第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量或變量間的數(shù)學表達式

靜態(tài)數(shù)學模型：在靜態(tài)條件下描述變量之間關系的代數(shù)方程

動態(tài)數(shù)學模型：描述變量各階導數(shù)之間關系的微分方程

建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型

分析法：根據(jù)物理規(guī)律和化學規(guī)律列出方程式

實驗法：施加信號，記錄響應，用適當?shù)臄?shù)學模型進行逼近

時域：微分方程盲泛、差分方程和狀態(tài)方程
復數(shù)域：傳遞函數(shù)和結構圖
頻域：頻域特性

2.1 傅里葉變換與拉普拉斯變換

由于在《信號與線性系統(tǒng)分析》已對此進行深入講解，此處不贅述佑笋。

請參見博主在《信號與線性系統(tǒng)分析》中的具體闡述。

2.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型

2.2.1 控制系統(tǒng)微分方程的建立

先由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)方塊圖并分別列寫出組成系統(tǒng)各元件的微分方程斑鼻；然后消去中間變量便得到輸出量與輸入量之間關系的微分方程蒋纬。

2.2.2 非線性微分方程的微分化

嚴格地說，實際物理元件或系統(tǒng)都是非線性化的坚弱。在一定條件下蜀备，為了簡化數(shù)學模型，可以視為線性元件荒叶。除此之外碾阁，還有一種線性化方法稱為切線法或小偏差法

注：此思想在模擬電子技術基礎中將非線性的三極管變?yōu)榫€性的思想一致

設 $y=f(x)$ ，取點 $x_{0}$ 些楣，則有 $y_{0}=f(x_{0})$ 脂凶，對 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 處進行泰勒展開：

$y=f(x)=f(x_{0})+(\frac{df(x)}{x})_{x_{0}}+\frac{1}{2!}(x-x_{0})+(\frac{d^2f(x)}{dx^2})_{x_{0}}(x-x_{0})^2+\cdots$

當增量 $x-x_{0}$ 很小時，略去其高次項愁茁，則有

$y-y_{0}=f(x)-f(x_{0})=(\frac{df(x)}{x})_{x_{0}}$

令 $\Delta y=y-y_{0}=f(x)-f(x_{0})$ 蚕钦， $\Delta x= x-x_{0}$ ， $K=({df(x)}/{x})_{x_{0}}$

略去增量符號 $\Delta$ 埋市，便得到函數(shù) $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 點附近的線性化方程

$y=Kx$

2.3 控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型

2.3.1 傳遞函數(shù)的定義和性質

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)冠桃，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比道宅。

設線性定常系統(tǒng)由下述 $n$ 階線性常微分方程描述

$a_{0}\frac{d^{n}}{dt^{n}}c(t)+a_{1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t)+\cdots+a_{n-1}\fracfxxn3r3{dt}c(t)+a_{n}c(t)=\\b_{0}\frac{d^{m}}{dt^{m}}r(t)+b_{1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t)+\cdots+b_{m-1}\fracvtlhphh{dt}r(t)+b_{m}r(t)$

$c(t)$ 是系統(tǒng)輸出量
$r(t)$ 是系統(tǒng)輸入量
$a_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 和 $b_{j}(j=1,2,\cdots,m)$ 是與系統(tǒng)結構和參數(shù)有關的常系數(shù)

對上式兩端同時作拉普拉斯變換：

$[a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{n-1}s+a_{n}]c(s)=[b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+b_{m-1}s+b_{m}]R(s)$

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+b_{m-1}s+b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{n-1}s+a_{n}}$

傳遞函數(shù)的性質

傳遞函數(shù)是復變量 $s$ 的有理真分式函數(shù)食听，具有復變函數(shù)的所有性質； $m \leq n$ 且所有系數(shù)均為實數(shù)
傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)
由定義可知：傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性
傳遞函數(shù) $G(s)$ 的拉式反變換是沖激響應 $g(t)$

2.3.2 傳遞函數(shù)的零點和極點

傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后可寫為如下形式：

$G(s)=\frac{b_{0}(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots(s-z_{m})}{a_{0}(p-z_{1})(s-p_{2})\cdots(s-p_{n})}=K^{\ast}\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_{i})}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_{j})}$

$z_{i}(i=1,2,\cdots,m)$ 是分子多項式的零點污茵，稱為傳遞函數(shù)的零點

$p_{j}(j=1,2,\cdots,n)$ 是分母多項式的零點樱报，稱為傳遞函數(shù)的極點

系數(shù) $k^{\ast}={b_{0}}/{a_{0}}$ ，稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益

2.3.3 傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響

系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)微分方程的特征根泞当，因此它們決定了所描述系統(tǒng)自由運動的形態(tài)迹蛤，稱之為模態(tài)，而且在強迫運動中(即零初始條件響應中)也會包含這些自由運動的模態(tài)襟士。

設某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{6(s+3)}{(s+1)(s+2)}$

顯然盗飒，其極點 $p_{1}=-1, p_{2}=-2$ ，零點 $z_{1}=-3$ 陋桂，其自由運動的模態(tài)是 $e^{-t}$ 和 $e^{-2t}$ 逆趣。

取一個輸入 $r(t)=R_{1}+R_{2}e^{-5t}$ ，可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應：

$c(t)=9R_{1}-R_{2}e^{-5t}+(3R_{2}-12R_{1})e^{-t}+(3R_{1}-2R_{2})e^{-2t}$

式中嗜历，前兩項具有與輸入函數(shù) $r(t)$ 相同的模態(tài)宣渗，后兩項中包含了由極點-1和-2形成的自由運動模態(tài)，這是系統(tǒng)的固有成分梨州，但其系數(shù)與輸入函數(shù)有關痕囱。

傳遞函數(shù)的極點可以受到輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應中形成自由運動的模態(tài)

設具有相同極點但零點不同的傳遞函數(shù)分別為：

$G_{1}(s)=\frac{4s+2}{(s+1)(s+2)} \quad G_{2}(s)=\frac{1.5s+2}{(s+1)(s+2)}$

在零初始條件下暴匠，它們的單位階躍響應分別是

$c_{1}(t)=1+2e^{-t}-3e^{-2t} \quad c_{2}(t)=1-0.5e^{-t}-0.5e^{-2t}$

傳遞函數(shù)的零點并不形成自由運動的模態(tài)鞍恢，但它們卻影響各模態(tài)響應中所占的比重，因而也影響響應曲線的形狀

2.4 控制系統(tǒng)的結構圖與信號流圖

控制系統(tǒng)的結構圖和信號流圖都是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關系的數(shù)學圖形每窖。但是信號流圖只適用于線性系統(tǒng)帮掉，而結構圖也可用于非線性系統(tǒng)。

2.4.1 系統(tǒng)結構圖的組成和繪制

信號線：信號線是帶有箭頭的直線岛请，箭頭表示信號的流向旭寿，在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。

引出點(或測量點)：引出點表示信號引出或測量的位置崇败，從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質方面完全相同盅称。

比較點(或綜合點)：比較點表示對兩個以上的信號進行加減運算，"+"表示相加后室，"-"表示相減缩膝，"+"號可省略不寫。

方框(或環(huán)節(jié))：方框表示對信號進行的數(shù)學變換岸霹，方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

繪制系統(tǒng)結構圖時疾层，首先考慮負載效應分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)并把它們用方框表示，根據(jù)各元部件的信號流向贡避，用信號線依次將各方框連接痛黎。

2.4.2 結構圖的等效變換和簡化

結構圖中方框間的基本連接只有串聯(lián)予弧、并聯(lián)、和反饋連接湖饱。簡化的一般方法是移動引出點或比較點掖蛤，交換比較點進行方框運算。在簡化過程總應遵循變換前后變量關系保持等效的原則——前向通路中傳遞函數(shù)的成績井厌，回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變蚓庭。

串聯(lián)

由圖可知：

$U(s)=G_{1}(s)R(s) \quad C(s)=G_{2}(s)U(s)$

由上式消去中間變量 $U(s)$ 得

$C(s)=G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)= G(s)R(s)$

由此可知，兩個方框串聯(lián)連接的等效方框仅仆，等于各個方框傳遞函數(shù)之乘積啊是大器赞。這個結論可推廣到 $n$ 個串聯(lián)方框情況。

并聯(lián)

由圖可知：

$C_{1}(s)=G_{1}(s)R(s) \quad C_{2}(s)=G_{2}(s)R(s) \quad C(s)=C_{1}(s)+ C_{2}(s)$

由上式消去 $C_{1}(s)$ 和 $C_{2}(s)$ 得

$C(s)=[G_{1}(s)\pm G_{2}(s)]R(s)=G(s)R(s)$

由此可知墓拜，兩個方框并聯(lián)連接的等效方框港柜，等于各個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。這個結論可推廣到 $n$ 個并聯(lián)方框情況撮弧。

反饋

"+"號為正反饋潘懊，"-"號為負反饋

由圖可知：

$c(s)=G(S)E(S) \quad B(s)=H(s)C(s) \quad E(s)=R(s) \pm B(s)$

消去中間變量 $E(s)$ 和 $R(s)$ 得

$C(s)\frac{G(s)}{1 \mp G(s)H(s)}R(s)=\Phi(s)R(s)$

其中 $\Phi(s)$ 稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)、 $G(s)$ 稱為前向通路傳遞函數(shù)贿衍、 $G(s)H(s)$ 稱為開環(huán)傳遞函數(shù)授舟。

比較點和引出點的移動

"-"號可以在信號線上越過方框移動，但不能超過比較點和引出點贸辈。

比較點前移

由圖可知

$C(s)=R(s)G(s) \pm Q(s)=[R(s) \pm \frac{Q(s)}{G(s)}]G(s)$

比較點后移

由圖可知

$C(s)=[R(s) \pm Q(s)]G(s)=R(s)G(s) \pm Q(s)G(s)$

引出點前移

由圖可知

$G(s)R(s)=C(s)$

引出點后移

由圖可知

$R(s)=R(s)G(s)\frac{1}{G(s)}$

2.4.3 信號流圖的組成及性質

《信號與線性系統(tǒng)分析》已具體講述释树，此處不贅述

請參見博主在《信號與線性系統(tǒng)分析》中的具體闡述。

2.4.4 信號流圖的繪制

由系統(tǒng)微分方程繪制：進行拉普拉斯變換擎淤。

由系統(tǒng)結構圖繪制：只需在結構圖的信號線上用小圓圈標志出傳遞的信號便得到結點奢啥。用標有傳遞函數(shù)的線段代替結構圖中的方框便得到支路。

2.4.5 梅森公式

《信號與線性系統(tǒng)分析》已具體講述嘴拢，此處不贅述

請參見博主在《信號與線性系統(tǒng)分析》中的具體闡述桩盲。

2.4.6 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

一個典型的反饋控制系統(tǒng)的結構圖和信號流圖如下圖所示，其中 $R(s)$ 和 $N(s)$ 都是施加于系統(tǒng)的外作用席吴， $R(s)$ 是有用輸入作用赌结，簡稱輸入信號； $N(s)$ 是擾動作用孝冒； $C(s)$ 是系統(tǒng)的輸出信號柬姚。

輸入信號下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

應用疊加原理，令 $N(s)=0$ 庄涡，由基本反饋可知：

$\Phi(s)=\frac{G_{1}(s)G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

應用疊加原理量承，令 $R(s)=0$ ，簡單變換結構圖可得：

$\Phi_{n}(s)=\frac{G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

顯然，當輸入信號 $R(s)$ 和擾動作用 $N(s)$ 同時作用時系統(tǒng)的輸出為

$\sum C(s)=\frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}[G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)+G_{2}(s)N(s)]$

當 $|G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)| \gg1$ 時撕捍，

$\sum C(s)=\frac{1}{G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}[G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)+G_{2}(s)N(s)]=\frac{R(s)}{H(s)}+\frac{N(s)}{G_{1}(s)H(s)}$

由于 $N(s)$ 較小拿穴，當 $|G_{1}(s)H(s)| \gg1$ 時

$\sum C(s)=\frac{1}{H(s)}R(s)$

表明在一定條件下宰译，系統(tǒng)的輸出只取決于反饋通路 $H(s)$ 及輸入信號 $R(s)$

在模擬電子技術基礎中，稱之為深度負反饋寂诱。

閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)在輸入信號和擾動作用時忽你，以誤差信號 $E(s)$ 作為輸出量時的傳遞函數(shù)稱為誤差傳遞函數(shù)。由簡單的結構圖變換可得：

$\Phi_{e}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

$\Phi_{en}(s)=\frac{E(s)}{N(s)}=\frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

開環(huán)傳遞函數(shù)

由上述分析可知驮捍，其各種閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)分母均相同，其中 $G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)$ 是回路增益，并成為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)等效為主反饋斷開蚤霞，從輸入信號 $R(s)$ 到反饋信號 $B(s)$ 之間的傳遞函數(shù)。

最后編輯于：2019.10.23 14:11:18

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第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

2.1 傅里葉變換與拉普拉斯變換

2.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型

2.2.1 控制系統(tǒng)微分方程的建立

2.2.2 非線性微分方程的微分化

2.3 控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型

2.3.1 傳遞函數(shù)的定義和性質

2.3.2 傳遞函數(shù)的零點和極點

2.3.3 傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響

2.4 控制系統(tǒng)的結構圖與信號流圖

2.4.1 系統(tǒng)結構圖的組成和繪制

2.4.2 結構圖的等效變換和簡化

2.4.3 信號流圖的組成及性質

2.4.4 信號流圖的繪制

2.4.5 梅森公式

2.4.6 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.4.6 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

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