概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

課前導(dǎo)讀

求隨機(jī)變量的數(shù)字特征，需要用到高等數(shù)學(xué)中積分和級(jí)數(shù)收斂的定義泊藕。

第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望

離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望（均值）的定義：
注意，該級(jí)數(shù)需要絕對(duì)收斂

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：

數(shù)學(xué)期望的物理含義：質(zhì)心。

常用離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：
兩點(diǎn)分布 $p$ 娃圆；二項(xiàng)分布 $np$ ；泊松分布 $\lambda$

以上三種分布的期望的直觀解釋?zhuān)?br>

常用連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：
均勻分布： $\frac{a+b}{2}$ 蛾茉；指數(shù)分布 $\frac{1}{\lambda}$ 讼呢；正態(tài)分布 $\mu$

直觀解釋?zhuān)?/p>

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理：

嚴(yán)格意義上常數(shù) $c$ 不具有隨機(jī)性谦炬，從而不是隨機(jī)變量悦屏。但在概率論中，稱(chēng)它為服從參數(shù)為c的退化分布键思，分布律為 $P(X=c)=1$ 础爬。

性質(zhì)(2)、(3)吼鳞、(4)可推廣至多維隨機(jī)變量的情形：

第二節(jié) 方差和標(biāo)準(zhǔn)差

方差和標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)隨機(jī)變量分布的穩(wěn)定性或者波動(dòng)程度看蚜。

一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義：

實(shí)際計(jì)算方差時(shí)赔桌，更多采用下列公式：

常用分布的方差:
泊松分布的方差: $\lambda$

均勻分布的方差： $\frac{(b-a)^2}{12}$

指數(shù)分布的方差： $\frac{1}{\lambda^2}$

正態(tài)分布的方差： $\sigma^2$

二供炎、方差的性質(zhì)

性質(zhì)(2)、(3)疾党、(4)可以推廣至多個(gè)隨機(jī)變量的情形音诫。

二項(xiàng)分布的方差：

中心化隨機(jī)變量和標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量：

第三節(jié) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

一、協(xié)方差

隨機(jī)變量 $X$ 和 $Y$ 的協(xié)方差：
$cov(X,Y) = E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$
實(shí)際中常用計(jì)算公式：
$cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

協(xié)方差反映了 $X$ 和 $Y$ 之間協(xié)同變化的關(guān)系雪位。
協(xié)方差大=>X和Y均有同時(shí)大于或同時(shí)小于各自平均值的趨勢(shì)竭钝；協(xié)方差小=> X趨向大于平均值時(shí)另一個(gè)有小于其平均值的趨勢(shì)。
當(dāng) $Y$ 就是 $X$ 時(shí)雹洗，協(xié)方差即為方差香罐。這就是我們稱(chēng)其為協(xié)方差的原因。

由協(xié)方差的定義队伟，可以將方差的性質(zhì)(3)表示為：
$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2cov(X,Y)$

協(xié)方差的性質(zhì)：

二穴吹、相關(guān)系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差）

協(xié)方差考察了隨機(jī)變量之間協(xié)同變化的關(guān)系，但在使用中存在量綱的問(wèn)題嗜侮。為了避免這樣的情形發(fā)生港令，將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化， $X^* = \frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}$ 锈颗， $Y^* = \frac{Y-E(Y)}{\sqrt{D(Y)}}$ 顷霹，再求協(xié)方差 $cov(X^*,Y^*)$ ，這就是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)击吱，又稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差淋淀。

相關(guān)系數(shù)的定義：

二維正態(tài)分布的參數(shù) $\rho$ 恰好是 $X$ 和 $Y$ 的相關(guān)系數(shù)。

隨機(jī)變量（線性）無(wú)關(guān)的定義：

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

$|\rho_{XY} \leq 1|$
$|\rho_{XY} = 1|$ 時(shí) $Y$ 與 $X$ 有線性關(guān)系(完全線性相關(guān))覆醇。
獨(dú)立 $\Rightarrow$ 一定線性無(wú)關(guān)( $\rho_{XY}=0$ )朵纷；但 $\rho_{XY}=0$ $\nRightarrow$ 不一定線性無(wú)關(guān)

完全線性相關(guān)的定義：

相互獨(dú)立與線性無(wú)關(guān)炭臭、線性相關(guān)之間的關(guān)系:

若服從二維正態(tài)分布，則X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于X與Y不相關(guān)

第四節(jié) 其他數(shù)字特征

這一節(jié)介紹其他常用的數(shù)字特征袍辞，包括矩鞋仍、變異系數(shù)、分位數(shù)及中位數(shù)等搅吁。

k階矩

k階矩的定義:
原點(diǎn)矩威创、中心矩、聯(lián)合原點(diǎn)矩谎懦、聯(lián)合中心距

期望 $E(X)$ 是一階原點(diǎn)矩肚豺，方差 $D(X)$ 是二階中心矩，協(xié)方差是(1,1)階聯(lián)合中心距

引入多維隨機(jī)變量數(shù)字特征的向量形式界拦，得到n維隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣：

變異系數(shù)

由于方差吸申、標(biāo)準(zhǔn)差受量綱的影響，所以在實(shí)際工作中常用變異系數(shù)這個(gè)數(shù)字特征寞奸。變異系數(shù)無(wú)量綱呛谜，反映隨機(jī)變量在單位均值上的波動(dòng)程度。
變異系數(shù)的定義： $\delta_X \triangleq \frac{\sqrt D(X)}{|E(X)|}$

三枪萄、分位數(shù)和中位數(shù)

p分位數(shù)的定義：

連續(xù)型變量的分位數(shù)定義：

眾數(shù)的定義：

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