三等分一個(gè)角按照古希臘的尺規(guī)作圖法是不可解的根时。下面這個(gè)作圖法中要求圓規(guī)的離開紙面時(shí)能保持兩只腳之間的長(zhǎng)度不變瘦赫。
作法一：
trisect-angle.png
作圖步驟：
- 將角AOB的一條邊AO反向延長(zhǎng)為OD；
- 以O(shè)為圓心蛤迎，任取長(zhǎng)度r為半徑作圓确虱，與OB相交于E點(diǎn)；
- 保持圓規(guī)張開的長(zhǎng)度r不變替裆，把圓規(guī)的兩只腳貼在直尺上蝉娜，讓直尺通過E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)唱较，使得圓規(guī)的一只腳在圓上扎唾，另一只腳在OD上召川，記OD上這一點(diǎn)為F點(diǎn)，圓上的這一點(diǎn)為G點(diǎn)胸遇。
- 過EF做直線荧呐。
因?yàn)椤螼FG=∠GOF，∠OGE=∠OEG=2∠OFG纸镊，
∠GOF+∠AOB=∠OGE+∠OEG倍阐，∠AOB=3∠OFG。
所以逗威，角OFG是角AOB的三等分角峰搪。如果過O點(diǎn)作EF的平行線，可以將角OFG移到角AOB之內(nèi)凯旭。
作法二：
trisect-angle2.png
作圖步驟：
- 在AO上取一點(diǎn)C概耻，記OC的長(zhǎng)度為a；
- 過C點(diǎn)作CD垂直于OB罐呼，垂足為D點(diǎn)鞠柄；
- 過C點(diǎn)作CE平行于OB；
- 以C為圓心嫉柴，a為半徑作圓厌杜，交OA于F點(diǎn)；
- 將圓規(guī)的兩腳置于OF计螺，即張開的長(zhǎng)度為2a夯尽；
- 保持圓規(guī)張開的長(zhǎng)度2a不變，把圓規(guī)的兩只腳貼在直尺上登馒，讓直尺通過O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)匙握，使得圓規(guī)的一只腳在CD上，另一只腳在CE上谊娇，記CD上這一點(diǎn)為G點(diǎn)肺孤，CE上的這一點(diǎn)為H點(diǎn)；
- 取GH的中點(diǎn)I济欢，連接CI赠堵。
因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，即CI=GI=HI=a法褥，又∠GOD=∠GHC=∠HCI茫叭，∠COG=∠OIC=∠GHC+∠HCI，∠COG=2∠GOD半等，所以∠GOD是∠AOB的三等分角揍愁。
