????????????前面講了《函數(shù)與方程思想深度剖析,明白了泻肯,解題猶如神助》渊迁,本篇就函數(shù)方程思想再做細致探究。
函數(shù)與方程的思想基本概念
? ? ? ? ? 我們知道函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要概念软免,它們之間有著密切的練習宫纬。函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想焚挠,也是高考考察重點的7種思想方法的首座膏萧。主要依據(jù)題意構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)或建立相應的方程來解決問題,是歷來高考的重點和熱點蝌衔。
(1)函數(shù)思想榛泛,是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系噩斟,建立函數(shù)關系或構(gòu)造函數(shù)曹锨,運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題剃允,從而使問題獲得解決沛简。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識齐鲤,用于指導解題,即善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察椒楣、分析和解決問題给郊。
(2)方程思想,就是分析數(shù)學問題中變量間的等數(shù)量關系捧灰,建立方程或方程組淆九,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析毛俏、轉(zhuǎn)化問題炭庙,使問題獲得解決。方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認識煌寇,用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察焕蹄、處理問題。
(3)方程的思想與函數(shù)的思想密切相關:方程
函數(shù)與方程的思想在解題中的應用
(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,對函數(shù)
(2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要乎芳;
(3)解析幾何中的許多問題遵蚜,需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關理論;
(4)立體幾何中有關線段奈惑、角吭净、面積、體積的計算肴甸,經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決寂殉,建立空間直角坐標系后,立體幾何與函數(shù)的關系更加密切原在。
本篇就函數(shù)方程不等式三者之間相互轉(zhuǎn)化做深入探究:
例1.?關于
解析:(法一)設
解得
(法二)設
①當
②
綜上可得村怪,
解題策略:
????????對于多元方程(含參數(shù))通常有兩類辦法:
一是換元姆坚,將問題轉(zhuǎn)化為二次方程,利用根與系數(shù)的關系或判別式实愚,或者利用三角函數(shù)的有界性加以解決兼呵;
二是分離變量構(gòu)造函數(shù),把方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域腊敲,再根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決击喂。
例2.對于滿足
分析:習慣上把
解:設函數(shù)
解題策略:
????????本題看上去是一個不等式問題先鱼,但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化,把它化歸為關于
例3.設函數(shù)
(1)若
(2)若直線
分析:對于⑴小題抑淫,由題設條件易得
解析:⑴由題意
⑵
由
得
當且僅當
解題策略:
????????若沒有方程的思想意識管呵,則不能從
? ? ? ? 通過以上范例,我們清晰的看到函數(shù)-方程-不等式他們內(nèi)在之間擁有這千絲萬縷的聯(lián)系生年,我們在解題的過程中不可孤立的看待每一個問題婴程,要學會:
1.借助有關函數(shù)的性質(zhì),一是用來解決有關求值抱婉、解(證)不等式档叔、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題,二是在問題的研究中蒸绩,可以通過建立函數(shù)關系式或構(gòu)造中間函數(shù)來求解衙四;
2.許多數(shù)學問題中,一般都含有常量患亿、變量或參數(shù)届搁,這些參變量中必有一個處于突出的主導地位,把這個參變量稱為主元窍育,構(gòu)造出關于主元的方程卡睦,主元思想有利于回避多元的困擾,解方程的實質(zhì)就是分離參變量漱抓。