by卓克
【同構(gòu)】
在新的視角下，從前完全不是一個領(lǐng)域的對象厢塘，有可能出現(xiàn)在同一個結(jié)構(gòu)中。比如線性代數(shù)跟初等幾何這兩個東西就屬于同一種結(jié)構(gòu)，簡稱同構(gòu)俗冻。
比如下面的這張圖，就是一張線性代數(shù)的典型運算和初等幾何的典型運算牍颈，你可以對比一下迄薄，在沒有布爾巴基學派出現(xiàn)之前，你很難發(fā)現(xiàn)其實這兩個東西是同一種結(jié)構(gòu)的煮岁。
左（線性代數(shù)）右（初等幾何）
我剛才舉的線性代數(shù)和初等幾何的對比讥蔽，是屬于離大家數(shù)學知識比較近的兩個領(lǐng)域。還有 N 多從前的數(shù)學分支画机，或者分支的分支冶伞，就已經(jīng)是走得很深、很遠步氏、很偏的那些領(lǐng)域响禽，竟然也發(fā)現(xiàn)了同構(gòu)的情況。比如荚醒，微分拓撲芋类，泛涵分析，代數(shù)群論界阁，這些我們不太懂的細分領(lǐng)域侯繁，竟然也能形成一個整體。
- 這樣重新分類有什么好處嗎泡躯？
好處有兩點：
- 第一種是現(xiàn)實價值特別明確的贮竟，很多同構(gòu)的數(shù)學領(lǐng)域，它們就可以拴成對兒了较剃。從前 A 領(lǐng)域中糾結(jié)不清咕别，困擾數(shù)學家們100多年的那些重大的問題，就可以因為出現(xiàn)同構(gòu)的關(guān)系了写穴，就可以把 A 領(lǐng)域的問題翻譯成 B 領(lǐng)域的問題顷级，而翻譯過后，發(fā)現(xiàn)這個問題在 B 領(lǐng)域是有解的确垫，所以就相當于這個問題通過同構(gòu)這座橋梁解決了弓颈。
最明顯的例子，就是老羅曾經(jīng)在羅輯思維第85期說的費馬大定理的證明過程删掀，這個猜想最終的證明翔冀，就是通過把一個橢圓曲線領(lǐng)域的問題同構(gòu)映射到了另外一個叫做模形式上的問題，最終才證明的披泪。通過這樣的方式證明的定理纤子，還不止費馬大定理，還有莫德爾猜想。還有其他很多領(lǐng)域都因為這樣轉(zhuǎn)化得到了突飛猛進的進展控硼。
【布爾巴基學派】把數(shù)學領(lǐng)域擴展到一個太大的區(qū)域里泽论，這也是人類智力活動的一次大規(guī)模的突破，它讓我們在智力活動上達到了下一個巔峰卡乾，抽象到了極致翼悴。
【數(shù)學對個人的意義】
生活中幾十年，甚至一輩子幔妨，我相信都不會用到二次方程的解法鹦赎，也用不著證明幾何定理。但學數(shù)學實際上是在訓練大腦误堡，讓大腦可以隨時切換到抽象思維狀態(tài)古话。
咱們舉一個例子：
大家都用過 Excel 那個制表的軟件，抽象思維的狀態(tài)就好像你已經(jīng)會在 Excel 表格里頭使用公式了锁施，比如你需要什么平均數(shù)啊陪踩，求和呀，公式設(shè)好之后下拉一下就能直接得到答案悉抵。如果你從沒有接受過抽象思維訓練膊毁，你用起 Excel 表格，這里每一個空格數(shù)字都是你手算出來的基跑，你的效率就遠遠不及對手了婚温。
抽象思維完全不是很多人理解的那樣，只有做數(shù)學才用的媳否。我們對語言內(nèi)容的提煉栅螟，對藝術(shù)作品的感受，甚至一首詩篱竭，一篇文章的理解力图，都會受益于大腦進入抽象化思維狀態(tài)。而你對這些事物理解的深度掺逼，處理的效率吃媒，就取決于從前抽象化思維的訓練強化。
所以吕喘，作為一個現(xiàn)代人赘那，你要理解的陌生事物那么多，它們作用的原理跟相互之間的關(guān)系氯质，很多也都不是表層的了募舟，抽象化思維能力的強弱，將很大程度上決定我們在現(xiàn)代社會看得有多透闻察，走得有多遠拱礁。我想琢锋，這也是學習數(shù)學，接觸那些看上去虛無縹緲的抽象化概念對單個人來說最直接的好處了呢灶。
