CGAffineTransform.h類的學(xué)習(xí)和原理講解

第一次寫ios相關(guān)技術(shù)博客旬薯，所以先寫個(gè)簡(jiǎn)單的，寫的不好大家多多提意見适秩。
想學(xué)好這個(gè)類绊序，我感覺最好還是從理論上弄明白什么二維圖形到底是怎么變換的。

矩陣及其運(yùn)算

一．?dāng)?shù)學(xué)概念

定義1.1 由!

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個(gè)數(shù)

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排成m行n列的數(shù)表

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稱為m行n列的矩陣隶症，簡(jiǎn)稱 矩陣政模，記作

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二．原理，公式和法則

1．矩陣的加法
(1) 公式

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(2) 運(yùn)算律

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2．?dāng)?shù)乘矩陣
(1) 公式

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(2) 運(yùn)算律

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3．矩陣與矩陣相乘

(1) 設(shè)

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, 則

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,其中

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蚂会，且

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（2）　運(yùn)算符(假設(shè)運(yùn)算都是可行的)：

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(3)　方陣的運(yùn)算

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注意：①矩陣乘法一般不滿足交換律淋样。

②一般

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4.矩陣的轉(zhuǎn)置
(1)　公式

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(2)　運(yùn)算律

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!

5.方陣的行列式

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6.共軛矩陣

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上面一定要看懂矩陣的乘法是怎么運(yùn)算的才行。

數(shù)學(xué)原理

1胁住、基本幾何變換及變換矩陣

基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換趁猴，有平移、比例彪见、旋轉(zhuǎn)儡司、反射和錯(cuò)切等

1.1 平移變換

是指將p點(diǎn)沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位過(guò)程。他是一種不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換（rigid-body transformation）余指，如下圖所示捕犬。

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推導(dǎo)：

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    解釋(個(gè)人理解)
    x'=x+Tx  相當(dāng)于x'= x*1 + y*0 +  1 * Tx
    y'=y+Ty  相當(dāng)于y'= x*0 + y*1 +  1 * Ty
    
    所以 A 矩陣  [x  y 1]
         C 矩陣要和A矩陣格式一樣 [x' y' 1]
        c矩陣的1 怎么來(lái)。只能添加一行了
        
        1=x*0+y*0+ 1*1
        
所以b矩陣為 上面如圖

1.2 縮放變換
縮放變換是指對(duì)p點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿x方向放縮Sx倍酵镜，沿y方向放縮Sy倍碉碉。其中Sx和Sy稱為縮放系數(shù)。

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推導(dǎo)：

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矩陣

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x'=x*Sx+y*0 + 0*0;
y'=x*0 +y *Sy+0*0;
0=x*0+y*0+0*1;

縮放變換可改變物體的大小淮韭，如下圖所示垢粮。當(dāng)Sx=Sy >1時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向等比例放大靠粪；當(dāng)Sx=Sy<1蜡吧，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向等比例縮小占键；當(dāng)Sx≠Sy昔善，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向作非均勻的比例變換。

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1.3 旋轉(zhuǎn)變換

二維旋轉(zhuǎn)是指將p點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度（逆時(shí)針為正捞慌，順時(shí)針為負(fù)）得到新的點(diǎn)p’的重定位過(guò)程耀鸦。

[圖片上傳失敗...(image-cbfe81-1535962641767)]

推導(dǎo)：利用極坐標(biāo)方程

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逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角的矩陣如下：

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1.4 對(duì)稱變換

對(duì)稱變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點(diǎn)的鏡像。

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(1)關(guān)于x軸對(duì)稱

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x'=x*1+y*0+0*0;
y'=x*0+y*(-1)+0*0;
0=x*0+y*0+0*1;

(2)關(guān)于y軸對(duì)稱

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(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

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(4)關(guān)于y=x軸對(duì)稱

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(5)關(guān)于y=-x軸對(duì)稱

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1.5 錯(cuò)切變換

錯(cuò)切變換也稱為剪切、錯(cuò)位變換袖订，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理氮帐。

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錯(cuò)切變換的變換矩陣為：

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(1)沿x方向錯(cuò)切：b=0
(2)沿y方向錯(cuò)切：c=0
(3)兩個(gè)方向錯(cuò)切：b和c都不等于0。

2洛姑、 復(fù)合變換

如果圖形要做一次以上的幾何變換上沐，那么可以將各個(gè)變換矩陣綜合起來(lái)進(jìn)行一步到位的變換。復(fù)合變換有如下的性質(zhì)：

1）復(fù)合平移

對(duì)同一圖形做兩次平移相當(dāng)于將兩次的平移兩加起來(lái)：

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2）復(fù)合縮放

兩次連續(xù)的縮放相當(dāng)于將縮放操作相乘：

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3）復(fù)合旋轉(zhuǎn)

兩次連續(xù)的旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于將兩次的旋轉(zhuǎn)角度相加：

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縮放楞艾、旋轉(zhuǎn)變換都與參考點(diǎn)有關(guān)参咙，上面進(jìn)行的各種變換都是以原點(diǎn)為參考點(diǎn)的。如果相對(duì)某個(gè)一般的參考點(diǎn)（xf硫眯，yf）作縮放蕴侧、旋轉(zhuǎn)變換，相當(dāng)于將該點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處两入，然后進(jìn)行縮放净宵、旋轉(zhuǎn)變換，最后將（xf裹纳，yf）點(diǎn)移回原來(lái)的位置择葡。

4）關(guān)于（xf，yf）點(diǎn)的縮放變換

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5）繞（xf剃氧，yf）點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換

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3敏储、二維圖形幾何變換的計(jì)算

幾何變換均可表示成P’=P*T的形式

(1)點(diǎn)的變換：先將點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)形式，再乘以變換矩陣朋鞍。

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(2)直線的變換：將直線的兩個(gè)端點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)形式已添，再乘以變換矩陣。

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(3)多邊形的變換：將多邊形的頂點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)形式滥酥，再乘以變換矩陣酝碳。

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(4)曲線的變換：將曲線的每個(gè)點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)形式，再乘以變換矩陣恨狈。

4、復(fù)合變換的矩陣點(diǎn)乘的先后問(wèn)題

1)如果采用以下方式計(jì)算幾何變換的變換矩陣

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如上范例所示呛讲，其先執(zhí)行變換的矩陣放在前面禾怠，后執(zhí)行變換的矩陣放在后面。

2)如果采用以下方式計(jì)算幾何變換的變換矩陣：

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如上范例所示贝搁，其先執(zhí)行變換的矩陣放在后面吗氏，后執(zhí)行變換的矩陣放在前面。

這是因?yàn)榫仃嚨奶匦裕?div id="f15drrb" class="image-package">

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CGAffineTransform.h 函數(shù)介紹

說(shuō)了半天雷逆，不來(lái)點(diǎn)代碼怎么行弦讽。

在CGAffineTransform.h 文件中

typedef struct CGAffineTransform CGAffineTransform;

struct CGAffineTransform {
    CGFloat a, b, c, d;
     CGFloat tx, ty;
};

矩陣數(shù)學(xué)模型是[a  b]
             c  d
            tx  ty
省略了  [a  b  0]  中的最后一列
        c  d  0
        tx ty 1

函數(shù)介紹代碼

///獲取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)矩陣。沒(méi)有變化的矩陣
CGAffineTransform transform=  CGAffineTransformIdentity;
NSLog(@"CGAffineTransformIdentity 數(shù)值%@" ,   NSStringFromCGAffineTransform(transform));

///獲取一個(gè)變幻矩陣 這個(gè)函數(shù)可以平移旋轉(zhuǎn)和縮放
/* Return the transform [ a b c d tx ty ]. */

transform= CGAffineTransformMake(a, b, c, d,x,y);

///獲取一個(gè)只做平移的矩陣
//        t' = [ 1 0 0 1 tx ty ]

transform= CGAffineTransformMakeTranslation(x, y);

///獲取一個(gè)縮放矩陣
//         t' = [ sx 0 0 sy 0 0 ] 

transform= CGAffineTransformMakeScale(a,c);

//獲取一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣
/* Return a transform which rotates by `angle' radians:
 t' = [ cos(angle) sin(angle) -sin(angle) cos(angle) 0 0 ] */

transform= CGAffineTransformMakeRotation(3);

///驗(yàn)證是否是標(biāo)準(zhǔn)矩陣

BOOL isTrue = CGAffineTransformIsIdentity(transform);

///這個(gè)是矩陣之間的換算了
/* Translate `t' by `(tx, ty)' and return the result:
 t' = [ 1 0 0 1 tx ty ] * t */
/// 說(shuō)的很明確 用只有平移的矩陣和 t 矩陣相乘 t*t' 意思是在t'的基礎(chǔ)上做t 變幻（例如平移旋轉(zhuǎn)等等）
transform=   CGAffineTransformTranslate(transform,x,y);

///矩陣先縮放再transform
/* Scale `t' by `(sx, sy)' and return the result:
 t' = [ sx 0 0 sy 0 0 ] * t */

transform= CGAffineTransformScale(transform,a,c);

///矩陣先旋轉(zhuǎn)再transform
/* Rotate `t' by `angle' radians and return the result:
 t' =  [ cos(angle) sin(angle) -sin(angle) cos(angle) 0 0 ] * t */
transform = CGAffineTransformRotate(transform,3);


NSLog(@"CGAffineTransformInvert前 數(shù)值%@" , NSStringFromCGAffineTransform(transform));
/// 獲取 反轉(zhuǎn)矩陣  看不出效果。做圖看看  可以仔細(xì)研究下
///我看著就是沿著y軸做了一個(gè)對(duì)稱變換 （不見得對(duì)）
transform =   CGAffineTransformInvert(transform);
NSLog(@"CGAffineTransformInvert后 數(shù)值%@" , NSStringFromCGAffineTransform(transform));


///矩陣相乘
/* Concatenate `t2' to `t1' and return the result:
 t' = t1 * t2 */

transform = CGAffineTransformConcat(transform,transform);

///判斷兩個(gè)矩陣是否相等
/* Return true if `t1' and `t2' are equal, false otherwise. */
isTrue =CGAffineTransformEqualToTransform(transform,transform);

///獲取一個(gè)點(diǎn)矩陣變幻另一個(gè)點(diǎn)的位置
/* Transform `point' by `t' and return the result:
 p' = p * t
 where p = [ x y 1 ]. */

CGPoint point= CGPointApplyAffineTransform(CGPointMake(30, 30), transform);

///獲取一個(gè)矩形矩形變換的大小
/* Transform `size' by `t' and return the result:
 s' = s * t
 where s = [ width height 0 ]. */
CGSize size= CGSizeApplyAffineTransform(CGSizeMake(30, 30),transform);

///獲取矩形位置變幻后的位置
 CGRect rect=CGRectApplyAffineTransform(CGRectMake(0, 0, 30, 30),transform);

項(xiàng)目中有每個(gè)函數(shù)的具體用法往产。

transformNew.gif

項(xiàng)目托管在github

參考文章：

矩陣定義

變換原理

蘋果官方文檔