正態(tài)樣本標(biāo)準(zhǔn)差與(n-1)自由度卡方分布關(guān)系證明

1予权、一組相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量經(jīng)過正交變換后仍然是相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量站刑。

2、 $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim\chi(n-1)$ 證明：

$\begin{align} \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} &=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}{\sigma^2}\\ &=\sum_{i=1}^n(\frac{x_i}{\sigma}-\frac{\overline x}{\sigma})^2\\ &=\sum_{i=1}^n(\frac{x_i-\mu}{\sigma}-\frac{\overline x-\mu}{\sigma})^2\\ &=\sum_{i=1}^n(Z_i-\overline Z)^2\\ &=\sum_{i=1}^n Z_i^2-n\overline Z^2 \end{align}$

構(gòu)造正交矩陣A敲街，使得Y = AZ团搞；

則? $\sum{Y_i^2} =Y^TY = Z^TA^TAZ = \sum{Z_i^2}$

令 $A_1= (\frac{1}{\sqrt n},\frac{1}{\sqrt n},...,\frac{1}{\sqrt n})$ ?.

$\begin{align} n\overline Z^2 &= \frac{(Z_1+Z_2+...+Z_n)^2}{n}\\ &=(A_1Z)^2\\&=Y_1^2 \end{align}$

所以有：

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