，這樣的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)唇聘，若導(dǎo)數(shù)不存在，則稱為尖點(diǎn)

我們可以注意到揣钦，極值點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性不同雳灾，也就是導(dǎo)數(shù)符號(hào)不同漠酿，
根據(jù)這點(diǎn)冯凹，我們可以得到極值判定第一充分條件：

極值判定(極值判定第一充分條件)：
若函數(shù) $f(x)$ 可導(dǎo)， $f^\prime(x) = 0$ 炒嘲，且 $\exists \sigma > 0$ 宇姚， $\forall x \in (x_0 - \sigma , x_0)$ 有 $f^\prime(x) > 0$ (或 $f^\prime(x) < 0$ ）同時(shí)， $\forall x \in (x_0 , x_0 + \sigma )$ 有 $f^\prime(x) < 0$ (或 $f^\prime(x) > 0$ ）夫凸，則 $x_0$ 是函數(shù) $f(x)$ 的極大點(diǎn)（或極小點(diǎn)）浑劳。

在這里插入圖片描述

我們看上圖，大概

x

取-3點(diǎn)處的函數(shù)值是極大值夭拌，該點(diǎn)出的切線斜率(導(dǎo)數(shù))為0魔熏，左則切線斜率大于0，右側(cè)切線斜率小于0鸽扁。
也就是說蒜绽，一階導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞減，因此二階導(dǎo)數(shù)小于0桶现。得出極值判定第二充分條件：

極值判定(極值判定第二充分條件)：
設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 內(nèi)==二階可導(dǎo)==躲雅，且 $f^\prime(x) = 0$

若 $f^{\prime\prime}(x) < 0 \Longrightarrow f(x_0)$ 是極大值；
若 $f^{\prime\prime}(x) > 0 \Longrightarrow f(x_0)$ 是極小值骡和；
若 $f^{\prime\prime}(x) = 0$ 相赁，無法判定

曲線的凹凸與拐點(diǎn)

凹凸

設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內(nèi)可導(dǎo)：

若曲線 $f(x)$ 上任一點(diǎn)切線位于曲線的下方，則稱曲線在 $(a,b)$ 內(nèi)是凹的慰于，區(qū)間 $(a,b)$ 稱為凹區(qū)間钮科；
若曲線 $f(x)$ 上任一點(diǎn)切線位于曲線的上方，則稱曲線在 $(a,b)$ 內(nèi)是凸的婆赠，區(qū)間 $(a,b)$ 稱為凸區(qū)間绵脯；

在這里插入圖片描述

但是這是在給定了函數(shù)圖像的情況下，若沒有函數(shù)圖像页藻，我們該如何通過函數(shù)表達(dá)式來判斷呢桨嫁？

我們在曲線上去取三個(gè)點(diǎn) $x_1,x_2,x_3$ ，過這三個(gè)點(diǎn)做切線份帐，這些曲線與 $x$ 軸的夾角依次為 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$

在這里插入圖片描述

可以看到璃吧，導(dǎo)函數(shù) $f^\prime(x)$ 是單調(diào)遞增的，也就是 $f^{\prime\prime}(x) \geq 0$

同理废境，凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) $f^{\prime\prime}(x) \leq 0$

函數(shù)的凹凸性判斷
如果函數(shù) $f(x)$ 在 $(a,b)$ 具有二階導(dǎo)數(shù) $f^{\prime\prime}(x)$ ：

若在 $(a,b)$ 內(nèi) $f^{\prime\prime}(x) > 0$ 畜挨，則 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內(nèi)是凹的筒繁；
若在 $(a,b)$ 內(nèi) $f^{\prime\prime}(x) < 0$ ，則 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內(nèi)是凸的巴元；

拐點(diǎn)

定義：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)毡咏。

在這里插入圖片描述

歷經(jīng)一個(gè)月，這篇文章終于更新完了逮刨，高數(shù)知識(shí)暫時(shí)告一段落了呕缭，后面的學(xué)習(xí)過程中如果碰到了相關(guān)知識(shí)會(huì)在本文中補(bǔ)充
在人工智能中，向量修己、矩陣也很重要恢总。這些知識(shí)點(diǎn)盡在線性代數(shù)中

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引言

函數(shù)與極限

函數(shù)

函數(shù)極限

無窮小與無窮大

無窮小

無窮大

極限的四則運(yùn)算

常見函數(shù)的極限

函數(shù)連續(xù)

導(dǎo)數(shù)

可導(dǎo)和連續(xù)

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

高階導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)

二元函數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)的概念

偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

微分

中值定理

羅爾定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

洛必達(dá)法則

泰勒展開式

不定積分

定積分

函數(shù)單調(diào)性與極值

函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)極值

曲線的凹凸與拐點(diǎn)

凹凸

拐點(diǎn)

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