0 概述
最近在做圖像與視覺方面的一些內容，關于數字圖像中的二維傅立葉變換剑鞍，一直在思考如何將二維傅立葉變換的語義形象地解釋刹悴。今天翻閱https://plus.maths.org/content/上面的文章，偶爾發(fā)現(xiàn)了一篇文章（https://plus.maths.org/content/fourier-transforms-images）攒暇，居然沒用一個公式土匀，將圖像處理中的二維傅立葉變換解釋得如此清楚。（如果不介意英語形用，請直接看原文）
1 二維傅立葉變換在圖像中的理解
一般而言就轧，我們平時所指的圖像是平面圖像，包含x軸和y軸田度，很多情況下妒御，我們是在處理灰度圖，如邊緣提取镇饺、輪廓獲取等乎莉。在灰度圖中，每一個像素點的取值范圍維[0, 255]奸笤，將圖像看成一個函數惋啃，其中，
分別表示
軸和
軸的坐標值监右，
表示灰度值边灭，則
可以看成一個三維立體圖像，如下圖所示：
在繼續(xù)之前健盒，先看看平面二維的灰度圖在三維空間中長什么樣绒瘦？請看下圖：
接著請看：
其中，u軸表示灰度值扣癣，它對應的函數是惰帽，其中
分別表示
軸的頻率。
其實到這里父虑，熟悉一維ft的同學该酗，應該已經猜到后面該二維傅立葉變換的語義了，只不過一維情況是時間域和頻域的對應频轿，時間是一維的垂涯，只有一個頻率方向變換，而在二維傅立葉變換時航邢，頻域對應兩個方向分量，一個是軸對應的頻率方向分量骄蝇，還有一個是
軸對應的頻率方向分量膳殷。
繼續(xù)看下面特殊的例子：
在二維傅立葉變換后的圖像中（即頻域圖），每個像素都有一個對應的赚窃，其中
表示空間域原圖中
軸頻率册招，
表示
軸頻率。(0, 0)表示空間域圖像中灰度沒有變化的區(qū)域勒极，其亮度表示圖像的平均灰度值是掰。
圖4是的圖像，請看圖2辱匿，顯然键痛，在原圖的
軸上是沒有灰度變化的，而在原圖的
軸是有灰度變化的匾七，由圖4中右邊的頻域圖即可看出絮短，（-1，0）昨忆、（0丁频，0）、（1邑贴，0）這三個白點剛好體現(xiàn)了這種變化（回憶一維情況下
的頻域）席里。
下面兩張圖更明顯：
觀察圖5和圖6，很容易看出其中變化拢驾。
如果我們將空間域的原圖旋轉胁勺，則頻域的圖像必然也跟著旋轉（還是看空間域與頻域的坐標軸對應關系），請看下圖：
2 結論
這篇文章的關鍵一步是將空間域圖像中的灰度值作為一個軸独旷，變換到3維空間署穗，然后在此基礎上解釋二維傅立葉變換。此外嵌洼，要注意的是：空間域圖像中像素點與頻域圖像中的像素點是沒有直接對應關系案疲，與像一維圖像中的情況一樣。
