? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ——數(shù)學(xué)論文? 薛珍蕾八(7)班
一、勾股定理介紹：
? ? ? ? 勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱(chēng)直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾爷辱，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦朦肘，所以稱(chēng)這個(gè)定理為勾股定理饭弓，也有人稱(chēng)商高定理。
二媒抠、確定探究范圍
? ? ? ? 在八年級(jí)上冊(cè)我們學(xué)習(xí)了勾股定理并且運(yùn)用它解決幾何問(wèn)題弟断。在初學(xué)勾股定理的時(shí)候會(huì)有些困難。以下就是我們?cè)诔醪綄W(xué)習(xí)勾股定理所遇到的問(wèn)題趴生。
1.證明一個(gè)三角形是直角三角形
2.用于直角三角形中的相關(guān)計(jì)算
? ? 中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭阀趴，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去苍匆，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量刘急，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”
? ? ? ? 商高回答說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體餓認(rèn)識(shí)浸踩。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3叔汁，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5检碗。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵据块。”
從上面所引的這段對(duì)話中折剃，我們可以清楚的知道另假，我國(guó)古代的人民早在幾千年前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并且運(yùn)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。稍微懂得平面幾何讀者都知道怕犁，所謂勾股定理边篮，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊奏甫，用弦（c）來(lái)表示斜邊戈轿，則可得：
勾2+股2=弦2
即：
a2+b2=c2
勾股定理在西方被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的扶檐。其實(shí)凶杖，我國(guó)古代得到人民對(duì)這數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用胁艰，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多款筑。如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話智蝠，那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年奈梳。其中所說(shuō)的勾3股4弦5杈湾，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例（32+42=52）。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱(chēng)為勾股定理攘须。
在《九章算術(shù)一書(shū)》中漆撞，勾股定理得到了更加規(guī)范性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》說(shuō)：“把勾和股分別自乘于宙，然后把它們的積加起來(lái)浮驳，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦捞魁≈粱幔”把這段話列成算式，即為：
弦＝（勾2+股2）
即：
c=（a2+b2)
定理：
如果直角三角形兩直角邊分別為a谱俭，b奉件，斜邊為c，那么a的平方+b的平方=c的平方昆著；即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方县貌。
如果三角形的三條邊a，b凑懂，c滿足a2+b2=c2煤痕，如：一條直角邊是3，一條直角邊是4接谨，斜邊就是X2＝32+42杭攻，X=5。那么這個(gè)三角形就是直角三角形疤坝。（稱(chēng)勾股定理的逆定理）
來(lái)源：畢達(dá)哥拉斯樹(shù)是一個(gè)基本的幾何定理兆解，傳統(tǒng)上認(rèn)為是由古希臘的畢達(dá)哥拉斯所證明。據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯證明了這個(gè)定理后跑揉，即斬了百頭牛作慶祝锅睛，因此又稱(chēng)“百牛定理”。在中國(guó)历谍，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的一個(gè)特例现拒，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱(chēng)之為商高定理望侈；三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)鳛橐粋€(gè)證明印蔬。法國(guó)和比利時(shí)稱(chēng)為驢橋定理，埃及稱(chēng)為埃及三角形脱衙。我國(guó)古代把直角三角形中較短得直角邊叫做勾侥猬，較長(zhǎng)的直角邊叫做股例驹，斜邊叫做弦。
二退唠、定理用途
? ? ? ? 這個(gè)定理用途那就是已知直角三角形兩邊求解第三邊鹃锈，或者已知三角形的三邊長(zhǎng)度，證明該三角形為直角三角形或用來(lái)證明該三角形內(nèi)兩邊垂直瞧预。利用勾股定理求線段長(zhǎng)度這是勾股定理的最基本運(yùn)用屎债。
三、證明方法(其中一種)
? ? ? ? 勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法垢油，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一盆驹。勾股定理是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一滩愁，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一召娜。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例惊楼。在西方玖瘸，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方檀咙。
? ? ? ? 我們初步了解的證明方法便是歐幾里得證法雅倒。在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明：
設(shè)ABC為直角三角形，其中A為直角弧可。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊蔑匣，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二棕诵，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等裁良。
在這個(gè)定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：
如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等校套，則兩三角形全等价脾。（SAS）
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積笛匙。
任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）侨把。
證明的思路為：從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊妹孙。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，把上方的兩個(gè)正方形蠢正，通過(guò)等高同底的三角形骇笔，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。
設(shè)ABC為一直角三角形笨触，其直角為∠CAB懦傍。
其邊為BC、AB和CA旭旭，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH葱跋。
畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD持寄、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K娱俺、L稍味。
分別連接CF、AD荠卷，形成BCF模庐、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角油宜，因此C掂碱、A和G共線，同理可證B慎冤、A和H共線疼燥。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC蚁堤。
因?yàn)锳B=FB醉者，BD=BC，所以ABD≌FBC披诗。
因?yàn)锳與K和L在同一直線上撬即，所以四邊形BDLK=2ABD。
因?yàn)镃呈队、A和G在同一直線上剥槐，所以正方形BAGF=2FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB2宪摧。
同理可證才沧，四邊形CKLE=ACIH=AC2。
把這兩個(gè)結(jié)果相加绍刮，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL温圆，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB2+AC2=BC2孩革，即a2+b2=c2岁歉。
此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書(shū)第1.47節(jié)所提出的。由于這個(gè)定理的證明依賴(lài)于平行公理，而且從這個(gè)定理可以推出平行公理锅移，很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件熔掺，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。
? ? ? ? 勾股定理我覺(jué)得吧應(yīng)該是八上較簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)非剃。但是它運(yùn)用廣泛置逻，設(shè)計(jì)到很多關(guān)于直角三角形的問(wèn)題，在沒(méi)有了解澈透之前還是一臉蒙圈的备绽，在這了解之后我們能更好的運(yùn)用勾股定理券坞！
四、生活中的應(yīng)用
生活中勾股定理可以運(yùn)用在建房子還有橋梁上肺素；比如說(shuō)橋恨锚；橋的大部分都是由三角形這個(gè)基本幾何圖形所建造的；比如說(shuō)我們常見(jiàn)的甌江大橋倍靡，上面就有三角形猴伶，三角形中會(huì)有一條高，那個(gè)就是直角三角形塌西。因?yàn)槿切问撬袌D形中最不容易變形的他挎。是最穩(wěn)定牢固的用在建筑上對(duì)這個(gè)建筑會(huì)有氣到安全作用。而直角三角形又是其中的特殊三角形捡需。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
