函數(shù)方程思想在解題中應用之函數(shù)酱讶,方程退盯,不等式三者之間相互轉(zhuǎn)化

????????????前面講了《函數(shù)與方程思想深度剖析,明白了泻肯,解題猶如神助》渊迁,本篇就函數(shù)方程思想再做細致探究。

函數(shù)與方程的思想基本概念

? ? ? ? ? 我們知道函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要概念软免,它們之間有著密切的練習宫纬。函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想焚挠,也是高考考察重點的7種思想方法的首座膏萧。主要依據(jù)題意構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)或建立相應的方程來解決問題,是歷來高考的重點和熱點蝌衔。

(1)函數(shù)思想榛泛,是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系噩斟,建立函數(shù)關系或構(gòu)造函數(shù)曹锨,運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題剃允,從而使問題獲得解決沛简。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識齐鲤,用于指導解題,即善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察椒楣、分析和解決問題给郊。

(2)方程思想,就是分析數(shù)學問題中變量間的等數(shù)量關系捧灰,建立方程或方程組淆九,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析毛俏、轉(zhuǎn)化問題炭庙,使問題獲得解決。方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認識煌寇,用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察焕蹄、處理問題。

(3)方程的思想與函數(shù)的思想密切相關:方程

的解就是函數(shù)
的圖像與
軸的交點的橫坐標(零點)阀溶;函數(shù)
也可以看作二元方程
擦盾;通過方程進行研究,方程
有解淌哟,當且僅當
屬于函數(shù)
的值域迹卢;
的圖像的交點問題,就是研究方程
的實數(shù)解的問題徒仓,函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關系十分重要腐碱。

函數(shù)與方程的思想在解題中的應用

(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,對函數(shù)

掉弛,當
時症见,就化為不等式
,借助于函數(shù)的圖像和性質(zhì)可解決有關問題殃饿,而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式谋作;

(2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要乎芳;

(3)解析幾何中的許多問題遵蚜,需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關理論;

(4)立體幾何中有關線段奈惑、角吭净、面積、體積的計算肴甸,經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決寂殉,建立空間直角坐標系后,立體幾何與函數(shù)的關系更加密切原在。

本篇就函數(shù)方程不等式三者之間相互轉(zhuǎn)化做深入探究:

例1.?關于

的方程
恒有解友扰,求
的取值范圍.

解析:(法一)設

原方程有解即方程
有正根彤叉,

解得

(法二)設

①當

?

.

綜上可得村怪,

解題策略:

????????對于多元方程(含參數(shù))通常有兩類辦法:

一是換元姆坚,將問題轉(zhuǎn)化為二次方程,利用根與系數(shù)的關系或判別式实愚,或者利用三角函數(shù)的有界性加以解決兼呵;

二是分離變量構(gòu)造函數(shù),把方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域腊敲,再根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決击喂。

例2.對于滿足

的一切實數(shù),不等式
恒成立碰辅,試求
的取值范圍.

分析:習慣上把

當作自變量懂昂,記函數(shù)
,于是問題轉(zhuǎn)化為:?當
時没宾,
恒成立凌彬,求
的取值范圍.解決這個等價的問題需要應用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理,可想而知循衰,這是相當復雜的.

解:設函數(shù)

铲敛,顯然
,則
的一次函數(shù)会钝,要使
恒成立伐蒋,當且僅當
,且
時迁酸,解得
的取值范圍是

解題策略:

????????本題看上去是一個不等式問題先鱼,但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化,把它化歸為關于

的一次函數(shù)奸鬓,利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解焙畔,解題的關鍵是轉(zhuǎn)換變量角色。

例3.設函數(shù)

串远,且存在
使得
成立

(1)若

(2)若直線

的圖像交與M,N兩點宏多,且M,N兩點的連線被直線
平分,求出
的最大值.

分析:對于⑴小題抑淫,由題設條件易得

绷落,由方程根的意義可構(gòu)造一個根為
的一元二次方程,再借助韋達定理發(fā)現(xiàn)
與對稱軸的關系始苇。最后運用二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷出
;第⑵小題可先建立
的函數(shù)關系式筐喳,再運用均值不等式可求得
的最大值催式。

解析:⑴由題意

?

?

的圖像的對稱軸為
函喉,

?

,代入直線方程荣月,

當且僅當

解題策略:

????????若沒有方程的思想意識管呵,則不能從

中觀察出m,n是某一個一元二次方程的兩根,從而也就無法得出
這樣有用的關系式哺窄,使解答陷入困境捐下。因此,由根的意義或韋達定理構(gòu)造一元二次方程是最常見的思路萌业,不可忽視坷襟。

? ? ? ? 通過以上范例,我們清晰的看到函數(shù)-方程-不等式他們內(nèi)在之間擁有這千絲萬縷的聯(lián)系生年,我們在解題的過程中不可孤立的看待每一個問題婴程,要學會:

1.借助有關函數(shù)的性質(zhì),一是用來解決有關求值抱婉、解(證)不等式档叔、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題,二是在問題的研究中蒸绩,可以通過建立函數(shù)關系式或構(gòu)造中間函數(shù)來求解衙四;

2.許多數(shù)學問題中,一般都含有常量患亿、變量或參數(shù)届搁,這些參變量中必有一個處于突出的主導地位,把這個參變量稱為主元窍育,構(gòu)造出關于主元的方程卡睦,主元思想有利于回避多元的困擾,解方程的實質(zhì)就是分離參變量漱抓。

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