二次曲線
二次曲線（conic）又稱圓錐曲線存和，包含3種基礎(chǔ)類型：拋物線（parabola）、橢圓（ellipse）衷旅、雙曲線（hyperbola）捐腿，而圓（circle）是橢圓的特例。在幾何上柿顶，二次曲線可以定義為一個平面與兩個頂點(diǎn)相對的圓錐的交線茄袖，如下圖所示：
在上述情況中，平面沒有穿過圓錐的頂點(diǎn)九串。而當(dāng)平面與圓錐頂點(diǎn)相交時绞佩，二次曲線變成一個點(diǎn)或者一條直線或者兩條相交直線寺鸥，它們被稱為退化二次曲線（degenerate conic）猪钮。
二次曲線的表達(dá)式
對于二維點(diǎn)品山，任意二次曲線可以用如下等式來描述：
在齊次坐標(biāo)系中，對于二維點(diǎn)烤低，二次曲線表達(dá)式為：
寫成矩陣形式為：
其中是二次曲線的系數(shù)矩陣：
二次曲線的判別式
二次曲線退化的充要條件是其參數(shù)矩陣非滿秩肘交。對于一個非退化二次曲線，如何判別它是橢圓扑馁、拋物線涯呻，還是雙曲線呢？
考慮無窮遠(yuǎn)線上任意無窮遠(yuǎn)點(diǎn)
腻要，帶入式(2)：
從而解得：
當(dāng)時复罐，方程(5)有兩個不等實根，二次曲線與無窮遠(yuǎn)線有兩個交點(diǎn)雄家，為雙曲線效诅；
當(dāng)時，方程(5)有兩個相等實根趟济，二次曲線與無窮遠(yuǎn)線有一個切點(diǎn)乱投，為拋物線；
當(dāng)時顷编，方程(5)有兩個共軛虛根戚炫，二次曲線與無窮遠(yuǎn)線沒有交點(diǎn)，為橢圓媳纬。
因此双肤，被稱為二次曲線的判別式（discriminant）。
對偶二次曲線
式(3)基于曲線上的點(diǎn)來定義二次曲線钮惠，基于曲線的切線也可以定義同一個二次曲線杨伙，稱為對偶二次曲線，如下圖b所示萌腿。
對偶二次曲線的表達(dá)式為：
其中限匣，是二次曲線的切線，
是式(3)中
的伴隨矩陣毁菱，有時
會用
的逆矩陣
來代替米死。
極點(diǎn)與極線
對于任意直線和二次曲線
，點(diǎn)
叫做直線
關(guān)于該二次曲線的極點(diǎn)（pole）贮庞，同時直線
叫做點(diǎn)
的極線（polar）峦筒。顯然，當(dāng)點(diǎn)
在曲線上時窗慎，
物喷，即二次曲線上任意點(diǎn)的極線是過該點(diǎn)的切線卤材。
構(gòu)造一個點(diǎn)的極線常用的方法是：過該點(diǎn)作二次曲線的兩條切線，則兩個切點(diǎn)的連線就是該點(diǎn)的極線峦失。
如果一個點(diǎn)無法找到切線（橢圓內(nèi)部的點(diǎn)）扇丛，可以用如下方法構(gòu)造極線：
上圖中點(diǎn) J 的極線是 HI，點(diǎn) H 的極線是 JI尉辑。
針對橢圓有：
- 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線穿過橢圓中心
- 橢圓中心的極點(diǎn)是無窮遠(yuǎn)線
