卡爾曼濾波尤其適用于動態(tài)系統(tǒng)滋恬，這種方法對于內(nèi)存要求極低而運算速度快，且能夠保持較好的計算精度抱究，這使得這種方法非常適合解決實時問題和應(yīng)用于嵌入式系統(tǒng)恢氯，也就是說，卡爾曼濾波天然的適用于解決艦艇指控系統(tǒng)的航跡推算問題鼓寺。在接下來的內(nèi)容里勋拟，我們將逐步領(lǐng)會卡爾曼濾波的這些絕佳特點。

不過妈候，現(xiàn)在我們先從復(fù)雜的艦艇航跡推算問題中解脫出來敢靡，從一個更加熟悉和簡單的問題中來理解這個濾波算法的思想、過程和算法州丹。

假設(shè)有一輛無人車WALL-E醋安，需要導(dǎo)引它從A點到達B點，共有兩種手段（圖1）：

• 利用WALL-E本身的GPS系統(tǒng)進行定位墓毒。

• 利用開發(fā)者寫下的WALL-E運動模型和算法來推斷自身的位置吓揪。

  
  
  圖1：定位的基本問題.png

顯然，兩種方法都有一定的誤差所计。如果單獨采用某一種方法進行定位柠辞，WALL-E在誤差的影響下將無法到達B點。因此主胧，需要將兩種方法結(jié)合起來叭首，得到一個更加精確的結(jié)果，這就是卡爾曼濾波要解決的問題踪栋。

2 問題求解

卡爾曼濾波方法如何看待我們的問題呢焙格？在探究這個問題之前，我們先對問題進行抽象夷都，并用數(shù)學(xué)語言來描述我們的問題眷唉。

2.1 問題抽象和符號系統(tǒng)

我們用矢量來描述WALL-E的運動狀態(tài)，這個列矢量包括位置矢量和速度矢量兩個分量囤官。在WALL-E的問題上冬阳，我們現(xiàn)在不知道位置和速度的準確值，但是知道WALL-E的運動模型滿足狀態(tài)方程党饮，定位的方法肝陪，也即觀測WALL-E運動狀態(tài)的方法滿足觀測方程. 當然，我們也知道刑顺，這兩種方法都存在一定的誤差氯窍，那么我們的問題就可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題——

在這一優(yōu)化問題中饲常，目標函數(shù)是要使預(yù)測（估計）誤差最小，同時約束于估計方法和的條件下狼讨。在卡爾曼濾波中不皆，我們的估計原則（也就是最小化估計誤差的原則）是最小方差無偏估計^[1]，我們將通過后面的過程分析來說明這一點熊楼。

在我們正式開始引入公式分析卡爾曼濾波問題之前，我們還必須解決一個問題------把連續(xù)的線性系統(tǒng)離散化能犯，也就是將連續(xù)時域問題轉(zhuǎn)化為時間序列問題鲫骗。當然，目前我們只討論線性系統(tǒng)的情況踩晶，關(guān)于非線性系統(tǒng)問題执泰，我們有擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filtering, EKF）和無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filtering, UKF）兩種方法來求解。

補充內(nèi)容------連續(xù)線性時變系統(tǒng)的離散化
設(shè)連續(xù)線性時變系統(tǒng)的時域狀態(tài)方程為

若采樣周期為渡蜻，則從時刻到時刻术吝，有

令，茸苇，則離散化的狀態(tài)方程為

通過對線性系統(tǒng)的離散化處理排苍，我們現(xiàn)在可以考慮每一個時刻WALL-E的運動狀態(tài)。接下來学密，我們將用來表示在時刻運動狀態(tài)的最優(yōu)估計值淘衙；用表示用時刻對時刻的狀態(tài)預(yù)測值；用表示對時刻綜合預(yù)測和觀測兩種方法的最優(yōu)估計值腻暮。

2.2 過程詳解

在估計WALL-E位置的問題上彤守，假定我們已經(jīng)知道它是勻速直線運動，WALL-E身上還攜帶有一個GPS傳感器可以提供它的位置信息哭靖，WALL-E在前進過程中可能會遇到一些情況具垫，比如停止前進或是受到風(fēng)的影響。

加入我們已知的是WALL-E上一個時刻的最佳估計狀態(tài)试幽，即k-1時刻的位置和速度筝蚕，要求的是下一時刻即k時刻的最佳估計狀態(tài)，即k時刻的位置和速度抡草，我們可以發(fā)現(xiàn)有兩種方法可以得到它的k時刻的狀態(tài)：

一種是通過WALL-E設(shè)定程序計算得到下一秒的狀態(tài)饰及，比如現(xiàn)在設(shè)定是勻速直線運動，那么下一秒的速度應(yīng)該是恒定不變的康震，而位置則是在上一秒位置的基礎(chǔ)上加上時間乘以速度即一秒內(nèi)走過的路程燎含，但是現(xiàn)實生活中并不是理想的，機器人會受到摩擦力腿短、風(fēng)力等的影響屏箍，當然也可能會有頑皮的小孩擋住他前進的道路绘梦，這些因素使得WALL-E在k時的真實狀態(tài)與我們計算得到的數(shù)據(jù)有所不同。

另一種是通過WALL-E所攜帶的GPS來確定它的位置赴魁，因為GPS是測量出的就是WALL-E的實時狀態(tài)卸奉，因此它比較準確。但是GPS測量k時刻的狀態(tài)有兩個問題颖御，一是GPS只能測出WALL-E的位置榄棵，而測不出它的速度；二是GPS傳感器測量的時候也會有儀器的誤差潘拱，只能說它是比較準確的疹鳄，比較接近真實值的。

那么接下來問題來了芦岂，我們?nèi)绾蔚玫絢時刻WALL-E的真實狀態(tài)呢瘪弓？

我們將第一種方法得到的狀態(tài)值稱為預(yù)測值，第二種方法得到的狀態(tài)值稱為測量值禽最，對汽車的最佳估計就是將這兩部分信息結(jié)合起來腺怯，盡量的去逼近k時刻的真實值。

下面再深入一些思考川无，怎么將這兩部分結(jié)合起來呛占？

在初始時間k-1， 是WALL-E的最佳估計值懦趋，WALL-E其實可以是估計值附近的任何位置栓票，并且這種不確定性由該概率密度函數(shù)描述。WALL-E最有可能在這個分布的平均值附近愕够。在下一個時間走贪，估計的不確定性增加，用一個更大的方差表示惑芭，這是因為在時間步驟k-1和k之間坠狡，WALL-E可能收到了風(fēng)力的影響，或者腳可能向前滑了一點遂跟，因此逃沿，它可能已經(jīng)行進了與模型預(yù)測的距離不同的距離。

WALL-E位置的另一個信息來源來自測量幻锁，方差表示誤差測量的不確定性凯亮，真正的位置同樣可以是平均值附近的任何位置。

預(yù)測值和測量值哄尔，對WALL-E的最佳估計是將這兩部分信息結(jié)合起來假消，將兩個概率函數(shù)相乘得到另一個高斯函數(shù)，該估計值的方差小于先前估計值岭接，并且該概率密度函數(shù)的平均值為我們提供了WALL-E位置的最佳估計富拗。

2.3 從控制論角度分析

    為了讓卡爾曼濾波器具體可感臼予，在進行公式推導(dǎo)之前，我們先進行原理的理解和模型的建立啃沪。
    假設(shè)現(xiàn)在有一個宇宙飛船粘拾，為了讓這個宇宙飛船能夠在宇宙空間中平穩(wěn)運行，我們需要知道他的發(fā)動機內(nèi)部溫度创千，我們知道燃料進量等信息缰雇，但是我們無法把傳感器直接加在發(fā)動機內(nèi)部，因為會被融化追驴，但是如果我們?nèi)绻軌蛘业?目的狀態(tài)“內(nèi)部溫度”和另一狀態(tài)的關(guān)系寓涨，就能夠通過建立聯(lián)系來得知內(nèi)部溫度。因此我們把傳感器加在發(fā)動機外部氯檐，測量發(fā)動機外部溫度，我們稱它為測量狀態(tài)体捏。
    如果說我們可以建立相對完善的數(shù)學(xué)模型來表達這個實際問題冠摄，我們就可以通過“燃料進量”等已知因素（在此我們稱之為 控制狀態(tài)）和測量狀態(tài)“發(fā)動機外部溫度”來 估測目的狀態(tài)“內(nèi)部溫度”谬以。
     建立模型的目的在于愧驱， 使目的狀態(tài) —— 內(nèi)部溫度的估計值 ， 無限趨近收斂于真實的外部溫度断序，由于我們的數(shù)學(xué)模型足夠完善年栓，只要我們讓測量狀態(tài)——外部溫度的估計值收斂于真實測量值拆挥，目的狀態(tài)自然也與之匹配。

圖2：宇宙飛船模型框圖.png

   但是某抓，如果模型對于測量狀態(tài)的估計值和測量值 有偏差怎么辦呢纸兔，我們引入控制論的思想，把測量狀態(tài)的真實值和測量值的差值 反饋回數(shù)學(xué)模型否副，對模型進行修正汉矿。

圖3：加入反饋后的宇宙飛船模型.png

   接下來，我們將這個實際的例子抽象一下备禀。

圖4：卡爾曼濾波器初步抽象模型.jpg

    我們將測量狀態(tài)和目的狀態(tài)之間的聯(lián)系洲拇，用系數(shù)矩陣C表示，目的狀態(tài)隨著時間變化的規(guī)律我們用x對時間求導(dǎo)來表示（后續(xù)的例子中曲尸，我們將會解釋另外一種目的狀態(tài)與時間建立關(guān)系的方法——抽樣）赋续，求導(dǎo)后的x受目的狀態(tài)與控制狀態(tài)的影響,我們將這種影響關(guān)系用系數(shù)矩陣AB表示。

    我們回到初衷——使模型的目的狀態(tài)估計值和實際問題的目標狀態(tài)值趨同另患，那么我們將估計值收斂于實際值之前的誤差記為e纽乱，

以下，我們將進行e的運算推導(dǎo)

設(shè)：

則有實際目標變量的表達式：

數(shù)學(xué)模型中目標變量的表達式：

實際模型中測量變量的表達式：

數(shù)學(xué)模型中測量變量的表達式：

將目標變量的實際值和估計值相減：

將上述方程帶入誤差e的表達式昆箕，我們可得出誤差e的解析解：

從推導(dǎo)結(jié)果中我們不難看出迫淹，估計值和實際值的誤差隨時間呈指數(shù)形式變化秘通，當（F-KH）<1時，隨著時間的推移敛熬，會無限趨近于零肺稀，也就是意味著估計值和實際值相吻合。這就是為什么卡爾曼濾波器可以完美預(yù)測出目標狀態(tài)值的原理应民。

    當然话原，有人會說，如果不引入這個卡爾曼增益诲锹，只要A<1繁仁，同樣會導(dǎo)致e收斂于0，這也就說明了卡爾曼濾波器的意義——更快減小預(yù)測的誤差归园，得到最優(yōu)值黄虱。

2.4 過程分析

在估計WALL-E位置的問題上，我們不知道位置和速度的準確值庸诱，但是我們可以給出一個估計區(qū)間（圖5.a）捻浦。卡爾曼濾波假設(shè)所有的變量是隨機的且符合高斯分布（正態(tài)分布）桥爽。每個變量有一個均值和一個方差 （圖5.b）朱灿。而圖5.c則表示速度和位置是相關(guān)的。

圖5：估計的不確定性.png

假如我們已知上一個狀態(tài)的位置值钠四，現(xiàn)在要預(yù)測下一個狀態(tài)的位置值盗扒。如果我們的速度值很高，我們移動的距離會遠一點缀去。相反侣灶，如果速度慢缕碎，WALL-E不會走的很遠炫隶。這種關(guān)系在跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)時很重要，它給了我們更多的信息：一個觀測值告訴我們另一個觀測值可能是什么樣子阎曹。這就是卡爾曼濾波的目的------從所有不確定信息中提取有價值的信息伪阶。

2.4.1 利用矩陣描述問題

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計知識，我們知道這種兩個觀測值（隨機變量）之間的關(guān)系可以通過一個協(xié)方差矩陣

描述（圖6）处嫌。

圖6：協(xié)方差矩陣對變量相關(guān)性的反映.png

我們假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)的分布為高斯分布（正態(tài)分布）栅贴，所以在時刻我們需要兩個信息：最佳預(yù)估值及其協(xié)方差矩陣（如式(2)所示）。

下一步熏迹，我們需要通過時刻的狀態(tài)來預(yù)測時刻的狀態(tài)檐薯。請注意，我們不知道狀態(tài)的準確值，但是我們的預(yù)測函數(shù)并不在乎坛缕，它僅僅是對時刻所有可能值的范圍進行預(yù)測轉(zhuǎn)移墓猎，然后得出一個k時刻新值的范圍。在這個過程中赚楚，位置和速度的變化為

我們可以通過一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來描述這個轉(zhuǎn)換關(guān)系

同理毙沾，我們更新協(xié)方差矩陣為

2.4.2 考慮系統(tǒng)控制情況時的狀態(tài)描述

到目前為止，我們考慮的都是勻速運動的情況宠页，也就是系統(tǒng)沒有對WALL-E的運動狀態(tài)進行控制的情況左胞。那么，如果系統(tǒng)對WALL-E進行控制举户，例如發(fā)出一些指令啟動或者制動輪子烤宙，對這些額外的信息，我們可以通過一個向量來描述這些信息俭嘁，并將其添加到我們的預(yù)測方程里作為一個修正躺枕。假如我們通過發(fā)出的指令得到預(yù)期的加速度，運動狀態(tài)方程就更新為

引入矩陣表示為

式中稱為控制矩陣供填，稱為控制向量（例如加速度）拐云。當然，如果沒有任何外界動力影響的系統(tǒng)捕虽，可以忽略這一部分。

2.4.3 不確定性的影響

我們增加另一個細節(jié)坡脐，假如我們的預(yù)測轉(zhuǎn)換矩陣不是100%準確呢泄私，會發(fā)生什么？如果狀態(tài)只會根據(jù)系統(tǒng)自身特性演變备闲，那樣將不會有任何問題晌端。如果所有外界作用力對系統(tǒng)的影響可以被計算得十分準確，那樣也不會有任何問題恬砂。但是如果有些外力我們無法預(yù)測咧纠，例如我們在跟蹤一個四軸飛行器，它會受到風(fēng)力影響泻骤；或者在跟蹤一個輪式機器人漆羔，輪子可能會打滑，地面上的突起會使它減速狱掂。我們無法跟蹤這些因素演痒，而這些不確定事件發(fā)生時，預(yù)測方程將會失靈趋惨。因此鸟顺，我們將這些不確定性統(tǒng)一建模，在預(yù)測方程中增加一個不確定項器虾。

通過這種方式讯嫂，使得原始狀態(tài)中的每一個點可以都會預(yù)測轉(zhuǎn)換到一個范圍蹦锋，而不是某個確定的點（圖7.a）。可以這樣描述------中的每個點移動到一個符合方差的高斯分布里（圖7.b）欧芽。換言之莉掂，我們把這些不確定因素描述為方差為的高斯噪聲，并用表示渐裸。這樣就會產(chǎn)生一個新的高斯分布巫湘，方差不同，但是均值相同（圖7.c）昏鹃。

圖7：在高斯噪聲下的狀態(tài)預(yù)測.png

通過對的疊加擴展尚氛，得到完整的預(yù)測轉(zhuǎn)換方程為

新的預(yù)測轉(zhuǎn)換方程只是引入了已知的系統(tǒng)控制因素。新的不確定性可以通過之前的不確定性計算得到洞渤。到這里阅嘶，我們得到了一個模糊的估計范圍------通過和描述的范圍。

2.4.4通過觀測校正預(yù)測

我們之前的工作仍然是在使用運動模型一種方法來估計系統(tǒng)的狀態(tài)载迄，現(xiàn)在讯柔，我們要把另一種方法，也就是觀測（本問題中為GPS定位）考慮進來护昧，以進一步修正對運動狀態(tài)的估計（圖8）魂迄。

圖8：預(yù)測對預(yù)測范圍的約束.png

我們用矩陣來描述觀測方法的作用，于是有

再加入觀測噪聲惋耙，觀測方程為

圖9：觀測矩陣.png

從控制論的角度出發(fā)捣炬，我們定義新息（也即觀測值與預(yù)測值的誤差）為

當然我們也知道，觀測本身也會存在誤差绽榛，比如本問題中的GPS定位精度僅有10m. 因此湿酸，我們用矩陣來描述這種不確定性（圖10及圖11.a）。

圖10：觀測誤差.png

這時灭美，我們新息的協(xié)方差為

現(xiàn)在我們需要把兩種方法得到的可能性融合起來（圖11.b）推溃。對于任何狀態(tài)，有兩個可能性：1. 傳感器的觀測值更接近系統(tǒng)真實狀態(tài)届腐；2. 模型推算的估計值更接近系統(tǒng)真實狀態(tài)铁坎。如果有兩個相互獨立的獲取系統(tǒng)狀態(tài)的方式，并且我們想知道兩者都準確的概率值犁苏，于是我們可以通過加權(quán)來解決更相信誰的問題（圖11.c）厢呵。

圖11：使用觀測更新預(yù)測.png

我們現(xiàn)在知道，系統(tǒng)模型的狀態(tài)預(yù)測與對系統(tǒng)的狀態(tài)觀測服從高斯分布傀顾，把這個問題抽象一下就是——

根據(jù)我們的一個估計準則------最小方差估計襟铭，那么這個問題可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題求解

求導(dǎo)數(shù)（差分）得

則，從而

當維度高于一維時，我們用矩陣來描述寒砖，有

這里的稱為卡爾曼增益（Kalman Gain）赐劣，也就是我們在解決更信任哪種方法時的偏向程度。

如果我們從兩個獨立的維度估計系統(tǒng)狀態(tài)哩都，那么根據(jù)系統(tǒng)模型的預(yù)測為

通過傳感器的觀測為

我們結(jié)合著兩種方法得到

由可知魁兼，卡爾曼增益為

將約去（中也含有項），得

此時的卡爾曼增益實際為

我們最后再來驗證一下估計的無偏性——

這里我們設(shè)時刻的真值為漠嵌，由于

由于（從初值而來的無偏傳遞性）可知咐汞，即卡爾曼濾波滿足無偏估計準則。顯然儒鹿，其中要求系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲是不相關(guān)化撕、零期望的白噪聲，且是線性系統(tǒng)约炎，初始時刻的狀態(tài)估計是無偏的植阴。當這些條件不能滿足時，卡爾曼濾波的估計結(jié)果是有偏的圾浅。

2.5 過程整理

到這里掠手，我們已經(jīng)獲得了卡爾曼濾波的全部要素。我們可以把整個過程總結(jié)為3個基本假設(shè)

假設(shè)一和都是零均值高斯白噪聲狸捕，也即喷鸽，

假設(shè)二與無關(guān)，也即

假設(shè)三系統(tǒng)初值的均值和方差已知灸拍，且與均不相關(guān)做祝。

以及5個基本方程 方程一狀態(tài)預(yù)測

方程二協(xié)方差預(yù)測

方程三卡爾曼增益

方程四狀態(tài)更新

方程五協(xié)方差更新

3 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

協(xié)方差矩陣的對角線元素就是方差。把矩陣P的對角線元素求和株搔，定義為矩陣的跡^[2][3]剖淀。

最小均方差就是使得上式最小纯蛾，對未知量K求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)等于0纤房，就能找到K的值。

注意這個計算式翻诉，轉(zhuǎn)換矩陣式常數(shù)炮姨，測量噪聲協(xié)方差也是常數(shù)。因此的大小將與預(yù)測值的誤差協(xié)方差有關(guān)碰煌。不妨進一步假設(shè)舒岸，上面式子中的矩陣維數(shù)都是1*1大小的，并假=1芦圾，不等于0蛾派。那么可以寫成如下：

所以越大，那么就越大，權(quán)重將更加重視反饋洪乍，如果等于0眯杏，也就是預(yù)測值和真實值相等，那么壳澳，估計值就等于預(yù)測值（先驗）岂贩。

     將計算出的這個K反代入Pk中，就能簡化Pk巷波，估計協(xié)方差矩陣Pk的：

因此遞推公式中每一步的K就計算出來了萎津，同時每一步的估計協(xié)方差也能計算出來。但K的公式中好像又多了一個我們還未曾計算出來的東西 他稱之為預(yù)測值和真實值之間誤差的協(xié)方差矩陣抹镊。它的遞推計算如下：

    由此也得到了$P_{k|k-1}$的遞推公式锉屈。因此我們只需設(shè)定最初的$P_k$就能不斷遞推下去。

4 仿真分析

現(xiàn)在我們使用卡爾曼濾波來解決一個實際問題髓考。在這個仿真試驗中部念，我們提供了一個基于Python 3.7的腳本程序。接下來我們將結(jié)合這個腳本程序來解釋如何使用代碼復(fù)現(xiàn)離散卡爾曼濾波算法氨菇。而實際上儡炼，不論采用何種編程語言，其復(fù)現(xiàn)思路都是一致的查蓉，無非就是將數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)換為代碼描述乌询。

   # Python 3.7 編譯環(huán)境
   # 導(dǎo)入第三方庫numpy和matplotlib
   import numpy as np # 用于進行數(shù)學(xué)計算
   import matplotlib.pyplot as plt # 用于繪圖

   plt.rcParams['font.sans-serif']=['Kaiti'] # 用來正常顯示中文標簽
   plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False # 用來正常顯示負號

   # 類就是一個模板，模板里可以包含多個函數(shù)豌研，函數(shù)里實現(xiàn)一些功能
   # 對象則是根據(jù)模板創(chuàng)建的實例妹田，通過實例，對象可以執(zhí)行類中的函數(shù)
   class KalmanFilter(object):
      # python的面向?qū)ο缶幊讨械腳_init__()方法鹃共，用以初始化新創(chuàng)建對象的狀態(tài)
      # self為實例本身鬼佣，F(xiàn),B,H,Q,R,P,x0都是實例self的屬性
      def __init__(self, F = None, B = None, H = None, Q = None, R = None, \
      P = None, x0 = None): # 所有矩陣置空
         
         # 異常處理，拋出一個異常：“設(shè)置適當?shù)南到y(tǒng)狀態(tài).”
         # 也就是說霜浴，F(xiàn)矩陣和H矩陣不能為空晶衷，這是理所當然的
         # F矩陣由我們的運動模型來確定，H矩陣由我們的觀測方法來確定
         if(F is None or H is None):
            raise ValueError("Set proper system dynamics.")
         
         # F.shape用于返回矩陣F的尺度阴孟，是一個二維列表
         # F.shape[0]為行長度晌纫，F(xiàn).shape[1]為列長度
         # 在MATLAB中，我們可以用函數(shù)size()實現(xiàn)這一功能
         self.n = F.shape[1] 
         self.m = H.shape[1]
         self.F = F # 將F的值賦給對象self.F
         self.H = H # 將H的值賦給對象self.H
         # 若未指定永丝，則定義控制矩陣為0矩陣
         self.B = 0 if B is None else B
         # 若未定義3個協(xié)方差矩陣P锹漱、Q、R慕嚷，則定義為與F矩陣維度一致的單位矩陣
         # 否則按原定義傳入
         self.Q = np.eye(self.n) if Q is None else Q
         self.R = np.eye(self.n) if R is None else R
         self.P = np.eye(self.n) if P is None else P
         # 若未定義初值x0哥牍，則定義為0向量
         self.x = np.zeros((self.n, 1)) if x0 is None else x0
      
      # 預(yù)測模塊毕泌，也就是使用系統(tǒng)運動模型進行估計
      def predict(self, u = 0):
         # 實現(xiàn)公式x(k|k-1)=F(k-1)x(k-1)+B(k-1)u(k-1)
         # np.dot(F,x)用于實現(xiàn)矩陣乘法
         self.x = np.dot(self.F, self.x) + np.dot(self.B, u)
         # 實現(xiàn)公式P(k|k-1)=F(k-1)P(k-1)F(k-1)^T+Q(k-1)
         # 在Python中，求A得轉(zhuǎn)置的語法為A.T
         # 在MATLAB中為A'
         self.P = np.dot(np.dot(self.F, self.P), self.F.T) + self.Q
         return self.x
      
      # 狀態(tài)更新模塊嗅辣，也就是使用觀測校正預(yù)測
      def update(self, z):
         # 新息公式y(tǒng)(k)=z(k)-H(k)x(k|k-1)
         y = z - np.dot(self.H, self.x)
         # 新息的協(xié)方差S(k)=H(k)P(k|k-1)H(k)^T+R(k)
         S = self.R + np.dot(self.H, np.dot(self.P, self.H.T))
         # 卡爾曼增益K=P(k|k-1)H(k)^TS(k)^-1
         # linalg.inv(S)用于求S矩陣的逆
         K = np.dot(np.dot(self.P, self.H.T), np.linalg.inv(S))
         # 狀態(tài)更新懈词，實現(xiàn)x(k)=x(k|k-1)+Ky(k)
         self.x = self.x + np.dot(K, y)
         # 定義單位陣
         I = np.eye(self.n)
         # 協(xié)方差更新，這里對式(35)進行了移項處理
         # P(k)=[I-KH(k)]P(k|k-1)
         self.P = np.dot(np.dot(I - np.dot(K, self.H), self.P), \
         (I - np.dot(K, self.H)).T) + np.dot(np.dot(K, self.R), K.T)

   # 卡爾曼濾波仿真
   def example():
      # 離散化處理辩诞，dt為采用周期
      dt = 1.0/60
      # 以下均為賦初值的過程
      F = np.array([[1, dt, 0], [0, 1, dt], [0, 0, 1]])
      H = np.array([1, 0, 0]).reshape(1, 3)
      Q = np.array([[0.05, 0.05, 0.0], [0.05, 0.05, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0]])
      R = np.array([0.5]).reshape(1, 1)
      x = np.linspace(-10, 10, 100)
      # 加入噪聲的觀測
      measurements = - (x**2 + 2*x - 2)  + np.random.normal(0, 2, 100)
      # 將無噪聲的觀測作為真值
      actual = - (x**2 + 2*x - 2)
      
      # 動用我們之前定義的類：卡爾曼濾波器
      # 預(yù)測
      kf = KalmanFilter(F = F, H = H, Q = Q, R = R)
      predictions = []
      error = []
    
      #使用觀測更新預(yù)測
      for z in measurements:
         predictions.append(np.dot(H, kf.predict())[0])
         kf.update(z)
      
      # 求估計誤差
      for i in range(len(actual)):
         error.append(actual[i]-predictions[i])
    
      # 繪圖
      plt.plot(range(len(actual)),actual, label='真值')
      plt.plot(range(len(predictions)), np.array(predictions), label='最優(yōu)估計值')
      plt.legend()
      plt.show()
    
      # 作一個零向量用于對照
      zeros = []
      for j in range(len(actual)):
         zeros.append(0)
    
      plt.plot(range(len(error)),error,label='估計誤差')
      plt.plot(range(len(error)),zeros)
      plt.legend()
      plt.show()

   # 主程序運行
   if __name__ == '__main__':
      example()      

圖12：仿真結(jié)果.png

如圖12所示坎弯，在算法經(jīng)過啟動階段后，預(yù)測值與實際值的變化值符合我們的最優(yōu)估計原則译暂。但是這種最優(yōu)依賴于理想的噪聲環(huán)境條件抠忘，在實際的應(yīng)用場景下，我們需要根據(jù)場景具體情況調(diào)整我們的算法外永。讀者如有余力崎脉，可以嘗試在此基礎(chǔ)上使用其他程序設(shè)計語言復(fù)現(xiàn)卡爾曼濾波算法。

我們也提供了更加簡潔的面向過程的Python復(fù)現(xiàn)源代碼和仿真結(jié)果（圖13）伯顶。

   # Python 3.7 編譯環(huán)境
   import numpy as np
   import matplotlib.pyplot as plt

   delta_t = 0.1                               # 每秒鐘采一次樣
   end_t = 7                                   # 時間長度
   time_t = end_t * 10                         # 采樣次數(shù)
   t = np.arange(0, end_t, delta_t)            # 設(shè)置時間數(shù)組

   u = 1                                       # 定義外界對系統(tǒng)的作用 加速度
   x = 1 / 2 * u * t ** 2                      # 實際真實位置

   v_var = 1                                   # 測量噪聲的方差
   # 創(chuàng)建高斯噪聲囚灼，精確到小數(shù)點后兩位
   v_noise = np.round(np.random.normal(0, v_var, time_t), 2)

   X = np.mat([[0], [0]])                      # 定義預(yù)測優(yōu)化值的初始狀態(tài)
   v = np.mat(v_noise)                         # 定義測量噪聲
   z = x + v                                   # 定義測量值（假設(shè)測量值=實際狀態(tài)值+噪聲）
   A = np.mat([[1, delta_t], [0, 1]])          # 定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣
   B = [[1 / 2 * (delta_t ** 2)], [delta_t]]   # 定義輸入控制矩陣
   P = np.mat([[1, 0], [0, 1]])                # 定義初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣
   Q = np.mat([[0.001, 0], [0, 0.001]])        # 定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移(預(yù)測噪聲)協(xié)方差矩陣
   H = np.mat([1, 0])                          # 定義觀測矩陣
   R = np.mat([1])                             # 定義觀測噪聲協(xié)方差
   X_mat = np.zeros(time_t)                    # 初始化記錄系統(tǒng)預(yù)測優(yōu)化值的列表

   for i in range(time_t):
      # 預(yù)測
      X_predict = A * X + np.dot(B, u)        # 估算狀態(tài)變量
      P_predict = A * P * A.T + Q             # 估算狀態(tài)誤差協(xié)方差
      # 校正
      K = P_predict * H.T / (H * P_predict * H.T + R)     # 更新卡爾曼增益
      X = X_predict + K * (z[0, i] - H * X_predict)       # 更新預(yù)測優(yōu)化值
      P = (np.eye(2) - K * H) * P_predict                 # 更新狀態(tài)誤差協(xié)方差
      # 記錄系統(tǒng)的預(yù)測優(yōu)化值
      X_mat[i] = X[0, 0]

   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['kaiti']    # 設(shè)置正常顯示中文
   plt.plot(x, "b", label='實際狀態(tài)值')            # 設(shè)置曲線數(shù)值
   plt.plot(X_mat, "g", label='預(yù)測優(yōu)化值')
   plt.plot(z.T, "r--", label='測量值')
   plt.xlabel("時間")                             # 設(shè)置X軸的名字
   plt.ylabel("位移")                             # 設(shè)置Y軸的名字
   plt.legend()                                   # 設(shè)置圖例
   plt.show()                                     # 顯示圖表

圖13：另一組仿真結(jié)果.png

5 結(jié)語

到這里，我們已經(jīng)了解了卡爾曼濾波（離散情況）的思想祭衩、過程和實現(xiàn)方法灶体。這一濾波算法的兩大特點——

• 線性遞推

• 最小方差無偏估計

分別通過（1）用上一時刻的最優(yōu)估計值和當前時刻的觀測值來估計本時刻的最優(yōu)估計值（2）使狀態(tài)估計的偏差為0且方差最小 體現(xiàn)出來。由于只用存儲上一時刻的預(yù)測和本時刻的觀測掐暮，使得卡爾曼濾波算法占用空間很小蝎抽，且可以保證較高的準確性（圖12），因此適用于嵌入式系統(tǒng)和解決實時問題路克。當然樟结，這種準確性建立在我們對噪聲（誤差）的假設(shè)上。在實際應(yīng)用中精算，我們將對其進行優(yōu)化調(diào)整來解決問題瓢宦，但上述的兩大思想是不變的。

6 參考文獻

[1] Bzarg,Bot圖說卡爾曼濾波灰羽，一份通俗易懂的教程[EBOL].[2018-07-17].https://zhuanlan.zhihu.com/p/39912633?utm_source=wechat_session&utm_medium=social&utm_oi=834493203137826816
[2] 云羽落驮履，如何通俗并盡可能詳細地解釋卡爾曼濾波？[EBOL].[2019-10-04].https://www.zhihu.com/question/23971601

1. 統(tǒng)計學(xué)上谦趣， 最小方差無偏估計（Minimum-Variance Unbiased Estimator, MVUE）是一個對于所有無偏估計中疲吸，擁有最小方差的無偏估計座每。若無論真實參數(shù)值是多少前鹅，最小方差無偏估計（MVUE）都比其他不偏估計有更小或至多相等的方差，則稱此估計為一致最小方差無偏估計（Uniformly Minimum-variance Unbiased Estimator, UMVUE）峭梳。 ?

2. 定義:在線性代數(shù)中舰绘，n乘n方陣“A”的跡蹂喻，是指“A”的主對角線各元素的總和（從左上方至右下方的對角線），例如： 其中代表在 i 行 j 列中的數(shù)值捂寿。同樣的口四，元素的跡是其特征值的總和，使其不變量根據(jù)選擇的基本準則而定秦陋。 ?

3. 矩陣的跡的性質(zhì):跡是一種線性算子蔓彩。亦即，對于任兩個方陣A驳概、B和標量r赤嚼，會有下列關(guān)系： 1.主對角線不會在轉(zhuǎn)置矩陣中被換掉，所以所有的矩陣和其轉(zhuǎn)置矩陣都會有相同的跡顺又。2. 3. 4. 5. 6. 7. ?