萌萌的講解
以下為部分摘取
最大二分匹配：在一個二分圖中找到P->q的一個匹配方案痕支，使得匹配中的邊數(shù)量不小于任何其他的匹配胎食。
完備二分匹配：在一個二分圖中找到p->q的一個匹配方案，使得p中所有點出現(xiàn)在該匹配中。
二分圖的帶權(quán)匹配：求出一個匹配集合，使得集合中邊的權(quán)值之和最大或最小。
二分圖的最優(yōu)匹配：為完備匹配割去，在此基礎(chǔ)上，才要求匹配的邊權(quán)值之和最大或最小昼丑。二分圖的帶權(quán)匹配與最優(yōu)匹配不等價呻逆，也不互相包含。
KM算法實現(xiàn)求二分圖的最優(yōu)匹配菩帝。KM算法可以實現(xiàn)為O(N^3)咖城。
[KM算法的幾種轉(zhuǎn)化]
- KM算法是求最大權(quán)完備匹配茬腿，如果要求最小權(quán)完備匹配怎么辦？方法很簡單宜雀，只需將所有的邊權(quán)值取其相反數(shù)切平，求最大權(quán)完備匹配，匹配的值再取相反數(shù)即可辐董。
- KM算法的運(yùn)行要求是必須存在一個完備匹配悴品，如果求一個最大權(quán)匹配(不一定完備)該如何辦？依然很簡單简烘，把不存在的邊權(quán)值賦為0苔严。
- KM算法求得的最大權(quán)匹配是邊權(quán)值和最大，如果我想要邊權(quán)之積最大夸研，又怎樣轉(zhuǎn)化？還是不難辦到依鸥，每條邊權(quán)取自然對數(shù)亥至，然后求最大和權(quán)匹配，求得的結(jié)果a再算出e^a就是最大積匹配贱迟。至于精度問題則沒有更好的辦法了姐扮。
KM算法的鄰接矩陣模板:
const int MAXN = 210;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int love[MAXN][MAXN]; // 記錄每個妹子和每個男生的好感度
int ex_girl[MAXN]; // 每個妹子的期望值
int ex_boy[MAXN]; // 每個男生的期望值
bool vis_girl[MAXN]; // 記錄每一輪匹配匹配過的女生
bool vis_boy[MAXN]; // 記錄每一輪匹配匹配過的男生
int match[MAXN]; // 記錄每個男生匹配到的妹子 如果沒有則為-1
int slack[MAXN]; // 記錄每個漢子如果能被妹子傾心最少還需要多少期望值
int n,m;
bool dfs(int girl)
{
vis_girl[girl] = true;
for (int boy = 0; boy < m; ++boy) {
if (vis_boy[boy]) continue; // 每一輪匹配 每個男生只嘗試一次
int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy];
if (gap == 0) { // 如果符合要求
vis_boy[boy] = true;
if (match[boy] == -1 || dfs( match[boy] )) { // 找到一個沒有匹配的男生 或者該男生的妹子可以找到其他人
match[boy] = girl;
return true;
}
} else {
slack[boy] = min(slack[boy], gap); // slack 可以理解為該男生要得到女生的傾心 還需多少期望值 取最小值 備胎的樣子【捂臉
}
}
return false;
}
int KM()
{
memset(match, -1, sizeof match); // 初始每個男生都沒有匹配的女生
memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy); // 初始每個男生的期望值為0
// 每個女生的初始期望值是與她相連的男生最大的好感度
for (int i = 0; i < n; ++i) {
ex_girl[i] = love[i][0];
for (int j = 1; j < m; ++j) {
ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]);
}
}
// 嘗試為每一個女生解決歸宿問題
for (int i = 0; i < n; ++i) {
fill(slack, slack + m, INF); // 因為要取最小值 初始化為無窮大
while (1) {
// 為每個女生解決歸宿問題的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到為止
// 記錄每輪匹配中男生女生是否被嘗試匹配過
memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl);
memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy);
if (dfs(i)) break; // 找到歸宿 退出
// 如果不能找到 就降低期望值
// 最小可降低的期望值
int d = INF;
for (int j = 0; j < m; ++j)
if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]);
if(d==INF) return -1; //無法松弛,找不到完備匹配
for (int j = 0; j < n; ++j) {
// 所有訪問過的女生降低期望值
if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d;
}
for (int j = 0; j < m; ++j) {
// 所有訪問過的男生增加期望值
if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d;
// 沒有訪問過的boy 因為girl們的期望值降低衣吠，距離得到女生傾心又進(jìn)了一步茶敏！
else slack[j] -= d;
}
}
}
// 防止匹配到不存在的邊
int res = 0,flag=0;
for(int i = 0; i < m; i++){
if(match[i]==-1||love[match[i]][i]==-INF)
continue;
res += love[match[i]][i];
flag++;
}
if(flag<n) res=-1;
return res;
}
