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1. ?斜面坐標(biāo)
斜面坐標(biāo)是一種三維的歐幾里合坐標(biāo)晨仑，空間中每一個點的局域坐標(biāo)都可以被1對1的轉(zhuǎn)化成簡單的直角坐標(biāo)褐墅，因此其任意一點處，局域的坐標(biāo)基矢之間都是垂直的洪己。斜面坐標(biāo)系是法國數(shù)學(xué)家Láme 命名妥凳，因為在此坐標(biāo)系下，各坐標(biāo)獨立移動形成的面是曲面答捕。物理中最重要的三種斜面坐標(biāo)分別是：直角坐標(biāo)系猾封，球面坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系。他們分別應(yīng)用于不同種類的對稱性問題中噪珊，他們的解是不同對稱性條件下的基。
在任意的斜面坐標(biāo)系中齐莲，空間最基本的幾何元素痢站，線段元，都可以被如下表征：
上式中选酗，x1,x2,x3就是局域定義的垂直基矢阵难，而h1,h2,h3則是長度量綱系數(shù)。一個簡單的例子是直角坐標(biāo)下芒填，基矢的選擇就是位移長度本身呜叫，因此h1,h2,h3均為1。而如果在球面坐標(biāo)下殿衰，除了徑向位移r是長度本身以外朱庆，極角theta和方位角phi 本身并不是長度，而是角度闷祥。因此線段元系數(shù)h2, h3不是1, 而是弧長度系數(shù) r 和 r*sin(theta)娱颊。
柱面坐標(biāo)下的線段元表示留作練習(xí)。
2. ?散度和旋度
2.1 散度
散度是一種被定義為測量矢量場某點領(lǐng)域里單位體積內(nèi)場線出入的多少凯砍。如果場線凈出箱硕，則該點存在源；如果場線凈入悟衩，則存在漏（sink）剧罩。為了這樣的度量目的，我們定義某點的散度為如上式座泳，用第二類面積分來度量惠昔。
這里幕与，da是帶方向的，包圍體積dV的面積元舰罚，方向和面積垂直纽门，指向體積外側(cè)，用于區(qū)別場線流動的方向和強度营罢。
不難得出斜面坐標(biāo)系下某點處體積元的表征赏陵。對于定義中的面積分，我們將其投影到三個坐標(biāo)基方向中饲漾，對各個分量進(jìn)行計算蝙搔。相對面的場線凈出入可以由上式得出。我們選擇面為和x1-x2平行的一對考传。我們只要計算場F在x3上的投影吃型，再乘以面面積(h1h2)dx1dx2，最后對其做對x3方向的偏微分再乘以h3dx3僚楞，就能知道前后兩面的場流出入的差值了勤晚。正方向的定義已經(jīng)包含在微分的減法符號之中。在計算過程中泉褐，我們注意h1,h2,h3這些長度量綱系數(shù)的引入赐写，這些系數(shù)本身也是坐標(biāo)的函數(shù)，因此對他們的微分要倍加小心膜赃。正是他們的存在使得斜面坐標(biāo)系的散度表達(dá)式并不簡單挺邀。
就用這個辦法，我們不難得出散度在斜面坐標(biāo)系下的一般表示跳座。此外端铛，再結(jié)合顯而易見的梯度的定義，我們就能得到拉普拉斯算子在斜面坐標(biāo)下的表示了疲眷。拉普拉斯算子在計算量子力學(xué)以及電磁場理論中都有重要應(yīng)用：
作為一個例子禾蚕，我們計算一下球面坐標(biāo)下的拉普拉斯算子（得到結(jié)果如上）。其后的角度微分項在薛定鍔方稱中狂丝，代表轉(zhuǎn)動角動能夕膀。
2.2 旋度
和散度一樣，旋度也是一種被定義來度量矢量場的一種計算美侦。旋度用來測量矢量在某點領(lǐng)域內(nèi)的一個單位面積的邊界上所做轉(zhuǎn)的“圈數(shù)”产舞。因此他用第二類線積分來衡量。其定義如上式菠剩。
為了確定三維空間中單位面積的朝向易猫，我們需要給每一個面積元指定一個垂直于其表面的方向。而且具壮，場在面積邊界旋轉(zhuǎn)的方向和面積朝向滿足右手法則規(guī)定的正負(fù)關(guān)系准颓。
我們把任意的面積按照朝向分解投影到基矢方向上哈蝇，然后對每一個朝向做旋度計算。這個計算過程和散度十分相似攘已，但需要注意炮赦，偏微分的符號有時候并不和規(guī)定的正方向一致，因此我們會需要引入一個符號样勃。我們只需要小心核對右手定則就能得到正確的答案吠勘。將所有分量按照方向矢量相加，我們就得到了旋度的一般表達(dá)式峡眶。和散度一樣剧防，我們要注意h1, h2, h3這些量綱系數(shù)的微分和位置。
如果我們注意到表達(dá)式中正負(fù)號和levi-civita的關(guān)系辫樱，我們就能簡化上面的旋度算式峭拘，讓她變的更象一個叉乘：
這樣一個旋度的表達(dá)式就寫成了和叉乘一樣的行列式的表達(dá)式了。這也是為什么旋度使用叉乘符號的一個原因狮暑。實際上散度使用點乘的原因也是如此鸡挠。
最后，我們在球面坐標(biāo)系下演練我們的旋度公式搬男。注意表達(dá)式是相當(dāng)復(fù)雜的拣展。
本來，這篇日志打算復(fù)習(xí)一下比較重要的矢量微積分中的等式止后，例如bac-cab等式和函數(shù)乘法后的散度，旋度溜腐，以及散度積分的推廣译株，旋度積分等。因為本人時間有限挺益，留給大家去查閱jackson電動力學(xué)的前頁歉糜。此外，本文有一些插圖望众，時間和能力原因匪补，也沒有做成。希望讀者能發(fā)揮想象烂翰，自己看懂夯缺。
2012年6月
Bo
