App“愛數(shù)學(xué)愛打卡”會(huì)每天提供一道比較有趣的數(shù)學(xué)題，為了讓腦子不銹掉吮炕，本弱雞沒事會(huì)做一下腊脱，今天的題目如下：
這題沒想到太好的思路，剛?cè)胧种幌氲较绒D(zhuǎn)化成找方程存在解的充要條件的問題龙亲。
問題轉(zhuǎn)化
假設(shè)連續(xù)正整數(shù)的起始為a陕凹，完全平方數(shù)為t^2悍抑，則易得以下關(guān)系：
n^2 + (2a - 1)n=2t^2
利用上式反表示a：
a = (2t^2 / n - (n - 1)) / 2
考慮到a和t為正整數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為杜耙，n取何值時(shí)搜骡，存在正整數(shù)t使得：
?2t^2 / n - ( n - 1 )為正偶數(shù)
自然進(jìn)一步轉(zhuǎn)換就是：
?2t^2 / n 與 ( n - 1 ) 同奇偶性，且2t^2 / n > ( n - 1 )?
奇偶討論
既然都涉及奇偶性了泥技，那我不妨討論討論n的奇偶性唄浆兰，先來看一下n是奇數(shù)會(huì)咋樣。
n為奇數(shù)
此時(shí) n-1 為偶數(shù)珊豹，因此需要?2t^2 / n 為大于 n-1 的偶數(shù)，取 t 為 n 則顯然滿足上式榕订。
n為偶數(shù)
此時(shí) n-1 為奇數(shù)店茶。設(shè) n = 2k ，則有?2t^2 / n =?t^2 / k劫恒，以及n - 1 = 2k - 1贩幻。因此?t^2 / k 必為大于 2k - 1 的奇數(shù)。
首先要保證 t^2 / k為整數(shù)两嘴，由此我們可以推出?t^2 中2的冪次大于等于 k中2的冪次丛楚。
若k中2的冪次為奇數(shù)（如24包含了2的3次方），則t^2中2的冪次必然大于k中的（k^2必包含2的4次方憔辫，因?yàn)槭瞧椒綌?shù)）趣些，則t^2 / k必為偶數(shù)。
因此k中2的冪次必為偶數(shù)贰您，且易證此時(shí)存在t使得t^2 / k為大于 2k - 1 的奇數(shù)坏平。
結(jié)論
綜上：
n的取值范圍為所有2的冪次為0或者正奇數(shù)的正整數(shù)。
