凸集的回收方向和回收錐
定義：設(shè)集合 
為非空凸集赁还，若向量 
滿足對(duì)于 
及 
有 
成立独悴，則稱 是 的回收方向(recession direction)耸袜。
中回收方向全體構(gòu)成的集合稱為 的回收錐(recession cone)，記為 
昧捷。
注意：回收錐是一個(gè)凸錐闲昭，并且原點(diǎn)包含在回收錐中，我們稱為零回收方向靡挥。
Theorem（回收錐定理）
設(shè)集合 為非空閉凸集序矩，則
- 回收錐 是閉凸集合；
- 向量
當(dāng)且僅當(dāng)存在 
使得對(duì)于 
滿足 跋破。
思考題：假設(shè)集合為非空凸集簸淀，我們又下面的結(jié)論成立：
%20%5Csubset%20R_%7BCL(C)%7D)
其中)
表示某個(gè)集合的閉包。
回收錐線性空間
定義： 非空凸集 的回收錐的線性空間 (lineality space) 記為 
毒返，定義為：
%2C)
即 
當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于 有 
租幕，方向 與方向 
均為 中的回收方向。
凸函數(shù)上鏡圖回收錐
Theorem（非空水平集的公共回收錐）
設(shè)函數(shù) ![f: \mathbb{R}^n \mapsto (-\infty, \infty]](https://math.jianshu.com/math?formula=f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Cmapsto%20(-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D)
是正常閉凸函數(shù)拧簸，則所有非空水平集：
%20%5Cleq%20%5Cgamma%5C%7D%2C%20%5Cgamma%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D)
有相同的回收錐劲绪，記為 
，且
%20%5Cin%20R_%7B%5Ctext%7Bepi%7D(f)%7D%5C%7D%2C)
其中 %7D)
是 
上鏡圖的回收錐盆赤。
凸函數(shù)回收錐
定義： 設(shè) 為正常閉凸函數(shù)贾富， 的非空水平集的回收錐稱為 的回收錐，記為 牺六〔梗回收錐 中的任意一個(gè)向量都稱為 的回收方向。
凸函數(shù)函數(shù)值變化：
- 函數(shù)值沿著其回收方向?yàn)?strong>非增的淑际；
- 沿著非回收方向 的函數(shù)值最終為遞增的汇鞭；
- 在有效域
)
內(nèi)沿某方向函數(shù)值增加，該方向必然非 的回收方向庸追。
回收方向與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
定義： 設(shè) 為 
中閉的正常凸函數(shù)， 的回收方向線性空間定義為其回收錐 的線性空間台囱，記為 
淡溯。
若 
，則有：
-
與 均為函數(shù) 的回收方向簿训，也是 所有非空水平集的回收方向咱娶。
因凸函數(shù)函數(shù)值沿著回收方向非增米间，則有：
%20%3D%20f(x)%2C%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5Coperatorname%7Bdom%7D(f)%2C%20%5Cforall%20%5Calpha%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D)
故 沿 方向的函數(shù)值為常數(shù)，也稱 為 的常值空間（space of consistency）膘侮。所以常值空間其實(shí)就是函數(shù)梯度為
的方向屈糊。
凸函數(shù)的回收函數(shù)
定義： 設(shè) ![f: \mathbb{R}^n \rightarrow (-\infty, \infty]](https://math.jianshu.com/math?formula=f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Crightarrow%20(-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D)
為閉的正常凸函數(shù)，其上鏡圖的回收錐 對(duì)應(yīng)的正常閉凸函數(shù)稱為 的回收函數(shù)（recession function）琼了，記為 )
逻锐，滿足 )%20%3D%20R_%7B%5Ctext%7Bepi%7D(f)%7D)
。
回收函數(shù)顯式表達(dá)
Theorem（回收函數(shù)與方向?qū)?shù)）
設(shè) 是正常閉凸函數(shù)雕薪，對(duì) )
和 
有：
%20%3D%20%5Csup_%7B%5Calpha%20%3E%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%20%2B%20%5Calpha%20d)%20-%20f(x)%7D%7B%5Calpha%7D)
%20-%20f(x)%7D%7B%5Calpha%7D.)
根據(jù)表達(dá)式昧诱，可以發(fā)現(xiàn)，回收函數(shù)與有著線性的關(guān)系所袁。當(dāng)
時(shí)就有%3D%5Clambda%20r_f(d_2))
回收函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)
設(shè) ![f_i: \mathbb{R}^n \mapsto (-\infty, \infty], i = 1, \ldots, m](https://math.jianshu.com/math?formula=f_i%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Cmapsto%20(-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D%2C%20i%20%3D%201%2C%20%5Cldots%2C%20m)
盏档，是正常閉凸函數(shù)，若 %20%3D%20f_1(x)%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20f_m(x))
是正常閉凸函數(shù)燥爷，則有：
%20%3D%20r_%7Bf_1%7D(d)%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20r_%7Bf_m%7D(d)%2C%20%5Cforall%20d%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En.)
