用解析幾何的觀點(diǎn)來討論貝特朗悖論

貝特朗悖論

1899年，法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“）：

在一給定圓內(nèi)所有的弦中任選一條弦偏序，求該弦的長度長于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率。

該問題有如下三種解法

解法一

如圖咧叭，任取一條弦葱跋，與圓心的距離d $\in$ [0,1].而當(dāng)距離小于 $\frac{1}{2}$ 時(shí)，弦長大于三角形邊長崔步。所以稳吮，概率為 $\frac{1}{2}$ 。

解法二

如圖井濒，過圓上任意一點(diǎn)做圓的切線灶似。所有以該點(diǎn)為端點(diǎn)的弦與該點(diǎn)切線的夾角大于 $60^\circ$ 小于 $120^\circ$ 時(shí)弦長大于三角形邊長。所以概率為 $\frac{1}{3}$ 瑞你。

解法三

如圖酪惭，當(dāng)弦的中點(diǎn)在陰影標(biāo)記的圓內(nèi)時(shí)，弦的長度大于三角形的邊長者甲，而大圓的弦中點(diǎn)一定在圓內(nèi)春感，大圓的面積為小圓面積的兩倍。所以概率為 $\frac{1}{4}$ 虏缸。

下面我們使用解析幾何的方法來討論三種情況

一甥厦、概率為 $\frac{1}{2}$ 的情況

直線與圓的表示

設(shè)事件A為在一給定圓內(nèi)所有的弦中任選一條弦，求該弦的長度長于圓的內(nèi)接正三角形邊長寇钉。

以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系刀疙，不妨取圓的半徑為長度“1”。

此時(shí)扫倡，可以寫出圓的方程為 $x^2+y^2=1$

平面內(nèi)任意一條直線可以表示為 $y = kx + b$

則圓心到直線的距離
$d=\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}$

直線與圓相交的情況

當(dāng)直線與圓心的距離小于1的時(shí)候谦秧，此時(shí)圓與直線相交竟纳，直線為某一條弦所在直線的方程。

即
$d=\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}\le1$

兩邊同時(shí)平方疚鲤，經(jīng)過移項(xiàng)整理即可得 $b^2-k^2\le1$

建立 $bok$ 坐標(biāo)系

建立一個(gè)直角坐標(biāo)系锥累，橫軸為 $b$ 軸，縱軸為 $k$ 軸

這平面上一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng) $xoy$ 平面上的一條直線集歇，

這個(gè)平面上一條直線對(duì)應(yīng) $xoy$ 平面上一條定點(diǎn)直線系（即過一定點(diǎn)的所有直線組成的集合）

特別的桶略，有 $b-k$ 平面上一條水平直線對(duì)應(yīng)了一個(gè)平行直線系（即斜率相等的所有直線組成的集合）

則 $b^2-k^2\le1$
表示 $b-k$ 平面（參數(shù)平面）上的一個(gè)被雙曲線包圍的區(qū)域,如下圖紅色曲線中間區(qū)域所示

2020-04-14_140002.png

弦長大于三角形邊長的情況

以下簡稱 ”弦長大于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ “ 為 “弦長條件”

當(dāng)直線與圓心的距離小于 $\frac{1}{2}$ 的時(shí)候，滿足弦長條件

即
$d=\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}\le\frac{1}{2}$

兩邊同時(shí)平方诲宇，經(jīng)過移項(xiàng)整理即可得 $4b^2-k^2\le1$

同樣表示一個(gè)被雙曲線包圍的區(qū)域,如下圖綠色曲線中間區(qū)域所示

2020-05-13_132751.png

matlab 繪圖代碼
fimplicit(@(x,y) x.^2 - y.^2 - 1,'r')
hold on
fimplicit(@(x,y) x.^2 - y.^2/4 - 1/4,'g')
grid on
hold off

概率的計(jì)算

由于對(duì)稱性际歼，僅考慮第一象限內(nèi)的情況

則

$P(A) = \frac{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}\sqrt{1+k^2}}{\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+k^2}}=\frac {1}{2}\lim_{x \to +\infty}\frac{\int_{0}^{x}\sqrt{1+k^2}}{\int_{0}^{x}\sqrt{1+k^2}} = \frac {1}{2}$

上述過程有一個(gè)小瑕疵，就是直線方程不能表示斜率不存在的直線姑蓝，不影響最后的結(jié)果鹅心。

設(shè)在所有與圓相交的直線中，斜率不存在的直線滿足弦長條件的概率為 $\varepsilon>0$

由實(shí)數(shù)的阿基米德性可知纺荧， $\exists N>0$ ,使得 $N\varepsilon>1$

斜率不是直線本身的屬性旭愧，而是由坐標(biāo)系”賦予“的。

那么可以任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 $N$ 次宙暇，使得 $N$ 個(gè)平行直線系的斜率在每一個(gè)特定的坐標(biāo)系下都不存在

又由這N個(gè)直線系滿足弦長條件是互斥的输枯，他們的和事件的概率為 $N\varepsilon>1$

與定義矛盾，所以 $\varepsilon = 0$ (但是仍然可能發(fā)生)

事實(shí)上占贫，在平面內(nèi)任取一條直線用押，其斜率不存在的概率為0
所以，無論是與圓相交的直線還是滿足弦長條件的直線靶剑，在這兩個(gè)直線系里面排除斜率不存在不會(huì)影響最終的結(jié)果蜻拨。

使用直線的一般方程

另外一個(gè)思路就是可以用直線的一般方程來描述直線

即 $ax + by + c = 0$

類似的建立空間直角坐標(biāo)系abc

那么直線與圓相交可表示為
$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\le1$
即
$c^2\le a^2+b^2$

直線滿足弦長條件可表示為
$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\le\frac{1}{2}$
即
${c^2\le\frac{a^2+b^2}{4}}$
以上兩個(gè)方程表示空間中一區(qū)域，其邊界為圓錐面桩引，如下圖所示

2020-03-29_224632.png

橙色表示 $c^2\le a^2+b^2$ 缎讼，藍(lán)色表示 ${c^2\le\frac{a^2+b^2}{4}}$ ，使用Solidworks繪制

2020-03-29_223901.png

空間中區(qū)域剖面坑匠，此圖形關(guān)于 $aob$ 平面對(duì)稱血崭，可以想象為一個(gè)圓柱去掉一個(gè)圓錐的剩余部分

由兩個(gè)曲面方程
$\left\{ \begin{aligned} a^2_1+b^2_1=c^2_2,\\ a^2_2+b^2_2=4c^2_2. \end{aligned} \right.$

當(dāng) $a^2_1+b^2_1=a^2_2+b^2_2 = \lambda$ 時(shí)，有 $2c_2=c_1$
即當(dāng)?shù)酌娣e一定時(shí)厘灼， $H_橙=2H_藍(lán)$

又由體積公式 $V=\frac{2}{3}SH$ (圓柱體積減去圓錐體積)

得 $V_橙=2V_藍(lán)$

對(duì) $\lambda$ 取極限到正無窮夹纫，一樣可以得到 $P(A)= \frac{1}{2}$ 的結(jié)果

但是直線一般方程有一隱含條件，即a與b不能同時(shí)為0设凹，

也就是說c軸上的點(diǎn)不能對(duì)應(yīng)一條直線

二舰讹、概率為 $\frac{1}{3}$ 的情況

任選圓周上一點(diǎn)，過此點(diǎn)做切線闪朱。

取切點(diǎn)做原點(diǎn)月匣，切線為極軸钻洒，正方向取為圓在切線左側(cè)時(shí)的方向。

此時(shí)圓的極坐標(biāo)方程可寫為 $\rho=2sin(\theta)$

2020-04-14_142033.png

matlab 繪圖代碼
theta = linspace(0,pi);
rho = 2*sin(theta);
polarplot(theta,rho)

當(dāng) $\rho\ge\sqrt{3}$ 時(shí)锄开， $\frac{2\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3}$

則 $P(A)=\frac{1}{3}$

三素标、概率為 $\frac{1}{4}$ 的情況

任取一條弦，其方程為 $y =kx+b$ （斜率存在）

圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn) $（x_1,y_1）（x_2,y_2）$ ,交點(diǎn)同時(shí)滿足圓方程

$\left\{ \begin{aligned} x^2_1+y^2_1=1&&(1)\\ x^2_2+y^2_2=1&&(2) \end{aligned} \right.$

使用點(diǎn)差法萍悴，將（1）式減（2）式头遭，得
$(x_1+x_2)(x_1-x_2)+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$

移項(xiàng)得
$\frac{(x_1+x_2)}{2}+\frac{(y_1+y_2)}{2}\frac{(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)}=0$

設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為 $（x_0,y_0）$ 則
$x_0+ky_0=0$
聯(lián)立直線方程，解得
$\left\{ \begin{aligned} x_0=-\frac癣诱{2k}&&\\ y_0=\frac计维{2}&& \end{aligned} \right.$
距離圓心的距離可表示為
$d=\sqrt{\frac{b^2+b^2k^2}{4k^2}}$

如果 $d\le1$ ,則直線與圓相交

對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方可得

$\frac{b^2}{4k^2}+\frac{b^2}{4}\le1$

做變量替換

$\left\{ \begin{aligned} m=-\frac{2k}&&\\ n=\frac狡刘{2}&& \end{aligned} \right.$

方程化為
$m^2+n^2\le1$

若 $d\le\frac{1}{2}$ ,則滿足弦長條件

同樣對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方可得

$\frac{b^2}{4k^2}+\frac{b^2}{4}\le\frac{1}{4}$

做變量替換

$\left\{ \begin{aligned} m=-\frac享潜{2k}&&\\ n=\frac困鸥{2}&& \end{aligned} \right.$

方程化為
$m^2+n^2\le\frac{1}{4}$

則 $P(A)$ 為兩圓面積之比嗅蔬，即為 $\frac{1}{4}$

四、小結(jié)

三種解法用解析幾何的語言重新描述了一遍疾就，答案的不同本質(zhì)上是對(duì)直線均勻的刻畫不同澜术。第一種是直線到圓心的距離是均勻的，第二種是夾角是均勻的猬腰，第三種是中點(diǎn)到圓心的距離是均勻的鸟废。從表達(dá)式中可以看出，三種方法的參數(shù)之間存在函數(shù)關(guān)系姑荷，并且是非線性盒延。例如， $tan(\theta)=k$ .如果適當(dāng)選取參數(shù)的函數(shù)鼠冕，并賦予其意義添寺，或許可得許多不同于以上三種的答案。限于本人水平有限懈费，文章之中多有謬誤计露，還望不吝賜教。

最后編輯于：2020.05.13 13:29:51

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