矩陣消元
- 核心點：通過矩陣的行變換進行消元
- 例子
\left\{
\begin{array}{lr}
x+2y+z=0 \\
3x+8y+z=12 \\
4y+z=2
\end{array}
\right.
使用矩陣運算座泳，將方程寫為 Ax = b 的矩陣形式：
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\3 & 8 & 1\\0 & 4 &1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 2\\12\\2 \end{bmatrix}
這里的矩陣消元惠昔，類似于解方程組時的消元，消元的對象是 3 × 3 的系數(shù)矩陣A挑势， 左上角的1镇防，稱為主元(pivot)：
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\3 & 8 & 1\\0 & 4 &1 \end{bmatrix}
- 對矩A進行消元:
- 第一步，
row1不變潮饱，row2 - 3×row1可以得到下面的矩陣来氧，消元系數(shù)為3：
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 & 2 & -2\\0 & 4 &1 \end{bmatrix}這里消元位置是(2, 1), 我們消去了(2, 1)位置的元素，稱這一步為(2, 1) 變換- 第二步香拉，對
row3也進行類似的變換, 即(3, 1)變換啦扬，但是這里（3，1)位置的元素已經(jīng)是0了凫碌，所以扑毡，消元系數(shù)為0 - 第三步，進行(3, 2)變換盛险，使用第二行第二列的主元2進行消元瞄摊，
row3 - 2×row2，消元系數(shù)為2枉层，得到了如下矩陣：
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 & 2 & -2\\0 & 0 & 5 \end{bmatrix} - 第一步，
我們稱消元得到的矩陣為U泉褐，U是一個上三角矩陣，這里消元的目的是從A得到U
- 現(xiàn)在我們得到了三個主元：1鸟蜡， 2膜赃， 5
- 注意的點：主元不能為0
- 消元失敗的情況：
- 若第一行第一列為0，即主元為0揉忘，我們可以通過行交換來在下面的方程中找到合適的主元
- 首先看它的下一行對應(yīng)位置是不是 0跳座，如果不是，就將這兩行位置互換泣矛，將非零數(shù)視為主元疲眷。如果是，就再看下下行您朽，以此類推
- 若其下面每一行都沒有非零數(shù)的話狂丝，那就意味著這個矩陣不可逆换淆，消元法求出的解不唯一，消元法就失效了
增廣矩陣
- 在之前的矩陣變換中几颜，我們只是對系數(shù)矩陣A進行變換倍试，把系數(shù)矩陣 A 和向量 b 拼接成一個矩陣，這個矩陣就是增廣矩陣：
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\0 & 2 & -2 & 12 \\0 & 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} -> \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\0 & 2 & -2 & 6 \\0 & 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} -> \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\0 & 2 & -2 & 6 \\0 & 0 & 5 & -10 \end{bmatrix} - 將得到的矩陣帶入方程Ax=b蛋哭，可以的得到：
從下往上求解县习，很容易就能得出x, y, z的值了\left\{ \begin{array}{lr} x+2y+z=0 \\ 2y-2z=6 \\ 5z=-10 \end{array} \right.
消元矩陣
行向量與矩陣的乘法
[圖片上傳失敗...(image-c785f8-1550418453954)]
- 所謂 消元矩陣，就是將消元過程中的行變換轉(zhuǎn)化為矩陣之間的乘法形式
- 消元過程第一步：
row2 - 3×row1即取-3個第一行谆趾，與第二行相加, 其余行不變
這一步的消元矩陣為：\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\-3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\3 & 8 & 1\\0 & 4 &1 \end{bmatrix} -> \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 & 2 & -2\\0 & 4 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\-3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} E_{21} - 消元過程第二步：
row3 - 2×row2即取-2個第二行躁愿，與第三行相加
這一步的消元矩陣為：\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\-3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 & 2 & -2\\0 & 4 & 1 \end{bmatrix}-> \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 & 2 & -2\\0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\-3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} E_{32} - 最后的結(jié)果
根據(jù)矩陣的結(jié)合律，上面的式子等價于E_{32}(E_{21}A)=U
把(E_{32}E_{21})A=U
記作E沪蓬，那么E就是整個消元過程的消元矩陣(E_{32}E_{21})
行變換和列變換
-
交換2*2矩陣中兩行的矩陣：
\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & d \\ b & a \end{bmatrix} -
交換2*2矩陣中兩列的矩陣：
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b & a \\ d & c \end{bmatrix}左乘等同于行變換彤钟，右乘等同于列變換
