《普林斯頓微積分讀本》筆記

第1章：函數(shù)、圖像和直線(xiàn)

1.1 函數(shù)

函數(shù)是將一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)化為另一個(gè)對(duì)象的規(guī)則僧免，起始對(duì)象成為輸入刑赶，來(lái)自稱(chēng)為定義域的集合，返回對(duì)象成為輸入懂衩，來(lái)自稱(chēng)為上域的集合撞叨。

• 一個(gè)函數(shù)必須給每個(gè)有效的輸入指定唯一的輸入。
• 值域是所有可能的輸出所組成的集合浊洞。
• 定于域如果沒(méi)有給出牵敷，一般包括實(shí)數(shù)集盡可能多的部分。需注意：

  1. 分?jǐn)?shù)的分母不能為零法希。
  2. 不能取一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根（或四次根枷餐、六次根等）。
  3. 不能取一個(gè)負(fù)數(shù)或零的對(duì)數(shù)铁材。

• 垂線(xiàn)檢查：如果一個(gè)圖形任何垂線(xiàn)與其相交多于一次尖淘，那么它就不是函數(shù)的圖像；反之如果沒(méi)有一條垂線(xiàn)和圖像相交多于一次著觉，那么它就是函數(shù)的圖像村生。

1.2 反函數(shù)

給定一個(gè)函數(shù)?，在?的值域中選擇y饼丘，在理想狀況下趁桃，僅有一個(gè)x值滿(mǎn)足?(x)=y。如上述理想狀況對(duì)值域中每個(gè)y都成立肄鸽，即不同的輸入對(duì)應(yīng)不同的輸出卫病，則可定義一個(gè)新函數(shù)，它將逆轉(zhuǎn)變換典徘，從輸出y出發(fā)蟀苛，這個(gè)函數(shù)發(fā)現(xiàn)有且僅有一個(gè)輸入x滿(mǎn)足?(x)=y。這個(gè)新函數(shù)稱(chēng)為?的反函數(shù)逮诲，寫(xiě)作?^-1帜平。

• ?^-1 的定義域和?的值域相同。

• ?^-1 的值域和?的定義域相同梅鹦。

• ?^-1(y) 的值就是滿(mǎn)足 ?(x)=y 的x裆甩，所以，如果 ?(x)=y齐唆，那么 ?^-1(y)=x

• 水平線(xiàn)檢驗(yàn)：如果每一條水平線(xiàn)和函數(shù)的圖像相交至多一次嗤栓，那么這個(gè)函數(shù)就有一個(gè)反函數(shù)；如果有水平線(xiàn)和圖像相交多于一次箍邮，那么這個(gè)函數(shù)就沒(méi)有反函數(shù)茉帅。

• 求反函數(shù)：如果知道函數(shù)的圖像叨叙，反函數(shù)就是原函數(shù)沿著y=x這條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖像。

• 反函數(shù)的反函數(shù)：如果?有反函數(shù)担敌，那么對(duì)于在?定義域中所有x摔敛，?^-1(?(x))=x 均成立；同樣全封，對(duì)于在?值域當(dāng)中所有y马昙，都有 ?(?^-1(y))=y。即?^-1是?的反函數(shù)刹悴，且?是?^-1的反函數(shù)行楞。也就是說(shuō)，反函數(shù)的反函數(shù)就是原始函數(shù)土匀。

1.4 奇函數(shù)和偶函數(shù)

如果對(duì)于?定義域里所有x都有 ?(-x) = ?(x)子房，則?是偶函數(shù)。
如果對(duì)于?定義域里所有x都有 ?(-x) = -?(x)就轧，則?是奇函數(shù)证杭。

• 偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸具有鏡面對(duì)稱(chēng)性。
• 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)有180°的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性妒御。
• 兩個(gè)奇函數(shù)之積是偶函數(shù)解愤，兩個(gè)偶函數(shù)之積仍為偶函數(shù)，奇函數(shù)和偶函數(shù)之積是奇函數(shù)乎莉。

1.5 線(xiàn)性函數(shù)的圖像

形如 ?(x)=mx+b 的函數(shù)叫做線(xiàn)性函數(shù)送讲。因?yàn)樗鼈兊膱D像是直線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率是m

• 如果已知直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(x₀,y₀)惋啃，斜率為m哼鬓，則 y-y₀ = m(x-x₀)
• 如果一條直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，則它的斜率等于 (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

1.6 常見(jiàn)函數(shù)及其圖像

1. 多項(xiàng)式
   多項(xiàng)式是以x的非負(fù)次冪建立边灭，以1异希、x、x²绒瘦、x³等為基本項(xiàng)宠互，用實(shí)數(shù)同這些基本項(xiàng)相乘，最后把有限個(gè)項(xiàng)加起來(lái)椭坚。

   p(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+……+a₂x²+a₁x+a₀

   最大的冪指數(shù)n叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。

   • 二次函數(shù)：p(x)=ax²+bx+c
     根據(jù)判別式的符號(hào)可判斷二次函數(shù)有幾個(gè)解搏色，通常用希臘字母Δ表示判別式 Δ=b²-4ac善茎。若 Δ＞0，有兩個(gè)不同的解频轿；若 Δ=0垂涯，只有一個(gè)解烁焙；若 Δ<0，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解耕赘。對(duì)于前兩種情況骄蝇，解為：
     

2. 有理函數(shù)
   形如 p(x)/q(x) ，其中p和q為多項(xiàng)式的函數(shù)操骡，叫作有理函數(shù)九火。最簡(jiǎn)單的有理函數(shù)是多項(xiàng)式本身，即q(x)為1的有理函數(shù)册招。另一種簡(jiǎn)單的例子是1/xⁿ岔激，其中n為正整數(shù)。
   

3. 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)
   一般 y=a^x是掰，(a為常數(shù)且a＞0虑鼎，a≠1)叫作指數(shù)函數(shù)
   

   如果a^x=N，（a>0键痛，且a≠1）炫彩，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log_aN絮短，讀作以a為底N的對(duì)數(shù)江兢，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)戚丸。

4. 帶有絕對(duì)值的函數(shù)
   

第2章：三角函學(xué)回顧

2.1 基礎(chǔ)知識(shí)

• 旋轉(zhuǎn)一周划址，我們說(shuō)2π弧度
  

  半徑為1個(gè)單位的圓，周長(zhǎng)是2π個(gè)單位限府，這個(gè)元的一個(gè)扇形弧長(zhǎng)就是這個(gè)扇形的圓心角的弧長(zhǎng)
  

• 正弦夺颤、余弦、正切：
  

• 余割胁勺、正割世澜、余切：
  

• 常用查詢(xún)表：
  

2.3 三角函數(shù)的圖像

正弦、余弦署穗、正切函數(shù)的圖像都是周期的

• 正弦函數(shù)：
  

  
  sin(x) 是x的周期函數(shù)寥裂，其周期為2π。該圖像關(guān)于遠(yuǎn)點(diǎn)180°點(diǎn)對(duì)稱(chēng)案疲，故 sin(x) 是x的奇函數(shù)封恰。

• 余弦函數(shù)：
  

  
  該圖像關(guān)于y軸鏡面對(duì)稱(chēng)，故 cos(x) 是x的偶函數(shù)褐啡。

• 正切函數(shù)：
  

  
  由圖可知 tan(x) 是x的奇函數(shù)诺舔。
  當(dāng)x是π/2的奇數(shù)倍時(shí)，y = tan(x) 有垂直漸近線(xiàn)（因而此處是無(wú)定義的）

2.4 三角恒等式

• 正切和余切可以用正弦和余弦來(lái)表示：
  

• 畢達(dá)哥斯拉定理（用三角函數(shù)表示）： cos²(x)+sin²(x) = 1，對(duì)于任何x都成立低飒。
  現(xiàn)在等式兩邊同除以 cos²(x)许昨，得到：1+tan²(x) = sec²(x)
  或者同除以sin²(x)，得到：cot²(x)+1 = csc²(x)

• 角的和與倍角公式：
  sin(A+B) = sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)
  cos(A+B) = cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)
  sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
  cos(2x) = 2cos²(x)-1 = 1-2sin²(x)

第3章：極限導(dǎo)論

3.1 極限：基本思想

當(dāng)x接近于α?xí)r褥赊，?(x) 的值就會(huì)極度接近L糕档。

3.1 左極限和右極限

如果有

則等價(jià)于

如果左極限和右極限不相等，則

不存在残家。

3.3 何時(shí)不存在極限