3D數(shù)學(xué)-正交投影

好記性不如爛筆頭啊，還是記錄一下!

概述

正交投影也被稱為平行投影叶堆，不會出現(xiàn)透視投影的近大遠(yuǎn)小的扭曲現(xiàn)象，

正交投影的推導(dǎo)

構(gòu)建正交投影矩陣相對來說會簡單一些沥匈，由于不存在透視扭曲高帖。

$<x_{e}, y_{e}, z_{e}>$ 是相機(jī)空間中的一個坐標(biāo)點(diǎn)

$<x_{n}, y_{n}, z_{n}>$ 表示經(jīng)過透視投影后在規(guī)范化設(shè)備坐標(biāo)系（Normalized Device Coordinates）中的坐標(biāo)

$l$ 表示近裁剪平面（near clip plane）的左邊散址，即 $x=l$

$r$ 表示近裁剪平面（near clip plane）的右邊，即 $x=r$

$t$ 表示近裁剪平面（near clip plane）的上邊义起，即 $y=t$

$b$ 表示近裁剪平面（near clip plane）的下邊，即 $y=b$

3D數(shù)學(xué)-正交投影_1.png

如圖所示犁罩， $<x_{e}, y_{e}, z_{e}>$ 可以先行的映射到規(guī)范化設(shè)備坐標(biāo)系（Normalized Device Coordinates）中的床估，因?yàn)槲覀儗?shí)際只是將一個長方體縮成一個立方體丐巫，并把它移動到原點(diǎn)勺美。下面我們就來使用線性映射關(guān)系（linear relationship）來推導(dǎo)正交投影矩陣

現(xiàn)在需要將 $x_{e}$ 映射到 $x_{n}$ ， $x_{e}$ 得范圍是 $[l, r]$ 缎脾， $x_{n}$ 的范圍是 $[-1, 1]$ 遗菠，還需要將 $y_{e}$ 映射到 $y_{n}$ 辙纬， $y_{e}$ 得范圍是 $[b, t]$ 叭喜， $y_{n}$ 的范圍是 $[-1, 1]$ 域滥，還需要將 $z_{e}$ 映射到 $z_{n}$ ，由于齊次裁剪空間為左手坐標(biāo)系昂儒，所以需要將z軸反置渊跋，因此 $z_{e}$ 的范圍是 $[-n, -f]$ ， $y_{n}$ 得范圍是 $[-1, 1]$ 可以利用簡單線性插值的方法獲得以下關(guān)系式：

$\begin{cases} \frac{x_{e}-l}{r-l}=\frac{x_{n}-(-1)}{1-(-1)} \\[2ex] \frac{y_{e}-b}{t-b}=\frac{y_{n}-(-1)}{1-(-1)} \\[2ex] \frac{z_{e}-(-n)}{(-f)-(-n)}=\frac{z_{n}-(-1)}{1-(-1)} \end{cases}$

解出可得：

$\begin{cases} x_{n}=\frac{2}{r-l} \centerdot x_{e}-\frac{r+l}{r-l} \\[2ex] y_{n}=\frac{2}{t-b} \centerdot y_{e}-\frac{t+b}{t-b} \\[2ex] z_{n}=\frac{-2}{f-n} \centerdot z_{e}-\frac{f+n}{f-n} \end{cases}$

將以上三個關(guān)系式寫成矩陣形式，可得：

$P_{n} = M_{ortho} \cdot P_{e} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & \frac{r+l}{r-l} \\[2ex] 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & \frac{t+b}{t-b} \\[2ex] 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{e} \\[2ex] y_{e} \\[2ex] z_{e} \\[2ex] 1 \end{bmatrix}$

$M_{ortho}$ 就是正交投影矩陣

投影矩陣的另一種形式

3D數(shù)學(xué)-正交投影_2.png

根據(jù)Size（豎直方向上高度的一半）和Aspect（投影平面的寬高比）可得出以下關(guān)系：

$Aspect = \frac{r}{t} \\[2ex] t = Size \\[2ex] b = -t \\[2ex] r = t \times Aspect \\[2ex] l = -r$

所以 $M_{ortho}$ 還可以寫成：

$M_{ortho}= \begin{bmatrix} \frac{1}{Aspect \centerdot Size} & 0 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \frac{1}{Size} & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

本節(jié)教程就到此結(jié)束,希望大家繼續(xù)閱讀我之后的教程材诽。

謝謝大家,再見!

飲水思源

參考文獻(xiàn)：

《3D游戲與圖形學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》

《OpenGL投影矩陣(Projection Matrix)構(gòu)造方法》

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