19. 地下水動力學中的疊加原理

簡單地講烂翰，應(yīng)用疊加原理求解地下水運動的數(shù)學模型夯缺，就是將復雜模型分解為幾個可以求解的簡單模型，再將簡單模型的解合成為復雜模型的解甘耿。使用疊加原理是有條件的踊兜，后面會講到。

鏡像法也可看做疊加原理的應(yīng)用佳恬，其根據(jù)疊加形成的降深為 0 與水頭梯度為 0 的分割線與固定水頭邊界與隔水邊界相當捏境，用兩眼無限含水層的抽（注）水井疊加后模擬半無限含水層的一眼井工作所形成的滲流場。

以均質(zhì)毁葱、各向同性垫言、產(chǎn)狀水平、無限倾剿、垂向有源匯承壓含水層中地下水運動的數(shù)學模型為例

建立平面坐標系筷频。假設(shè)初始水頭面水平蚌成，有兩眼位置為 $W_1(x_1,y_1),W_2(x_2,y_2)$ 的完整井以 $Q_1,Q_2$ 的定流量進行抽水，則以水頭為變量的數(shù)學模型分別為

$\begin{cases} T\left(\frac{\partial^2H}{\partial x^2}+\frac{\partial^2H}{\partial y^2}\right)+W =S\frac{\partial H}{\partial t} & t>0,0\le r<\infty\\ H(x,y,0)=h_0(x,y) & 0\le r<\infty\\ H(x,y,t)=H_0 & t>0,r\to\infty\\ \lim\limits_{r_{w1}\to0}\big(r_{w1}\frac{\partial H}{\partial r_{w1}}\big)=\frac{Q_1}{2\pi T} & t>0\\ \lim\limits_{r_{w2}\to0}\big(r_{w2}\frac{\partial H}{\partial r_{w2}}\big)=\frac{Q_2}{2\pi T} & t>0 \end{cases} \tag{1}$

式中凛捏， $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 担忧， $r_{wi}=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}$ ， $i=1,2$ 坯癣。

這個模型我們沒有學過瓶盛，只了解 Theis 模型。

樸素的想法是示罗，抽水后位于 $(x,y)$ 的水頭應(yīng)該是抽水前的水頭減去抽水產(chǎn)生的降深惩猫。我們嘗試將模型 (1) 分解成熟知的模型。

首先鹉勒，初始流場是抽水前的水頭分布狀態(tài)帆锋，源匯及邊界條件在抽水前、后不會改變禽额。沒有抽水的地下水天然狀態(tài)可以用下面的模型描述：

$\begin{cases} T\left(\frac{\partial^2H_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2H_1}{\partial y^2}\right)+W =S\frac{\partial H_1}{\partial t} & t>0,0\le r<\infty\\ H_1(x,y,0)=h_0(x,y) & 0\le r<\infty\\ H_1(x,y,t)=H_0 & t>0,r\to\infty\\ \lim\limits_{r_{w1}\to0}\big(r_{w1}\frac{\partial H_1}{\partial r_{w1}}\big)=0 & t>0\\ \lim\limits_{r_{w2}\to0}\big(r_{w2}\frac{\partial H_2}{\partial r_{w2}}\big)=0 & t>0 \end{cases} \tag{2}$

(2) 中保留了井邊界條件并取值為 0锯厢，相當于抽水井不起作用。

我們再建立第一眼井抽水在整個滲流場產(chǎn)生降深的模型脯倒，抽水前降深為 0实辑，源匯項及外邊界的降深也為 0，這正好就是Theis 模型：

$\begin{cases} T\left(\frac{\partial^2s_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2s_1}{\partial y^2}\right) =S\frac{\partial s_1}{\partial t} & t>0,0\le r<\infty\\ s_1(r,0)=0 & 0\le r<\infty\\ s_1(r,t)=0 & t>0,r\to\infty\\ \lim\limits_{r_{w1}\to0}\big(r_{w1}\frac{\partial s_1}{\partial r_{w1}}\big)=-\frac{Q_1}{2\pi T} & t>0\\ \lim\limits_{r_{w2}\to0}\big(r_{w2}\frac{\partial s_1}{\partial r_{w2}}\big)=0 & t>0 \end{cases} \tag{3}$

(3) 中我們保留了第二眼井的邊界條件并取值為 0藻丢，相當于第二眼抽水井不起作用剪撬。

同理，第二眼井抽水在整個滲流場產(chǎn)生降深的模型為

$\begin{cases} T\left(\frac{\partial^2s_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2s_2}{\partial y^2}\right) =S\frac{\partial s_2}{\partial t} & t>0,0\le r<\infty\\ s_2(r,0)=0 & 0\le r<\infty\\ s_2(r,t)=0 & t>0,r\to\infty\\ \lim\limits_{r_1\to0}\big(r_1\frac{\partial s_1}{\partial r_1}\big)=0 & t>0\\ \lim\limits_{r_2\to0}\big(r_2\frac{\partial s_1}{\partial r_2}\big)=-\frac{Q_2}{2\pi T} & t>0 \end{cases} \tag{4}$

兩眼井同時抽水悠反，滲流場位于 $(x,y)$ 的水頭應(yīng)該是 $H(x,y)=H_1(x,y)-s_1(x,y)-s_2(x,y)$ 残黑。

記 $u_i=r_i^2S/(4Tt)$ ，則 $s_i$ 可以用 Theis 解計算 $s_i=\frac{Q}{4\pi T}W(u_i)\ (i=1,2)$

將 $H(x,y)$ 代入 (1) 驗證其是否是 (1) 的解斋否。注意到源匯項 $W$ 只在 (2) 的方程中出現(xiàn)一次梨水，故 $H(x,y)$ 滿足模型 (1) 的方程；非零的初始條件茵臭、非零的邊界條件在模型 (2)疫诽、(3)、(4) 中只出現(xiàn)一次旦委，故 $H(x,y)$ 滿足模型 (1) 的定解條件奇徒。

由此，將模型 (1) 分解為模型 (2)缨硝、(3)摩钙、(4) 分別求解，再將模型 (2)查辩、(3)腺律、(4) 的解合并為模型 (1) 的解奕短，這種方法就是疊加原理的應(yīng)用宜肉。

前面提到匀钧，疊加原理的應(yīng)用是有條件的。首先谬返，方程中水頭（或降深）與水頭（或降深）微分都是一次形式之斯，沒有交叉相乘項，源匯項也只出現(xiàn)一次遣铝，這樣就保證了相加后還能滿足方程佑刷，這種方程稱為線性方程；模型定解條件非零項只出現(xiàn)一次酿炸，保證了相加后還能滿足定解條件瘫絮。

下面給出完整的定義：

線性微分方程：設(shè) $\boldsymbol{L}$ 為線性微分算子，即 $\boldsymbol{L}\left[c_1u_1+c_2u_2\right]=c_1\boldsymbol{L}\left[u_1\right]+c_2\boldsymbol{L}\left[u_2\right]$ 成立填硕，則 $\boldsymbol{L}u=f$ 稱為 線性微分方程麦萤；

$f$ 稱為自由項。特別地扁眯，當 $f=0$ 時稱為 齊次線性微分方程壮莹。

線性方程中關(guān)于未知函數(shù)及其偏導數(shù)都是一次的，齊次方程中不包含其他的已知函數(shù)姻檀。模型 (1) - (4) 的方程都是線性的命满，除模型 (1) 外，其他方程都是齊次的绣版。定解條件也有類似的齊次性概念胶台。上述模型中，取值為 0 的定解條件都是齊次的杂抽。

線性定解問題： 如果微分方程是線性诈唬，定解條件也是線性，則稱為線性定解問題默怨。

疊加原理： 設(shè) $u_i$ 滿足線性方程(或線性定解條件)

$\boldsymbol{L}u_i=f_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$

則它們的線性組合 $u=\sum_{i=1}^nc_iu_i$ 必滿足方程（或定解條件） $\boldsymbol{L}u=\sum_{i=1}^nc_if_i$

總結(jié)
應(yīng)用疊加原理可以將一個非齊次的線性定解問題拆分成幾個自由項只出現(xiàn)一次的線性定解問題分別求解讯榕。

最后編輯于：2023.11.09 10:52:31

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