16. 地下水運動數(shù)學(xué)模型的 Laplace 變換解法

Laplace 變換法是將含有初始條件與邊界件變換為常微分方程的邊值問題茴扁，是一種求解偏微分問題的數(shù)學(xué)變換方法藻糖。

以下內(nèi)容源自地下水動力學(xué)課程的補充材料娶视。

地下水運動數(shù)學(xué)模型的 Laplace 變換解法

F1. Laplace 變換簡介

Laplace 變換定義

設(shè)函數(shù) $f(t)$ 是定義在 $(0,\infty)$ 上的實值函數(shù)，如果對于復(fù)參數(shù) $p=\beta+j\omega$ 购啄，積分 $F(p)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}\mathrmfgufus7t$ 在復(fù)平面 $p$ 的某一區(qū)域內(nèi)收斂昆庇，則稱 $F(p)$ 為 $f(t)$ 的 Laplace 變換，記為

$F(p)=\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}\mathrm7eppec7t$

相應(yīng)地闸溃，稱 $f(t)$ 為 $F(p)$ 的 Laplace 逆變換，記為

$f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(p)\}$

簡單函數(shù)的 Laplace 變換

$\begin{array}{ll} (1)& \mathscr{L}\{1\} &= \int_0^{+\infty}e^{-pt}\mathrmw2loof8t = -\left.\frac{1}{p}e^{-pt}\right|_0^{+\infty}=\frac{1}{p} \\ (2)& \mathscr{L}\{e^{at}\} &= \int_0^{+\infty}e^{at}e^{-pt}\mathrm3jujjhit =\left.\frac{1}{a-p}e^{(a-p)t}\right|_0^{+\infty}=\frac{1}{p-a},\quad(p>a)\\ (3)& \mathscr{L}\{\sin(at)\} &= \int_0^\infty\sin(at)e^{-pt}\mathrmtplllnlt =-\frac{e^{-pt}}{p^2+a^2}\left[p\sin(at)+a\cos(at)\right]_0^\infty \\ & & =\frac{a}{p^2+a^2},\quad (p>0)\\ (4)& \mathscr{L}\{\cos(at)\} & =\int_0^\infty\cos(at)e^{-pt}\mathrmksnccpgt =\frac{e^{-pt}}{p^2+a^2}\left[-p\cos(at)+a\sin(at)\right]_0^\infty \\ &&=\frac{p}{p^2+a^2},\qquad (p>0) \\ (5)& \mathscr{L}\{t^n\} &= \int_0^\infty t^ne^{-pt}\mathrm2ujyxokt = -n!e^{-pt}\sum_{m=0}^n \left. \frac{t^{n-m}}{(n-m)!p^{m+1}}\right|_0^\infty\\ &&=\frac{n!}{p^{n+1}},\quad (p>0) \end{array}$

特殊函數(shù)的 Laplace 變換

Heaviside 階躍函數(shù) (Heaviside step function)：

$H(t)=\begin{cases} 0& for\quad t<0\\ 1& for\quad t \ge 0\end{cases}$

Laplace變換：

$\mathscr{L}\{H(t-t_0)\}=\frac{1}{p}\exp(-pt_0),\quad s>0$

$\delta$ 函數(shù) (Dirac Delta function) 或脈沖函數(shù) (Impulse function)：

$\delta(t)=\begin{cases} 0 & for\quad|t|>0 \\ \infty & for\quad t =0 \end{cases},\quad\int_{-\varepsilon}^\varepsilon\delta(t)\mathrm2miiwget=1$

也可表示為

$\delta(t)=\begin{cases} 0 & for\quad|t|>\varepsilon \\ \frac{1}{2\varepsilon} & for\quad |t| \le\varepsilon \end{cases}, \quad \varepsilon\to 0$

$\delta$ 函數(shù)性質(zhì):

$\int_{-\infty}^\infty\delta(t) f(t)\mathrm6odkobot=f(0)$

Laplace 變換:

$\begin{align*} \mathscr{L}\{\delta(t-t_0)\} & = \int_0^\infty \delta(t-t_0)e^{-pt}\mathrmtqqbagxt = \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon} \frac{e^{-pt}}{2\varepsilon}\mathrmkccycavt \\ & =\lim_{\varepsilon\to 0} \frac{e^{-p(t_0-\varepsilon)}-e^{-p(t_0+\varepsilon)}}{2p\varepsilon} =e^{-pt_0} \end{align*}$

即

$\mathscr{L}\{\delta(t-t_0)\}= \exp(-pt_0)$

Laplace 變換存在定理

設(shè)函數(shù) $f(t)(t\geq0)$ 滿足：

在任何有限區(qū)間上分段連續(xù)拱撵；
即存在常數(shù) $c$ 及 $M>0$ 辉川，使得 $|f(t)|\leq Me^{ct}$ 。

則象函數(shù) $F(p)$ 在半平面 $\mathrm{Re} p>c$ 上一定存在且解析拴测。

Laplace 變換性質(zhì)
設(shè)

$F(p)=\mathscr{L}\{f(t)\}.\quad G(p)=\mathscr{L}\{g(t)\}$

線性性質(zhì)

設(shè) $a,b$ 為常數(shù)乓旗，則有

$\mathscr{L}\{af(t)+bg(t)\}=aF(p)+bG(p)$

$\mathscr{L}^{-1}\{aF(p)+bG(p)\}=af(t)+bg(t)$

相似性質(zhì)

設(shè) $a$ 為任一正實數(shù)，則

$\mathscr{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{p}{a}\right)$

$\mathscr{L}^{-1}\{F(ap)\}=\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)$

延遲性質(zhì)

設(shè) $t<0$ 時集索， $f(t)=0$ 屿愚，則對任一非負實數(shù) $\tau$ 有

$\mathscr{L}\{H(t-\tau)f(t-\tau)\}=e^{-p\tau}F(p)$

位移性質(zhì)

設(shè) $a$ 為任一復(fù)常數(shù)，則

$\mathscr{L}\{e^{at}f(t)\}=F(p-a)$

$\mathscr{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(p+a)$

微分性質(zhì)

$\begin{align*} \mathscr{L}\{f'(t)\}&=pF(p)-f(0)\\ \mathscr{L}\{f^{(n)}(t)\}&=p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\\ F'(p)&=-\mathscr{L}\{tf(t)\}\\ F^{(n)}(p)&=(-1)^n\mathscr{L}\{t^nf(t)\} \end{align*}$

積分性質(zhì)

$\begin{align*} \mathscr{L}\left\{\int_0^tf(t)\mathrmsvvzzb2t\right\}&=\frac{1}{p}F(p)\\ \mathscr{L}\left\{\frac{1}{t}f(t)\right\}&=\int_p^\infty F(p)\mathrm2tpplu2p \end{align*}$

設(shè)函數(shù)滿足： $t<0$ 時 $f_1(t)=f_2(t)=0$ 务荆，則定義卷積如下：

$\begin{align*} f_1(t)*f_2(t)& =\int_0^tf_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrmsgcnjpr\tau\\ &=\int_0^tf_1(t-\tau)f_2(\tau)\mathrmszzoo2g\tau \end{align*}$

由上式給出的卷積滿足交換律妆距、結(jié)合律及分配律等性質(zhì)。

卷積定理

$\mathscr{L}\{f_1(t)*f_2(t)\}=F_1(p)\cdot F_2(p)$

Laplace 變換與逆變換簡表

序號	$f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(p)\}$	$F(p)=\mathscr{L}\{f(t)\}$
(1)	$1$	$\frac{1}{p}$
(2)	$H(t-t_0)$	$\frac{1}{p}\exp(-pt_0)$
(3)	$\delta(t-t_0)$	$\exp(-pt_0)$
(4)	$t$	$\frac{1}{p^2}$
(5)	$t^\alpha$	$\frac{\Gamma(\alpha+1)}{p^{\alpha+1}}$
(6)	$\exp(\alpha t)$	$\frac{1}{p-\alpha}$
(7)	$t^n\exp(\alpha t)$	$\frac{n!}{(p-\alpha)^{n+1}}$
(8)	$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$	$\frac{1}{\sqrt{p}}$
(9)	$2\sqrt{\frac{t}{\pi}}$	$p^{-3/2}$
(10)	$\frac{1}{2\sqrt{\pi t^3}}\exp\left(-\frac{1}{4t}\right)$	$\exp(-\sqrt{p})$
(11)	$\mathrm{erfc}\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)$	$\frac{1}{p}\exp(-\sqrt{p})$
(12)	$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\exp\left(-\frac{1}{4t}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{p}}\exp(-\sqrt{p})$
(13)	$2\sqrt{\frac{t}{\pi}}\exp(-\frac{1}{4t})-\mathrm{erfc}(\frac{1}{2\sqrt{t}})$	$p^{-\frac{3}{2}}\exp(-\sqrt{p})$
(14)	$t\exp(-t)$	$\frac{1}{(p+1)^2}$
(15)	$\frac{1}{t}\exp(-\frac{1}{t})$	$2K_0(2\sqrt{p})$
(16)	$E_1(\frac{1}{t})$	$\frac{2}{p}K_0(2\sqrt{p})$
(17)	$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(2\sqrt{t})$	$p^{-\frac{3}{2}}\exp(\frac{1}{p})$
(18)	$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(2\sqrt{t})$	$p^{-\frac{1}{2}}\exp(\frac{1}{p})$
(19)	$-\gamma -\ln t$	$(\ln p)/p$

表中： $H(t)$ — 單位階躍函數(shù)函匕； $\delta(t)$ — 單位階躍函數(shù)娱据； $\mathrm{erf}\,(t)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^t\exp(-y^2)\,\mathrmzld32owy$ — 誤差函數(shù)； $\mathrm{erfc}(t)=1-\mathrm{erf}(t)=\frac{2}{\sqrt \pi}\int_t^\infty\exp(-y^2)\,\mathrm7ynbbz8y$ — 余誤差函數(shù)盅惜； $K_0$ — 第二類零階修正 Bessel 函數(shù)中剩； $E_1(t)=\int_t^{\infty}\frac{1}{y}\exp(-y)\,\mathrmwddvvmzy$ — 指數(shù)積分忌穿； $\gamma = 0.577\,215\,6649 \cdots$ — 歐拉常數(shù).

Laplace 變換法是將含有初始條件與邊界件變換位常微分方程的邊值問題，是一種求解特殊井流問題的數(shù)學(xué)變換方法结啼。

F2. Laplace變換法求解地下水運動數(shù)學(xué)模型

利用性質(zhì) $\mathscr{L}\{f'(t)\}=pF(p)-f(0)$ 掠剑，消除變量對 t 的導(dǎo)數(shù)，將含有初始條件與邊界條件的問題變換為常微分方程的邊值問題郊愧。

1 維問題（ $\mathrm{I-1}$ ）：

$\left\{ \begin{array}{l} a \frac{\partial^2s}{\partial x^2} = \frac{\partial s}{\partial t} \\ \mathrm{IC:}s(x,0)=0 \\ \mathrm{BC:}s(0,t)=H \\ \mathrm{BC:}s(\infty ,t)=0 \\ \end{array} \right.$

對方程做 Laplace 變換朴译，記：

$\overline{s}(x,p)=\mathscr{L}\{s(x,t)\}=\int_0^\infty s(x,t)\exp(-pt)\mathrmnk8uf82t$

有

$a\frac{\mathrmifyeehm^2\overline{s}(x,p)}{\mathrm2hwapn7x^2}=p\overline{s}(x,p)-s(x,0)=p\overline{s}(x,p)$

上述方程的通解為

$\overline{s}(x,p)=C_1\exp\left(\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)+C_2\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)$

對邊界條件做 Laplace 變換：

$\left\{\begin{array}{l} \overline{s}(\infty,p)=0\\ \overline{s}(0,p)=\frac{H}{p}\\ \end{array}\right.$

根據(jù)邊界條件，有 $C_1=0,C_2=\dfrac{H}{p}$ 糕珊，因此

$\overline{s}(x,p)=H\frac{1}{p}\exp\left( -\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)$

根據(jù) Laplace 變換簡表公式（11）：

$L^{-1}\left\{\frac{1}{p}\exp(-\alpha\sqrt{p})\right\}=\mathrm{erfc}\left(\frac{\alpha}{2\sqrt{t}}\right)$

取 $\alpha=\dfrac{x}{\sqrt{a}}$ , 得

$s(x,t)=H\mathrm{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right)$

1 維問題（ $\mathrm{I-2}$ ）：

$\left\{ \begin{array}{l} a \frac{\partial^2s}{\partial x^2} = \frac{\partial s}{\partial t} \\ \mathrm{IC:}s(x,0)=0 \\ \mathrm{BC:}s(\infty ,t)=0 \\ \mathrm{BC:}\left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_{x=0}=-\frac{q}{T} \\ \end{array} \right.$

對方程做 Laplace 變換动分，記

$\overline{s}(x,p)=\mathscr{L}\{s(x,t)\}=\int_0^\infty s(x,t)\exp(-pt)\mathrm7nufbs2t$

有

$a\frac{\mathrmtl8ag32^2\overline{s}(x,p)}{\mathrmng8ie8vx^2}=p\overline{s}(x,p)-s(x,0)=p\overline{s}(x,p)$

上述方程的通解為

$\overline{s}(x,p)=C_1\exp\left(\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)+ C_2\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)$

對邊界條件做 Laplace 變換：

$\left\{\begin{array}{l} \overline{s}(\infty,p)=0\\ \left.\frac{\partial\overline{s}}{\partial x}\right|_{x=0}=-\frac{1}{p}\frac{q}{T}\\ \end{array}\right.$

根據(jù)邊界條件，有 $C_1=0,C_2=\dfrac{q}{T}\sqrt{a} p^{-\frac{3}{2}}$ , 因此

$\overline{s}(x,p)=\frac{q}{T}\sqrt{a} p^{-\frac{3}{2}}\exp\left( -\sqrt{\frac{p}{a}} x\right)$

根據(jù) Laplace 變換簡表公式（13）

$\mathscr{L}^{-1}\left\{p^{-\frac{3}{2}}\exp(-\alpha\sqrt{p}) \right\} = 2\sqrt{\frac{t}{\pi}}\exp\left(-\frac{\alpha^2}{4t}\right)-\alpha\mathrm{erfc}\left(\frac{\alpha}{2\sqrt{t}}\right)$

取 $\alpha=\dfrac{x}{\sqrt{a}}$ 红选，得

$\begin{align*}s(x,t)&=\frac{q}{T}\sqrt{a}\left[2\sqrt{\frac{t}{\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{4at}\right)-\frac{x}{\sqrt{a}}\mathrm{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right)\right]\\ & = \frac{q}{T}\sqrt{\frac{4at}{\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{4at}\right) -\frac{qx}{T}\mathrm{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right)\\ & = \frac{q}{T}\left[\frac{1}{\sqrt{\pi}u}\exp(-u^2)-\mathrm{erfc}(u)\right] \end{align*}$

式中澜公， $u^2=\frac{x^2}{4at}$ .

2 維問題（ $\mathrm{II-1}$ ）：

記 $s= H_0-H$ ，數(shù)學(xué)模型：

$\left\{\begin{array}{ll} a\left(\frac{\partial^2{s}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{s}}{\partial{r}}\right)= \frac{\partial{s}}{\partial{t}}&t>0,0<r<\infty\\ \mathrm{IC:}s(r,0)=0&0<r<\infty\\ \mathrm{BC:}s(\infty,t)=0,\lim\limits_{r\to\infty } \left(\frac{\partial{s}}{\partial{r}}\right)=0&t>0\\ \mathrm{BC:}\lim\limits_{r\to 0} \left(r\frac{\partial{s}}{\partial{r}}\right)=-\frac{Q}{2\pi T} & \end{array}\right.$

式中喇肋， $a=\frac{T}{S}$ 坟乾。

記

$\overline{s}(r,p)=\mathscr{L}\{s\}=\int_0^\infty s(r,t)e^{-pt}\mathrmwsvkri7t$

對方程兩邊做 Laplace 變換，并使用初始條件 $s(r,0)=0$ 蝶防，得：

$\frac{\mathrm7yrnctv^2\overline{s}}{\mathrmwagct26r^2}+\frac{1}{r}\frac{\mathrmcqfbmdb\overline{s}}{\mathrmdvkryp7r}-\frac{p}{a}\overline{s}=0$

此為 0 階修正 Bessel 方程甚侣，通解為：

$\overline{s}=C_1I_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)+C_2K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)$

對邊界條件做 Laplace 變換：

$\left\{\begin{array}{l} \overline{s}(\infty,p)=0\\ \left.r\frac{\partial\overline{s}}{\partial r}\right|_{r=r_w}=-\frac{1}{p}\frac{Q}{2\pi T}\\ \end{array}\right.$

根據(jù)邊界條件，有 $C_1=0,C_2=\frac{Q}{2\pi T}\frac{1}{p}\frac{1}{\sqrt{\frac{p}{a}}r_wK_1\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r_w\right)}$ 间学，因此

$\overline{s}=\frac{Q}{2\pi T}\frac{1}{p}\frac{K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)}{\sqrt{\frac{p}{a}}r_wK_1\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r_w\right)}$

設(shè) $r_w\to0$ 殷费，因為 $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}xK_1(x)=1$ ，所以有

$\overline{s}\doteq \frac{Q}{4\pi T}\frac{2}{p}K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)$

根據(jù) Laplace 變換簡表公式（16）：

$\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{2}{p}K_0(2\sqrt{p})\right\}=E_1\left(\frac{1}{t}\right)$

及 Laplace 變換相似性：

$\mathscr{L}^{-1}\left\{F(bp)\right\}=\frac{1}低葫f\left(\frac{t}详羡\right)$

有

$\overline{s}\doteq \frac{Q}{4\pi T}\frac{2}{p}K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)=\frac{Q}{4\pi T}\frac{r^2}{4a}\frac{2}{\frac{r^2}{4a}p}K_0\left(2\sqrt{\frac{r^2}{4a}p}\right)$

取 $b=\frac{r^2}{4a}$ ：

$s=\frac{Q}{4\pi T}E_1\left(\frac{r^2}{4at}\right)=\frac{Q}{4\pi T}\int_{\frac{r^2S}{4Tt}}^\infty \frac{e^{-y}}{y}\mathrmemmixofy$

2 維問題（ $\mathrm{II-2}$ ）：Jacob-Lohman 公式

做無量綱變量代換，記 $\overline{r}=\frac{r}{r_w},\overline{t}= \frac{at}{r_w^2}$ 嘿悬，定解問題變?yōu)?/p>

$\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial^2s}{\partial\overline{r}^2}+\frac{1}{\overline{r}}\frac{\partial s}{\partial\overline{r}}= \frac{\partial s}{\partial\overline{t}}&\overline{t}>0,1<\overline{r}<\infty\\ s(\overline{r},0)=0,&1<\overline{r}<\infty\\ s(\infty,\overline{t})=0,&\overline{t}>0\\ s(1,\overline{t})=s_w,&\overline{t}>0\\ \end{array}\right.$

對方程兩邊做 Laplace 變換实柠，并使用初始條件 $s(r,0)=0$ ，得：

$\frac{\mathrmksoncp2^2\overline{s}}{\mathrmixilev8\overline{r}^2}+\frac{1}{\overline{r}}\frac{\mathrmmffyya2\overline{s}}{\mathrmdpeoorw\overline{r}}-p\overline{s}=0$

此為 0 階修正 Bessel 方程善涨，通解為：

$\overline{s}=C_1I_0\left(\sqrt{p}\overline{r}\right)+C_2K_0\left(\sqrt{p}\overline{r}\right)$

對邊界條件做 Laplace 變換：

$\left\{\begin{array}{l} \overline{s}(\infty,p)=0\\ \overline{s}(1,\overline{t})=\frac{s_w}{p}\\ \end{array}\right.$

根據(jù)邊界條件窒盐，有 $C_1=0,C_2=\frac{s_w}{p}\frac{1}{K_0(\sqrt{p})}$ ，因此

$\overline{s}=\frac{s_w}{p}\frac{K_0(\sqrt{p}\overline{r})}{K_0(\sqrt{p})}$

記

$\overline{A}(\overline{r},p)=\frac{K_0(\sqrt{p}\overline{r})}{pK_0(\sqrt{p})},\qquad \overline{s}=s_w \overline{A}(\overline{r},p)$

$A(\overline{r},\overline{t})=\mathscr{L}^{-1}\{\overline{A}(\overline{r},p)\}$

則有

$s=s_wA(\overline{r},\overline{t})$

式中钢拧， $A(\overline{r},\overline{t})$ 稱為降深函數(shù)蟹漓。

記 $Q_w$ 為自流井流量， $\overline{Q}_w$ 為 $Q_w$ 的 Laplace 變換娶靡。有

$\overline{Q}_w =-2\pi \overline{r} T\left.\frac{\partial \overline{s}}{\partial \overline{r}}\right|_{\overline{r}=1}=2\pi T\frac{s_w}{p}\frac{\sqrt{p}K_1(\sqrt{p})}{K_0(\sqrt{p})}$

記

$G(\overline{t})=\mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{K_1(\sqrt{p})}{\sqrt{p}K_0(\sqrt{p})}\right\}$

有

$Q_w=2\pi Ts_w G(\overline{t})$

式中牧牢， $G(\overline{t})$ 稱為流量函數(shù)， $\overline{t}=\frac{at}{r_w^2}$ 。

2 維問題（ $\mathrm{II-3}$ ）：Hantush-Jacob 公式

數(shù)學(xué)模型：

$\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial^2{s}}{\partial{r^2}}+ \frac{1}{r}\frac{\partial{s}}{\partial{r}} -\frac{s}{B^2}=\frac{1}{a} \frac{\partial{s}}{\partial{t}}&t>0,r_w<r<\infty\\ s(r,0)=0,&r_w<r<\infty\\ s(\infty,t)=0,&t>0\\ \lim\limits_{r\to 0}\left(s\frac{\partial s}{\partial t}\right)=-\frac{Q}{2\pi T},&t>0\\ \end{array}\right.$

式中塔鳍， $a=\frac{T}{S}$ 伯铣。

對方程兩邊做 Laplace 變換，并使用初始條件 $s(r,0)=0$ 轮纫，得：

$\frac{\partial^2\overline{s}}{\partial{r^2}}+ \frac{1}{r}\frac{\partial\overline{s}}{\partial{r}} -\left(\frac{p}{a}+\frac{1}{B^2}\right)\overline{s}=0$

同 Theis 模型腔寡，其解為：

$\overline{s}=\frac{Q}{4\pi T}\frac{2}{p}K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}+\frac{1}{B^2}}r\right)=\frac{Q}{4\pi T}\frac{2}{p}K_0\left(2\sqrt{\frac{r^2}{4a}\left(p+\frac{a}{B^2}\right)}\right)$

記 $\alpha=\frac{r^2}{4a},\beta=\frac{a}{B^2}$ ，由 Laplace 變換簡表公式（15）：

$\mathscr{L}^{-1}\{2K_0(2\sqrt{p})\} =\frac{1}{t}\exp\left(-\frac{1}{t}\right)=f(t)$

及相似性掌唾，有

$\mathscr{L}^{-1}\{2K_0(2\sqrt{\alpha p })\} =\frac{1}{\alpha}f\left(\frac{t}{\alpha}\right)=\frac{1}{t}\exp\left(-\frac{\alpha}{t}\right)$

根據(jù)位移性質(zhì)放前，有

$\mathscr{L}^{-1}\{2K_0(2\sqrt{\alpha (p+\beta) })\}=\exp(-\beta t)\frac{1}{t}\exp\left(-\frac{\alpha}{t}\right) =\frac{1}{t}\exp\left(-\beta t-\frac{\alpha}{t}\right)$

利用卷積計算 $\mathscr{L}^{-1}\{\frac{4\pi T \overline{s}}{Q}\}$ ：

$\frac{4\pi T s}{Q}=\int_0^t 1\cdot \frac{1}{\tau}\exp\left(-\beta \tau-\frac{\alpha}{\tau}\right)\mathrmtqqqwsu\tau$

做變量代換 $y=\frac{\alpha}{\tau}$ ：

$\begin{align*} \frac{4\pi T s}{Q} & =\int_\infty^{\frac{\alpha}{t}} \frac{y}{\alpha}\exp\left(-\frac{\alpha\beta}{y}-y\right)\left(-\frac{\alpha}{y^2}\right)\mathrmu8cgct8y\\ &= \int_{\frac{r^2}{4at}}^\infty\frac{1}{y}\exp\left(-y-\frac{r^2}{4B^2y}\right)\mathrmawalsmdy \end{align*}$

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萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎酌伊，沒想到半個月后腾窝，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
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?護林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡腺晾，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
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?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年燕锥，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片悯蝉。...
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活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡归形，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出鼻由，到底是詐尸還是另有隱情暇榴，我是刑警寧澤，帶...
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?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布蕉世，位于F島的核電站蔼紧，受9級特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏狠轻。R本人自食惡果不足惜奸例，卻給世界環(huán)境...
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男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望向楼。院中可真熱鬧查吊，春花似錦、人聲如沸湖蜕。這莊子的主人今日做“春日...
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一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽昭抒。三九已至评也，卻和暖如春炼杖，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背盗迟。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工坤邪，沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人诈乒。一個月前我還...
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代替公主和親
正文我出身青樓罩扇，卻偏偏與公主長得像，于是被迫代替她去往敵國和親怕磨。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子喂饥，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
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16. 地下水運動數(shù)學(xué)模型的 Laplace 變換解法

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