參考：
為什么要引入齊次坐標(biāo)从诲，齊次坐標(biāo)的意義（一）
為什么要引入齊次坐標(biāo)奥额，齊次坐標(biāo)的意義（二）
用矩陣表述變換與齊次坐標(biāo)
柵格化

問(wèn)題：兩條平行線(xiàn)可以相交于一點(diǎn)

在歐氏幾何空間仰楚，同一平面的兩條平行線(xiàn)不能相交务甥，這是我們都熟悉的一種場(chǎng)景窒悔。
然而月劈，在透視空間里面度迂，兩條平行線(xiàn)可以相交藤乙，例如：火車(chē)軌道隨著我們的視線(xiàn)越來(lái)越窄，最后兩條平行線(xiàn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)惭墓。
歐氏空間（或者笛卡爾空間）描述2D/3D幾何非常適合坛梁，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問(wèn)題（實(shí)際上，歐氏幾何是透視幾何的一個(gè)子集合）腊凶，2維笛卡爾坐標(biāo)可以表示為（x,y）划咐。
如果一個(gè)點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)將會(huì)(∞,∞)吭狡，在歐氏空間尖殃，這變得沒(méi)有意義。
平行線(xiàn)在透視空間的無(wú)窮遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)划煮，但是在歐氏空間卻不能送丰，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種方式來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

方法：齊次坐標(biāo)

簡(jiǎn)而言之弛秋，齊次坐標(biāo)就是用N+1維來(lái)代表N維坐標(biāo)器躏。
我們可以在一個(gè)2D笛卡爾坐標(biāo)末尾加上一個(gè)額外的變量w來(lái)形成2D齊次坐標(biāo)，因此蟹略，一個(gè)點(diǎn)(X,Y)在齊次坐標(biāo)里面變成了（x,y,w）登失，并且有
X = x/w
Y = y/w
例如，笛卡爾坐標(biāo)系下（1挖炬，2）的齊次坐標(biāo)可以表示為（1揽浙，2，1）意敛，如果點(diǎn)（1馅巷，2）移動(dòng)到無(wú)限遠(yuǎn)處，在笛卡爾坐標(biāo)下它變?yōu)?∞,∞)草姻，然后它的齊次坐標(biāo)表示為（1钓猬，2，0）撩独，因?yàn)?1/0, 2/0) = (∞,∞)敞曹，我們可以不用”∞"來(lái)表示一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)了，哈哈综膀。

為什么叫齊次坐標(biāo)澳迫？

我們把齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)的方法是前面n-1個(gè)坐標(biāo)分量分別除以最后一個(gè)分量即可。

轉(zhuǎn)化齊次坐標(biāo)到笛卡爾坐標(biāo)的過(guò)程中剧劝，我們有一個(gè)發(fā)現(xiàn)纲刀，例如：

你會(huì)發(fā)現(xiàn)(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)對(duì)應(yīng)同一個(gè)Euclidean point (1/3, 2/3)，任何標(biāo)量的乘積，例如(1a, 2a, 3a) 對(duì)應(yīng) 笛卡爾空間里面的(1/3, 2/3) 示绊。因此锭部，這些點(diǎn)是“齊次的”，因?yàn)樗麄兇砹说芽栕鴺?biāo)系里面的同一個(gè)點(diǎn)面褐。換句話(huà)說(shuō)拌禾，齊次坐標(biāo)有規(guī)模不變性。

證明：兩條直線(xiàn)可以相交

考慮如下方程組：

我們知道在笛卡爾坐標(biāo)系里面展哭，該方程組無(wú)解湃窍，因?yàn)镃 ≠ D,如果C=D,兩條直線(xiàn)就相同了。 讓我們?cè)谕敢暱臻g里面匪傍，用齊次坐標(biāo)x/w, y/w代替x ,y

現(xiàn)在我們有一個(gè)解(x, y, 0)您市，兩條直線(xiàn)相交于(x, y, 0)，這個(gè)點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處役衡。

齊次坐標(biāo)的意義：
使用齊次坐標(biāo)茵休，可以表示 平行線(xiàn)在透視空間的無(wú)窮遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)。在歐氏空間手蝎，這變得沒(méi)有意義榕莺，所以歐式坐標(biāo)不能表示。即：齊次坐標(biāo)可以表示無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)棵介。例如：

如果點(diǎn)（1钉鸯，2）移動(dòng)到無(wú)限遠(yuǎn)處，在笛卡爾坐標(biāo)下它變?yōu)?∞,∞)邮辽，然后它的齊次坐標(biāo)表示為（1唠雕，2，0）吨述，因?yàn)?1/0, 2/0) = (∞,∞)岩睁，我們可以不用”∞"來(lái)表示一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)了。
——————————————————————————————————————————
平移變換表示的是位置變化的概念锐极。如下圖所示，一個(gè)圖像矩形從中心點(diǎn)[x1,y1]平移到了中心點(diǎn)[x2,y2]

處芳肌，整體大小和角度都沒(méi)有變化灵再。在x方向和y方向上分別平移了tx和ty大小。

顯然：

這對(duì)于圖像中的每一個(gè)點(diǎn)都是成立的亿笤。寫(xiě)成矩陣的形式就是：

我們?cè)侔亚懊娴目s放變換和旋轉(zhuǎn)變換的矩陣形式寫(xiě)出來(lái)：
縮放變換：

旋轉(zhuǎn)變換：

我們注意到翎迁，縮放變換和旋轉(zhuǎn)變換都可以表示成矩陣乘法的形式。實(shí)際上净薛，圖像的幾何變換通常不是單一的汪榔，也就是說(shuō)經(jīng)常性的縮放、旋轉(zhuǎn)肃拜、平移一起變換痴腌。例如先放大2倍雌团，然后旋轉(zhuǎn)45度，然后再縮小0.5倍士聪。那么就可以表示成矩陣乘法串接的形式：

這樣锦援，不管有多少次變換，都可以用矩陣乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)剥悟。但是平移變換呢灵寺？從前面看到，平移變換并不是矩陣乘法的形式区岗，而是矩陣加法的形式略板！

那能不能把縮放變換、旋轉(zhuǎn)變換慈缔、平移變換統(tǒng)一成矩陣乘法的形式呢叮称，這樣不管進(jìn)行多少次變換，都可以表示成矩陣連乘的形式胀糜，將極大的方便計(jì)算和降低運(yùn)算量颅拦。

這種方法就是“升維”，引入“齊次坐標(biāo)”教藻，將圖像從平面2D坐標(biāo)變成3D坐標(biāo)距帅。我們看看平移變換的矩陣形式：

將其升維，變成3維括堤，上式就可以表示成：

這是個(gè)非常優(yōu)美的地方碌秸，學(xué)習(xí)過(guò)矩陣乘法的同學(xué)可以算一下右邊的式子，是否最終結(jié)果與前面是一樣的悄窃。

這樣讥电，平移變換通過(guò)升維后的齊次坐標(biāo)，也變成了矩陣乘法的形式轧抗。當(dāng)然縮放變換和旋轉(zhuǎn)變換的矩陣形式也得改一改恩敌，統(tǒng)一變成3維的形式。
縮放變換：

旋轉(zhuǎn)變換：

終于統(tǒng)一了横媚。以后所有的變換纠炮，不管怎樣變換，變換多少次灯蝴，都可以表示成一連串的矩陣相乘了恢口，這是多么的方便。

這就是`引入齊次坐標(biāo)的作用`穷躁，把各種變換都統(tǒng)一了起來(lái)耕肩，即 把縮放，旋轉(zhuǎn)，平移等變換都統(tǒng)一起來(lái)猿诸，
都表示成一連串的矩陣相乘的形式婚被。保證了形式上的線(xiàn)性一致性。

簡(jiǎn)短的解釋?zhuān)?/p>

齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來(lái)表示两芳。

許多圖形應(yīng)用涉及到幾何變換摔寨，主要包括平移、旋轉(zhuǎn)怖辆、縮放是复。以矩陣表達(dá)式來(lái)計(jì)算這些變換時(shí)，平移是矩陣相加竖螃，旋轉(zhuǎn)和縮放則是矩陣相乘淑廊，綜合起來(lái)可以表示為 x=R?X+t（注：因?yàn)榱?xí)慣的原因，實(shí)際使用時(shí)一般使用變化矩陣左乘向量）(R 旋轉(zhuǎn)縮放矩陣特咆，t 為平移矩陣季惩，X為原向量，x 為變換后的向量)腻格。

引入齊次坐標(biāo)的目的主要是合并矩陣運(yùn)算中的乘法和加法画拾，表示為x=P?X的形式。
即它提供了用矩陣運(yùn)算把二維菜职、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法青抛。

另外，
齊次坐標(biāo)可以很好的區(qū)分向量和點(diǎn)酬核。即蜜另，(x, y, z, 1)是點(diǎn)，(x, y, z, 0)是向量嫡意。