如果可以用一種簡單的方式來理解世界，我想這種方式就是“數(shù)學”孵淘！
“宇宙之大蒲障，粒子之微，火箭之速瘫证，化工之巧揉阎，地球之變，生物之謎背捌，日用之繁毙籽，無處不用數(shù)學”。
看起來像是魔法毡庆，理解之后就是數(shù)學坑赡，那啥叫數(shù)學呢烙如？數(shù)學就是數(shù)字的系統(tǒng)化科學，本篇先從數(shù)字入個門吧毅否。
1. 數(shù)字是什么亚铁？
2. 計數(shù)系統(tǒng)
3. 數(shù)字美學
一、數(shù)字是什么搀突？
1. 直覺在前刀闷，數(shù)字在后
要知道數(shù)字是什么？起源于什么仰迁？先來兩個例子“一望冰山”吧：
1> 對早期依賴戶外生存能力的原始部落來說甸昏，當不同部落之間發(fā)生沖突，大家互相揮舞著長矛徐许，需要立刻決定的問題是：打施蜜？還是跑？需要領(lǐng)導者快速判斷雙方人數(shù)差異雌隅，對方人少就打翻默，對方人多咱就跑。
2> 路邊看到兩棵果樹恰起，去采摘哪一棵果樹呢修械？就需要立刻判斷出哪棵樹上的果實更多。
這兩個例子都是沒有必要一一數(shù)出每一個人數(shù)检盼、每一顆果子肯污，最關(guān)鍵的是快速估計出相對數(shù)量，而這種估計就是人類對于數(shù)量的直覺吨枉，即對比關(guān)系蹦渣。
在現(xiàn)代數(shù)據(jù)分析方法ABtest中，最關(guān)鍵的就是對事物提出對比假設(shè)貌亭，再進行數(shù)字化驗證柬唯，假設(shè)很大程度依賴直覺，而數(shù)字是對直覺的確認圃庭，那么直覺與數(shù)字的關(guān)系是什么樣的呢锄奢？接著往下看。
2. 實驗：數(shù)學教育對直覺的影響
2004年卡內(nèi)基-梅隆大學的羅伯特·西格勒（Robert Siegler）和朱莉·布思(Julie Booth）對幼兒園學生（平均年齡為5.8歲）剧腻、一年級學生（6.9歲）和二年級的學生(7.8歲）做了數(shù)軸實驗：一條線拘央，左右兩邊隨機展示一些點，中間有光標恕酸，學生來指出這組點應(yīng)該在什么位置，通過重復點擊來測試不同程度的數(shù)學教育會如何分配從1-100之間的數(shù)字胯陋。
結(jié)果顯示（如圖）蕊温，隨著我們對數(shù)字越來越熟悉袱箱，我們的直覺也逐漸被固化。
1> 對于沒有受過正規(guī)的數(shù)學教育的幼兒園學生义矛，他們會按曲線繪制出數(shù)字发笔；
2> 小學一年級的學生們因為開始學習數(shù)字和符號，所以他們的曲線變直了一些凉翻；
3> 小學二年級的學生繪制出的數(shù)字終于沿著直線均勻分布了了讨。
ps：這組數(shù)據(jù)沒有找到源數(shù)據(jù)，就從材料中拍圖截取吧制轰，不要吐槽博主哈哈哈~
理論上實際值與估計值繪制出來應(yīng)該是一條從0開始的45°斜直線前计，而實際結(jié)果是數(shù)字越大線條越平緩，斜率越小垃杖，也就是大數(shù)字間的距離比小數(shù)字間的距離在感覺上更近男杈，如：80和100之間的距離20，比20和40之間的距離20调俘，在感知上要小一些伶棒。
這個實驗說明：我們的直覺很多時候是與現(xiàn)實是不匹配的，可能會有感覺誤差彩库，因此需要科學的方法來做決定肤无，也就是現(xiàn)在企業(yè)追求的數(shù)據(jù)決策，做出更為靠譜可信賴的判斷骇钦。
3. 印度數(shù)學的發(fā)展
歷史上有過非常多的計數(shù)方式宛渐，革命性的計數(shù)系統(tǒng)是由印度人發(fā)明的阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)，使用10個數(shù)字：0司忱、1皇忿、2、3坦仍、4鳍烁、5、6繁扎、7幔荒、8、9梳玫，接下來我們要聊的是基于阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)的吠陀數(shù)學速算技巧爹梁。
20世紀初，印度哲人巴拉蒂·克里希納·第勒塔季在由梵文著成的古代《吠陀經(jīng)》中發(fā)現(xiàn)了這套技巧提澎，速算技巧基于16句格言姚垃，并不來自《吠陀經(jīng)》中記錄的某一段文字，而只能根據(jù)“直覺啟示”感知到盼忌，并將感知到的方法統(tǒng)稱為“吠陀數(shù)學”积糯，這相當于有人在金剛經(jīng)中找到了解一元二次方程的解法掂墓，太太太哇塞了！
吠陀算法的主要特點是可以將復雜的問題分解為簡單的步驟看成，并使用特定的規(guī)則和技巧進行計算君编。
其中最著名的技巧是“補數(shù)法”，如：計算1000-456川慌，前面所有數(shù)字從9開始減吃嘿，最后一個數(shù)字從10減，拆分為9-4=5,9-5=4,10-6=4梦重，結(jié)果是544兑燥。
16句格言講述了特定的規(guī)則：
1/2/3：比以前的1多了1、比以前的1少了1忍饰、全部從9開始&最后從10開始贪嫂；
4/5/6/7/8：垂直和交叉、轉(zhuǎn)置和應(yīng)用艾蓝、通過加和減力崇、和的乘積、所有乘數(shù)赢织；
9：如果《集論》是相同的亮靴，它是零；
10：如果一個是成比例的于置，另一個是零茧吊；
11/12/13/14：完成或末完成、通過虧空八毯、具體和普遍搓侄、微分學；
15/16：最后一位的余數(shù)话速、最后一個和兩次倒數(shù)第二讶踪。
是不是有點迷糊啦？別著急泊交，舉個簡單的例子理解一下（如圖）：用吠陀算法乳讥、長乘法兩種算法計算888*997=？
1> 吠陀算法：先做減法廓俭、再做對角線加法云石、然后右側(cè)數(shù)字乘法，最后拼起來研乒；
2> 長乘法：逐個位置數(shù)字相乘汹忠，再累加。（小學數(shù)學學的就是長乘法）
那么再復雜一些的數(shù)字如何計算呢？感興趣的朋友可以自己研究哦~
二宽菜、計數(shù)系統(tǒng)
1. 啥是計數(shù)系統(tǒng)奖地？
假設(shè)沒有數(shù)字，失眠的時候赋焕，怎么數(shù)羊嘞？仰楚？隆判？
Action：羊、羊羊僧界、羊羊羊侨嘀、羊羊羊羊、羊羊羊羊羊捂襟、羊羊羊羊羊羊...（已經(jīng)聽到你在念啦Ｒ蟆）
是不是很著急，可能直接放棄羊羊了葬荷，有數(shù)字之后涨共，就可以1只羊、2只羊宠漩、慢悠悠數(shù)過來举反，有沒有感受到計數(shù)系統(tǒng)的強大？扒吁！
在人類歷史發(fā)展過程中火鼻，生活在不同地區(qū)的人發(fā)明了不同的計數(shù)系統(tǒng)和方法，如：以α/β/γ...等27個字母為基礎(chǔ)的希臘計數(shù)法雕崩、以I/X/C/M/V/L/D為基礎(chǔ)的羅馬計數(shù)法魁索，以及用手指關(guān)節(jié)計數(shù)的方法。
一個好的計數(shù)系統(tǒng)要滿足哪些條件呢盼铁？
1> 基數(shù)必須足夠大粗蔚，但也不能太大，這樣在表達100這樣的數(shù)字時捉貌，才不會喘不過氣支鸡，也不需要記憶太多的東西；
2> 符合人的行為習慣趁窃，歷史上常見的基數(shù)是：5牧挣、10、20醒陆，很大程度的原因是這些數(shù)字來自人體瀑构，5個手指、10個手指、再加上10個腳趾寺晌。
印度人發(fā)明的阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)恰好世吨、或者說完美地滿足了所有要求，使用10個數(shù)字：0呻征、1耘婚、2、3陆赋、4沐祷、5、6攒岛、7赖临、8、9灾锯，且基數(shù)為10兢榨。
2. 常見的進制有哪些？
二進制（Decimal system）
用數(shù)字0顺饮、1表示吵聪，基數(shù)為2，滿2進1位兼雄，最常見的是二進制使用場景是計算機控制系統(tǒng)暖璧。
為什么二進制適用于計算機控制系統(tǒng)呢？
最主要原因是二進制數(shù)只有0和1兩種狀態(tài)君旦，與計算機內(nèi)部的邏輯電路的開關(guān)狀態(tài)非常相似澎办，運算規(guī)則要比其他進制的數(shù)簡單得多，這有利于提高計算機的運算速度金砍，每個數(shù)字稱為一個比特局蚀，相比之下，其他進制的數(shù)表示方式需要更為復雜的電路和算法才能實現(xiàn)恕稠。
十進制（Decimal system）
用數(shù)字0琅绅、1、2鹅巍、3千扶、4、5骆捧、6澎羞、7、8敛苇、9表示妆绞，基數(shù)為10，滿10進1位，是人們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｊ褂玫囊环N進制括饶。
為什么十進制適用于人類呢株茶？
可能是因為人類的大腦在進行計數(shù)時，習慣于將數(shù)量轉(zhuǎn)化為手指的數(shù)量或者位置图焰，而我們的手指有10個启盛，這使得我們的大腦更容易接受十進制的計數(shù)方式。
十二進制（Duodecimal system）
通常用數(shù)字0~9以及字母A技羔、B來表示驰徊，其中，A代表10堕阔，B代表11，以12為基數(shù)颗味，滿12進1位超陆，常見的十二進制使用場景如：一打（12）、一羅（144=12^2）浦马。
十二進制的整除屬性比十進制要好一些时呀，如：12可以被2、3晶默、4谨娜、6整除，而10只能被2磺陡、5整除趴梢，在日常生活中，更有可能把一個數(shù)除以3或者4币他，而不是除以5坞靶。
下圖是十二進制的乘法表，幫助理解十二進制的具體數(shù)字展示蝴悉。
（十進制轉(zhuǎn)十二進制數(shù)值的方法：十進制數(shù)除以12得到倍數(shù)的整數(shù)部分用十二進制表示彰阴，拼接余數(shù)部分的十二進制表示。）
六十進制（Sexagesimal system）
使用0-59來表示拍冠，以60為基數(shù)尿这，滿60進一位，常見使用場景如：秒庆杜、分鐘射众，以及中國的六十甲子。
據(jù)記載1793年法國試圖將時間轉(zhuǎn)變?yōu)槭M制晃财，也就是每天有10小時责球、每小時有100分鐘、每分鐘有100秒，一天變成了100000秒雏逾，而不是原來的86400（24*60*60）秒嘉裤，時間十進制的秒比原來的秒會短一些，導致時間感知暈頭轉(zhuǎn)向栖博，短短6個月改革就被放棄了屑宠，十進制在時間上的失敗是十二進制、六十進制取得的小小勝利~
三仇让、數(shù)字美學
1. 數(shù)學中最迷人的曲線之一“對數(shù)螺線”
先了解一下啥是黃金比例典奉，即一條線段被切分成兩段，原線段與較長部分的的比例=較長部分與較短部分的比例丧叽，這個比例約為1.618卫玖，也就是黃金比例，堪稱自然界最美的結(jié)構(gòu)比例踊淳。
對數(shù)螺線就是基于黃金矩形繪制出的一條曲線：
1> 把一個長寬比例為1.618的黃金矩形假瞬，切分出一個正方形，剩余部分仍然是一個黃金矩形迂尝；
2> 以正方形的一個角為圓心脱茉，畫1/4圓；
3> 重復切分出正方形+畫圓弧線垄开，就得到一條對數(shù)螺線（如下圖所示）琴许。
對數(shù)螺線的基本性質(zhì)是：不會隨著圖形的發(fā)展而改變，即螺線本身具有相似性溉躲，任何一個較小部份與較大部份相似榜田。
它最有魅力的一點是：永恒！
2. 隨機模擬為什么賭博會輸锻梳？
對于這個問題串慰，接下來會用隨機數(shù)模擬賭博結(jié)果，來說明為什么賭博會輸唱蒸，在模擬數(shù)據(jù)之前邦鲫，先說明三個基本點：
1> 對經(jīng)濟利益的渴望，更具體點就是“博彩業(yè)”神汹，讓人們開始研究獲勝的可能性庆捺，概率就是可能性的數(shù)字化表達，將不可預測性變得可預測屁魏；
2> 賭博的前提是隨機事件滔以，即隨機事件與你的想法無關(guān)；
3> 賭徒破產(chǎn)原則氓拼，指一個賭徒在賭博中你画，無論他贏得多少抵碟，只要他繼續(xù)賭博，最終他就會破產(chǎn)坏匪。
用R語言模擬拋硬幣實驗：
假設(shè)有6個人拟逮，分別拋100次硬幣，正面朝上記為1适滓，反面朝上記為-1敦迄，將每次結(jié)果累加，繪制6個人拋硬幣結(jié)果的隨機游走曲線凭迹，如下圖所示罚屋。
從這個圖可以發(fā)現(xiàn)隨著拋出次數(shù)的增多，曲線波動越來越大嗅绸，假設(shè)拋硬幣游戲變成了賭博脾猛，唯一讓它停止賭博的方式就是錢=0；
同時這個現(xiàn)象說明賭博對富人有利鱼鸠，因為富人不僅需要更長的時間才會破產(chǎn)猛拴，而且還有更多的機會讓隨機游走向上延伸。
附：隨機游走曲線的Rcode
library(reshape2)
library(ggplot2)
# 定義N個人參與賭博瞧柔、n次賭博
N<-6
n<-100
data_sample<-as.data.frame(matrix(0,n,N)) # 創(chuàng)建矩陣
data_sample$label_x<-1:nrow(data_sample) # 生成拋硬幣的次數(shù)列
for (j in 1:N) {
?data_sample[,j]<-as.data.frame(sample(c(-1,1), # 隨機生成的值序列，1代表正面睦裳、-1代表反面
?n,
?replace = TRUE,
?prob = c(0.5,0.5))) # 概率
?}
# 將每次拋硬幣結(jié)果逐個值累加
for (j in 1:N) {
?for (i in 1:n) {
?if (i==1){
?data_sample[i,j+N+1]<- data_sample[i,j]
?} else {
?data_sample[i,j+N+1]<-data_sample[i,j]+data_sample[i-1,j+N+1]
?}
?}
?}
data_sample<-subset(data_sample,select = c((N+1):(N*2+1)))
data_sample<-melt(data_sample,id.vars = c('label_x'),variable.name = 'v1') # 繪制曲線
ggplot(data_sample,aes(x=label_x,y=value,group=v1,color=v1))+
?geom_line()+
?labs(title="拋硬幣隨機游走曲線")+theme(legend.position="none") # 隱藏圖例
文末：博主超級喜歡對數(shù)螺線造锅，因為它“任爾變換，不忘初心”廉邑。
